“悖論”不僅是一個極富吸引力的字眼，而且是邏輯學和數(shù)學推理中一個特別的專屬概念。所謂“悖論”是指：對于一個命題A，若承認A，則可推得非A；反之，若承認非A，又可推得A。這個導致矛盾的命題A就被稱為悖論。如果你覺得這樣的定義過于抽象，那么不妨來看下面這段生動形象的描述：

現(xiàn)在有一臺運轉(zhuǎn)正常的電腦，反應快捷，判斷問題只在須臾之間。假設(shè)這臺電腦用開紅燈表示“是”，開綠燈表示“不”，現(xiàn)在它被要求判斷回答“下一次亮的是不是綠燈”。問題輸入后，電腦開始運行，結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)這臺倒霉的電腦像發(fā)了狂一樣不停地閃爍紅綠燈。導致其不知所措的原因其實很簡單：如果它回答“是”，也就表明下面亮的確實是綠燈，可按照程序規(guī)定“是”卻要開紅燈；如果它回答“不”，表明下面亮的不是綠燈，可按照程序規(guī)定它回答“不”又要亮綠燈，所以電腦由于不知道究竟該怎么辦而發(fā)狂。

這則小故事直觀地描述了“悖論”的特點，即讓人陷入自相矛盾、左右為難的怪圈難以自拔。悖論讓人們既癡迷又疑惑，在強烈吸引中彰顯其神秘奇特，既而引發(fā)了人們普遍的關(guān)注和思考。

真話還是假話

據(jù)說在古希臘一個叫克里特的地方，有個名叫伊壁孟德的傳奇人物。證實他與眾不同的一個細節(jié)是伊壁孟德曾經(jīng)一覺睡了57年之久。

有一天，伊壁孟德突然說了這樣一句話：“所有的克里特人都是撒謊者。”本來人們對哲人的判斷言聽計從，可這句所謂神的旨意究竟是真是假引起了人們的爭議。幾乎所有刨根問底的人都不由自主被卷進伊壁孟德造成的漩渦里難以自拔。

其中原因也不難理解：假定撒謊者總是說假話，不撒謊者總是說真話。如果伊壁孟德說的是真話，那么所有克里特人都是撒謊者，可是伊壁孟德正是一個克里特人，那么他說的話必然就是假話，這樣一來，前后就產(chǎn)生了矛盾；如果伊壁孟德這句話是假的，那么所有克里特人就不是撒謊者，而都是講真話的，因為伊壁孟德是克里特人，他說的話必然又是真話，結(jié)果還是前后矛盾。這真讓人迷惑，從邏輯推理來說，上面的推斷嚴謹而合理，可得出的結(jié)論卻讓人抓狂，伊壁孟德的這句話怎么可能既是謊話，同時又是真話呢？這就是邏輯悖論中著名的“說謊者悖論”，它反映出悖論在邏輯上不可避免的矛盾。

從這個例子可以清晰看出悖論的特點：當我們在認定了一個結(jié)論的前提下，經(jīng)歷了一系列嚴密推理之后，卻又得出了否定前提的結(jié)論。

分身乏術(shù)的鎮(zhèn)長

荷蘭的譯音來自Nederland，意為“低洼之國”。這是因為荷蘭全境均地勢較低，所以荷蘭境內(nèi)呈現(xiàn)出河流密布，溝壑交錯的特殊地貌。也正是由于這種特殊的地理條件，荷蘭在很久以前就出現(xiàn)了許多小市鎮(zhèn)。

為了便于管理，每個小市鎮(zhèn)均設(shè)立了鎮(zhèn)長。首先必須說明的是，沒有任何人兼任兩個或兩個以上市鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長，也沒有任何市鎮(zhèn)由兩個或兩個以上的人擔任鎮(zhèn)長。排除了這些特殊情況后，還要慎重加以說明的是，在這些鎮(zhèn)長中，有的居住在自己任職的市鎮(zhèn)中，人們習慣地稱他們?yōu)椤熬用矜?zhèn)長”；有的則是在另外的市鎮(zhèn)里居住，人們稱其為“非居民鎮(zhèn)長”。這原本也沒什么值得大驚小怪的，直到有一年，荷蘭專門開辟一塊土地讓這些“非居民鎮(zhèn)長”居住，這項法令頒布后，奇怪的事情發(fā)生了。

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，這塊專門的地區(qū)越來越繁華，面積也越來越大，“非居民鎮(zhèn)長”的數(shù)量不斷增加，很快這個地區(qū)就形成了一個新的市鎮(zhèn)。顯然，這個新形成的市鎮(zhèn)也要設(shè)立鎮(zhèn)長一職，這是大家都能接受的。但選出鎮(zhèn)長后，人們卻發(fā)現(xiàn)一個無法解決的問題，那就是：這個鎮(zhèn)的鎮(zhèn)長住不住在這個鎮(zhèn)呢？

如果此鎮(zhèn)長住在這個鎮(zhèn)，那么，他就成了“居民鎮(zhèn)長”，但前面提到，荷蘭劃出這塊專門地區(qū)是為了那些不能住在自己任職市鎮(zhèn)里的鎮(zhèn)長。換句話說，只有“非居民鎮(zhèn)長”才能住在這里，所以根據(jù)這一點判斷此鎮(zhèn)長不能住在這個鎮(zhèn)。而如果此鎮(zhèn)長不住在這個鎮(zhèn)，那么，他又成了“非居民鎮(zhèn)長”，而“非居民鎮(zhèn)長”就應該住在這里。這的確讓人大傷腦筋，無所適從，因為鎮(zhèn)長分身乏術(shù)啊。

