【摘要】數(shù)學解題錯誤是學生在數(shù)學學習過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學反饋，以便適時調(diào)整教學方案；又可提升學生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發(fā)展。

【關鍵詞】解題錯誤 認知結構 心理性錯誤

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0156-02

在數(shù)學教與學的過程中，我們一直都在面對錯誤，而錯誤其實是一種資源。英國心理學家貝恩布里奇（R. Bainbridge）認為，差錯人皆有之，作為教師不去利用這些差錯是不能原諒的。無獨有偶，錢學森先生也曾對學習中的錯誤給出這樣的認識：正確的結果，是從大量錯誤中得出來的；沒有大量錯誤作臺階，也就登不上最后正確的高座。

對于高中數(shù)學教學，數(shù)學錯誤分析的意義顯而易見：

1.它是教師檢查教學方案執(zhí)行情況，及時地調(diào)整教學方案的依據(jù)。學生數(shù)學習題的錯誤往往是教學效果最可靠的反饋，通過分析，教師可據(jù)此確定重、難點，使教學的針對性更強，提高教學效能。

2.它有助于發(fā)展學生的自我糾錯能力。英國劍橋大學心理學教授巴特利特（F.C. Bartlett）說，測定智力技能的唯一最佳標準可能是檢測并摒棄謬誤的速度。自我糾錯能力是與學生的思維的正確性、嚴密性、完整性和批判性密切相關的。學生只有先成為獨立的學習者，才會是一個互助學習者，從數(shù)學習題的錯誤中，意識到自己的思維過程中的缺陷，自覺調(diào)整，以達到能靈活運用各種方法和技能進行思維操作。

在數(shù)學解題中，學生表現(xiàn)的錯誤是多種多樣的，而數(shù)學解題錯誤的終極表現(xiàn)反映在知識上，因此大多數(shù)人認為錯誤都可以歸結為知識性的，故此題海戰(zhàn)術依然大行其道。但是從行為科學和腦科學的觀點來看，學生的認知結構包括知識結構和認識結構兩個方面，當學生的認知結構不能同化他所面對的問題，就會發(fā)生解題錯誤，這樣的錯誤可能是由于知識盲點而產(chǎn)生的，也有可能是信息提取失敗而造成的。因此數(shù)學解題錯誤的原因，除了學生的知識結構不完善以外，更應該考慮到學生的認識結構。

所以，為了有效地利用錯誤，以達到糾正錯誤提升思維能力的目的，必須對各種錯誤進行分析與歸類。錯誤分類問題，其理論意義是其次的，教學實踐上的意義是它的真正價值體現(xiàn)。為了有利于教師設計和選擇克服錯誤的教學方法，我們應該從學生的認知結構方面的原因?qū)忸}錯誤進行分類，但必須要看清一點，錯誤的原因往往是交織的，甚至，即使是同一個錯誤，不同的學生要結合個體特點進行具體的分析。在教學實踐中，我們嘗試按心理性錯誤、知識性錯誤、邏輯性錯誤和策略性錯誤等幾類進行具體分析。

本文著重闡述心理性錯誤。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾在第四屆國際數(shù)學教育大會上講過一個例子，一個學過分數(shù)的12歲女孩，把■約分成■，女孩解釋說：16=2×8，24=3×8所以得到■。這屬于計算中間結果的存儲或再現(xiàn)中的錯誤，是短時記憶的問題，可以通過心算訓練來解決。如果把女孩的錯誤歸于“粗心”是不準確的，也無法達到糾錯的目的。事實上，不論數(shù)學習題的復雜性如何，學生在解答的過程中一般都經(jīng)過問題的識別、記憶、理解、激活背景觀念、選擇調(diào)整解題方法等步驟。這說明主體能否順利地解決所接觸的問題，除了依賴原有的知識技能之外，還和本身的心理能力和智力品質(zhì)分不開。有的數(shù)學習題，學生雖然具備解決問題的必要的知識技能，但是由于某種心理障礙，仍然可能產(chǎn)生錯誤，因此分析并確定學生解題錯誤中的心理方面的原因，是提高解題能力的迫切需要。

一、粗心的背后是習慣

對于數(shù)學解題錯誤，無論是教師還是學生，“粗心”是使用率最高的評價用語，這不但對糾錯無益，反而會有一種誤導。我們通常所說的“粗心”（審題不仔細、看錯了條件、抄錯了答案、寫錯了小數(shù)點……），涉及記憶提取，思維的嚴密與連續(xù)，思考與書面的同步性等等，都和多感官的協(xié)調(diào)有關，筆者在多年的實踐中，總結了從讀題到解后反思的流程，擇要說明如下。

