【摘 要】介紹了《定積分的概念》這節(jié)課中的一種創(chuàng)新性講法，通過這種新的設(shè)計(jì)方式，不僅使學(xué)員容易理解，更加強(qiáng)了學(xué)員分析歸納、抽象概括和解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】曲邊梯形 極限 以直代曲

定積分的概念這節(jié)課是《高等數(shù)學(xué)》課程中的一個(gè)重要內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了不定積分的基礎(chǔ)上，借助于極限的思想，對函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步研究。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅增強(qiáng)了學(xué)員對極限思想的理解和不規(guī)則圖形面積求法的把握，同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)員對現(xiàn)實(shí)生活中客觀現(xiàn)象的認(rèn)知。下面，我根據(jù)自己的實(shí)際教學(xué)效果，介紹本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、教學(xué)目的

（一）教學(xué)目標(biāo)

1、認(rèn)知上：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)員了解定積分的概念以及利用定義求函數(shù)定積分的方法。

2、能力上：通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)員分析歸納、抽象概括以及聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力，具體體會(huì)從具體到抽象的思維方法。

3、思想目標(biāo)：在教學(xué)過程中，使學(xué)員理解定積分定義中體現(xiàn)的辯證思想，并將其利用到實(shí)際生活中去解決實(shí)際問題。通過學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

了解定積分的概念，會(huì)利用定義求函數(shù)定積分的方法。本節(jié)課的難點(diǎn)的理解定積分的思想。

（三）教學(xué)方法

主要運(yùn)用講授法，并結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)員從實(shí)際生活中的“中國國土面積”的求法過程中，體會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分的概念。根據(jù)定積分理論的特殊重要性（突破了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的又一界限；實(shí)現(xiàn)“曲”與“直”的轉(zhuǎn)變；提出了求解一類實(shí)際問題的一種重要的方法與思想：分割——代替——求和——取極限），充分貫徹“以學(xué)為主”，發(fā)揮學(xué)員的積極性，加強(qiáng)啟發(fā)性原則及理論聯(lián)系實(shí)際原則的貫徹。

二、教學(xué)創(chuàng)新

（一）深入挖掘，整合教材

通過深入挖掘教材，我對本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，突破了傳統(tǒng)的教學(xué)模式。本節(jié)課并不是直接求曲邊梯形的面積，進(jìn)而給出定積分的定義。而是通過對現(xiàn)實(shí)生活中中國國土面積的實(shí)際求法的探究，引出如何來求不規(guī)則圖形的面積，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情的興趣。進(jìn)而提出求解不規(guī)則圖形的面積可以通過求解曲邊梯形面積的方法來求，依此引出本節(jié)課的引例。而對于曲邊梯形的面積，在計(jì)算過程中，貫穿了以不變代變、化整為零、化零為整等哲學(xué)思想，通過“分割——代替——求和——取極限”四個(gè)步驟求出了曲邊梯形的面積，即固定格式和的極限，進(jìn)而給出了定積分的定義。并且對于定義，分別從結(jié)構(gòu)、記號(hào)、實(shí)質(zhì)、存在性和幾何意義等方面對定義進(jìn)行了分析，從而加深了學(xué)生對定積分概念的理解。這種設(shè)計(jì)方式既符合學(xué)員基礎(chǔ)較差的實(shí)際特點(diǎn)，又符合學(xué)員從感性到理性，從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。

（二）矛盾對比，引出重點(diǎn)

由于“直和曲、整體和局部”是相互對立的矛盾，通過啟發(fā)式教學(xué)法，借助于趙州橋的局部建造圖示，自然得出了在局部上以直代曲的方法，來近似的給出曲邊梯形的面積。這種設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了矛盾轉(zhuǎn)化的思想，對比自然，便于理解。

（三）聯(lián)系實(shí)際，加深理解

數(shù)學(xué)來源實(shí)際，又服務(wù)于實(shí)際。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有聯(lián)系了實(shí)際生活，才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值，并激發(fā)學(xué)員對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本節(jié)課，多處引入了實(shí)際生活中實(shí)例，通過中國國土面積的求法引出了本節(jié)課要學(xué)習(xí)的引例，又通過趙州橋的局部截面圖，引出了局部上以直代曲、以不變代變的思想，進(jìn)而解決解決了本節(jié)課引例的問題，從而給出了定積分的定義。

三、教學(xué)實(shí)施

下面我根據(jù)本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)效果，介紹下本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)過程：

（一）為了激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，本節(jié)課我首先從現(xiàn)實(shí)生活中的中國國土面積的求法入手，引出了本節(jié)課的引例，求曲邊梯形的面積問題。

（二）為了加強(qiáng)學(xué)生的理解，我本節(jié)課并不是直接給出曲邊梯形面積的求法。而是借助于趙州橋局面截面圖，使學(xué)員理解局部上以直代曲、以不變代變的思想。進(jìn)而借助于這種思想，采用化整為零、近似代替、合零為整和取極限的方法，通過“分割——代替——求和——取極限”這四個(gè)步驟，求出了曲邊梯形面積的精確值，即固定格式和的極限，進(jìn)而引出的定積分的概念。

（三）為了加強(qiáng)大家對定積分定義的把握，對于定義，我分別從結(jié)構(gòu)（一個(gè)前提，三步加工，一種檢驗(yàn)）、記號(hào)、實(shí)質(zhì)（固定格式和的極限）、幾何意義等幾個(gè)方面對定積分的定義進(jìn)行了仔細(xì)的分析，并總結(jié)出了利用定義求一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上的定義的方法。

（四）介紹了定積分的運(yùn)算法則，并且借助于定積分的幾何意義，分別介紹了定積分的性質(zhì)和積分中值定理。通過這些知識(shí)，可以很容易的求出一個(gè)函數(shù)的定積分。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)員掌握了定積分的概念，以及求函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的定積分的方法。并且也使學(xué)員了解到如何來求現(xiàn)實(shí)生活中不規(guī)則圖形的方法，即求這個(gè)不規(guī)則圖形的定積分。