讀題規(guī)則：“筆慢指，眼緊跟，口輕讀，腦細想”——所謂“筆慢指”，要求我們在讀題時手握著筆，讓筆尖在正在讀的每個字下劃過?！把劬o跟”，是指筆尖劃到哪里眼睛就看到哪里，確保信息無遺漏?！翱谳p讀”，是指把筆尖指到的和眼睛看到的輕輕地讀出來。而“腦細想”，就是把指到的、看到的、讀到的這些信息快速分析、篩選、歸納，找到關鍵詞，理解題意，為初步動手解題做好準備。這樣做的原因之一是，同時調(diào)動了四個器官參與進來，大腦高度興奮，思維高度集中，利于進入最佳解題狀態(tài)。

書寫規(guī)則：“格式規(guī)范，一題一線，一氣呵成，不用橡皮或膠帶紙”——規(guī)范指的是答題格式與步驟的規(guī)范把課本或者參考書的例題當作習題來做，然后對比、修正。不用或少用計算器，計算器使用過于頻繁，一方面淡化了對算理的認識，另一方面導致計算能力急劇下降。同時，在運算的過程中，不跳步，少心算。一題一線是指，完成一題后，在下面畫一條橫線以便與下一題清楚地隔離開，排除信息干擾。橡皮或膠帶紙是掩蓋錯誤的工具，對心理和思維發(fā)展有害無益，這是日本著名教育學家系川英夫的實驗成果。

在校本研究的過程中，對學生的解題提出上述要求，同時配合波利亞的經(jīng)典解題四階段說，可以大大降低學生的出錯，實踐證明，所謂“粗心”出錯和學生的解題習慣完全相關。

二、心理能力的不足導致出錯

學生在解答題目過程中需要具備多種心理能力，如識別能力、記憶能力、信息加工能力、想象能力等。如盧仲衡先生曾指出圖形交錯對于感知識別能力較低的學生會產(chǎn)生消極的影響。此外，心理學家通過反復實驗研究發(fā)現(xiàn)：大腦在短暫時間里只能存儲、處理7±2個記憶單元（例如5～9個隨機數(shù)字、無意義音節(jié)等），這種能力稱為工作記憶。高中的學生在心算時屢屢出錯，而筆算時“顧此失彼”等現(xiàn)象都屬于“工作記憶”的缺陷，可以通過專注力（如舒爾特方格）、記憶力的訓練來發(fā)展短時記憶能力。

例1. 折疊問題（教材必修二P69練習）如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，生命后的點記為G，則在四面體S-EFG中必有（ ）

A. SG⊥△EFG所在平面

B. SD⊥△EFG所在平面

C. GF⊥△SEF所在平面

D. GD⊥△SEF所在平面

很多學生在解決這個問題的過程中，無法把平面與空間中的不變量對應，從腦科學的角度來看，這是典型的思維功能右腦偏弱，導致心理能力不足，提升的最好辦法是借助于實物、模型，或動手操作折疊過程，逐步實現(xiàn)模型或?qū)嵨锏狡矫嬷庇^圖的過渡。

例2. 過平面內(nèi)一點與雙曲線只有一個交點的直線有幾條？

筆者就此題在高二兩個班級內(nèi)做實驗，課內(nèi)5分鐘無人給出正確答案，留做思考題第二天課上給出正確答案的只有近35%，部分同學因為忽視圖形的對稱性質(zhì)而分類層次不清，導致記憶序列困難，造成疏漏。本題的正解如下：

區(qū)域①：即含焦點區(qū)域內(nèi)，無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③、④：2條切線（過區(qū)域③內(nèi)一點的切線分別切于兩支；而過區(qū)域④內(nèi)一點的兩條切線切于一支），2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域⑤：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑥：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線。小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條。

三、停留性錯誤（順序心理與思維定勢）

這也是數(shù)學學習與解題過程中的普遍性錯誤。所謂停留性錯誤，就是概念已經(jīng)發(fā)展了，但學生的思維還停留在原來的地方，這種由思維的惰性而產(chǎn)生的錯誤稱為停留性錯誤。比如，初中學過了乘法對加法的分配律，到高中學習對數(shù)運算和三角和差展開式時，由于思維定勢，而產(chǎn)生如下錯誤：lga+lgb=lg（a+b）；sin（α+β）=sinα+sinβ（極特殊情況下有成立的可能）；若■·■=■·■，則■=■……這需要教師在學生學習新概念時，要對概念的外延與內(nèi)涵作出充分解釋，log、sin是對數(shù)和正弦運算的符號，它們在內(nèi)涵上與分配律沒有任何關聯(lián)。此外，一定要從反例上進行突破，如lg10+lg100=3=lg1000≠lg110；sin（30o+60o）≠sin30o+sin60o……讓學生在與原有認知的巨大沖突中強化對概念的認識。

此外，信息的存儲過程需要編碼，而編碼則要求信息順序化。例如，學生在學習對數(shù)運算的公式log■bn=■logab（a>0，a≠1.b>0）時，即使這個公式的結構很復雜，但因為字母的相對位置存在一種對應關系，這種順序與心理的感覺非常和諧，所以記憶的準確率非常高。而在學習指數(shù)運算時把分數(shù)指數(shù)冪x■化成根式形式，很多同學會寫成x■=■，之所以產(chǎn)生這樣的錯誤，是因為舊知識的固有順序形成了順序心理，正確的解法應該是分數(shù)指數(shù)的分母變成根指數(shù)，分子變成冪指數(shù)，剛好是一個逆序的過程，與順序心理形成抗拒，從而出錯。教師可以利用心理學中的“免疫效應”，在要求學生預習或在上課過程中，要重點強調(diào)，以達到“免疫”作用。

四、忽視隱含條件

例3. 若實數(shù)x，y滿足4x+4y=2x+1+2y+1，則t=2x+2y的取值范圍是____。

這是一道高三的訓練題，所涉及的考點并不復雜，但一個班級有64%的同學是這樣做的：2=■=■=2x+2y-■≥2x+2y-■=■（2x+2y）？圯t≤4，又2x>0，2y>0故t∈（0，4]。有什么問題嗎？事實上，在第三個“-”號處，可知2x+2y=2+■>2，即t>2?；蛘撸瓧l件可化為t2-2t=2·2x·2y>0？圯t<0（舍），或t>2，所以，正確答案應該是t∈（2，4]。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多學生在解題過程中受局部滿足感的驅(qū)使，出現(xiàn)了“想當然”的錯誤，正是這種忽視隱含條件的心理性錯誤，導致學生在解題過程中出錯的例子不勝枚舉。這是觀察、分析能力欠缺的表現(xiàn)，而觀察、分析能力和思維的深刻性緊密相關，引導學生積累典例，并有意在短周期內(nèi)反復出現(xiàn)同類問題，讓學生養(yǎng)成解后反思的習慣。

五、潛在假設

例4. 由人教必修四P141例4拓展：在半徑為R的60o扇形內(nèi)，求內(nèi)接矩形面積S的最大值。

絕大多數(shù)同學的解法：如圖3，內(nèi)接方式是矩形的兩個頂點在扇形的一條半徑上，另兩個頂點分別在扇形的圓弧及另一條半徑上。設∠COA=α？圯∠COB=■-α，∠ODC=■，CF=Rsinα，CD=■=■=■Rsin（■-α），

S=CF·CD=■R2sinα·sin（■-α）=[■sin（2α+■）-■]R2，則當α=■時，Smax=■R2。

事實上，還有不同的內(nèi)接方法：如圖4，M是弧的中點，OM是內(nèi)接矩形的對稱軸，設∠COM=α？圯∠COB=■-α，∠ODC=■，CF=2Rsinα，CD=■=■=2Rsin（■-α），

S=CF·CD=4R2sinα·sin（■-α）=[2sin（2α+■）-■]R2，則當α=■時，Smax=（2-■）R2。比較可得，■>2-■，故圖3的內(nèi)接方式的最大面積大于圖4的。

在沒有說明的情況下，有的同學默認圖3的內(nèi)接方式，也有的同學默認圖4的內(nèi)接方式，這都屬于解題心理中的“潛在假設”。美國數(shù)學家豪夫斯德脫（D.R. Hofstadter）給潛在假設作過如下定義：潛在假設就是不曾討論過什么事情時，你總是認為正確的那個就是“最簡單的”或“最自然的”或“最有可能的”那個模型。從心理上分析“潛在假設”，是在缺乏對事物作深入、細致、全面的考察的情況下，基于一種不正確的心理勢態(tài)的誘導，而作出直覺性的判斷，這種直覺性的判斷是下意識的，或者是存在于潛意識層，一旦題目背景“吻合”，便對直覺深信不疑。

我們再次回到例4的問題上，試問：扇形的內(nèi)接矩形只會有這兩種嗎？如果你認為只有這兩種，這是不是也算是一種“潛在假設”？

問題聚焦到是否存在矩形，C、F兩點并不關于扇形的對稱軸對稱？我們可以用反證法的思維來思考。事實上，假設這樣的矩形存在（如圖5），即CDEF為矩形，設CF的中點為M，連接OM，則CF⊥OM，DE⊥OM。設點B關于OM的對稱點為B’，連結OB’，交EF于點G，則點G異于點E，由扇形BOB’關于OM軸對稱知，四邊形CDGF為矩形，則DG⊥EF。但矩形CDEF中DE⊥EF，產(chǎn)生矛盾，故CDEF不可能是矩形。

由此可見，“潛在假設”實質(zhì)上是一種判斷，是在某些數(shù)學概念未完全清晰建立起來前自動形成的，是主觀經(jīng)驗的潛在作用。教師在課堂教學過程中要追求思維的嚴謹性，盡可能減少或避免使用可能在學生的思維中誘發(fā)“潛在假設”的用語，這也正是數(shù)學教育價值的一種體現(xiàn)。

參考文獻：

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