令人糾結(jié)的卡片

“什么樣的卡片能讓人糾結(jié)？”請看下面這張由英國數(shù)學家P.E.B喬頓精心設(shè)計的“矛盾卡片”。如果你對動手操作感興趣，也可以照此復制一張卡片慢慢琢磨。

需要說明的是，所謂矛面和盾面是指這張卡片的正反兩面，為了讓大家一目了然便于直觀分析，所以加上了顯著的標記。但這并不是“矛盾卡片”的重點，卡片值得反復推敲的玄機所在是正反兩面上的判斷語句。

暫時沒發(fā)現(xiàn)什么玄妙？不要緊，請跟著筆者一起進入語境進行推理：如果矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正確的”為真，也就是說另一面即盾面上的句子是正確的，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是錯誤的”，這句話若是正確的，則表明另一面即矛面上的句子又應該為假，這樣就導致前后判斷相互矛盾；同樣的，由矛面上的句子“卡片的另一面上的句子是正確的”為假，可推斷出另一面即盾面上的句子錯誤，而盾面的句子是“卡片的另一面上的句子是錯誤的”，恰恰印證了矛面上的錯誤判斷，也就是說，事實上盾面上的句子是正確的，這樣又導致前后判斷相互矛盾。以上是從矛面到盾面的分析，大家也可以從盾面到矛面分析，結(jié)果仍然會落入左右為難的境地。

這種是也不是、不是也是的情況猶如“循環(huán)往復”的黑洞?？蓮谋砻嫔嫌执_實看不出推理有什么破綻，人們似乎莫名其妙就陷入矛盾之中，這實在令人糊涂和糾結(jié)。

為何出現(xiàn)悖論

你肯定會問：這么奇怪的悖論是如何出現(xiàn)的？從其發(fā)展過程中不難看出，悖論產(chǎn)生的根源在于客觀世界所固有的矛盾。人類的認知能力有限，對世界的認識是一個逐漸提高的過程，只能分時段、分層次由淺入深、由低到高慢慢掌握事物的規(guī)律，所以即便是大家公認的科學理論也只是某一時期、某一層次、某一領(lǐng)域的客觀規(guī)律的部分反映，并不一定全面嚴密，而且人們對事物的認識還會隨著時間的變化而變化。比如在很長一段時間內(nèi)，人們認識和接受的數(shù)是自然數(shù)，也習慣了用較大數(shù)減去較小數(shù)，而后來為了表示事實存在的相反意義的量，才引入負數(shù)的概念，這樣用較小數(shù)減去較大數(shù)就不再荒唐。這說明，正是認知的局限變化和科學理論的非絕對真理性為悖論的產(chǎn)生提供了合理的“土壤”。

悖論帶來了什么

接下來的問題是研究悖論有什么意義呢？回答是，悖論對人類的認知能力和科學發(fā)展將起到積極的推進作用。下面兩個著名事例應該能夠說明這一點。

畢達哥拉斯悖論。畢達哥拉斯是古希臘最杰出的數(shù)學家，這位西方理論數(shù)學的創(chuàng)始人創(chuàng)立了著名的畢達哥拉斯學派?！耙磺袛?shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”是這一學派的數(shù)學信仰，并被人們普遍接受。該學派最為自豪的數(shù)學成果是發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”，因為宰殺了100頭牛大肆慶賀，所以又稱“百牛定理”。而正是由于這個定理的發(fā)現(xiàn)導致了“畢達哥拉斯悖論”的產(chǎn)生，從而動搖了大眾的數(shù)學信仰。

該學派中的一個成員希帕索斯在思考“邊長為1的正方形的對角線長度”時遇到了讓他困惑不解的情況。因為這等同于求直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊L。根據(jù)“勾股定理”， L2=12十12=2，而12=1，22=4，12為一既約分數(shù)，則n和m互質(zhì)，有L2=（）2=2，可推知m2=2n2……①，即m2是偶數(shù)，m也為偶數(shù)（否則的話，m2就會是奇數(shù)導致矛盾）；不妨設(shè)m=2P，代入①式得4P2=2n2，即n2=2P2，即n2是偶數(shù)，n也為偶數(shù)，所以這就與n和m互質(zhì)矛盾，即L也不是分數(shù)。

L既不是整數(shù)也不是分數(shù)，顯然與畢氏學派的信仰直接相悖，“肇事者”希帕索斯為此付出了生命的代價，但這并不能阻礙人們重新反思，并引入一種新數(shù)——無理數(shù)。現(xiàn)在人們輕松地用來表示這個結(jié)果時，誰能想到這類數(shù)曾引起人們的極大恐慌呢？

落體悖論。亞里士多德是古希臘落體研究的代表人物。他的落體運動定律——不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比，因接近于日常生活的事實而得到人們的普遍認可。

16世紀，意大利著名天文學家和物理學家伽利略對此“權(quán)威定論”產(chǎn)生疑問，于是就出現(xiàn)了1589年的“比薩斜塔實驗”。眾目睽睽之下，伽利略讓兩個重量不同的鐵球同時自由下落，結(jié)果兩個鐵球同時落地。除此之外，伽利略還進行了如下的假設(shè)推導：

假設(shè)“物體越重，下落越快”的論斷正確。那么，現(xiàn)在有兩個物體A和B，A的重量超過B，根據(jù)假設(shè)可得，A下落比B快；接著，把A和B兩個物體固定在一起得到物體C，顯然C的重量更大，仍根據(jù)假設(shè)，C應該下落得最快。

而分析C落下時的情形可發(fā)現(xiàn)：C由A和B兩部分組成，下落時較重的A速度要快過較輕的B。這樣，較快的A在前面拉著較慢的B，較慢的B在后面拖著較快的A，那么受B的影響，A和B一起（即C）下落的速度應介于A和B單獨自由下落速度之間。也就是說，C下落的速度比A慢。這與前面得出“C下落最快”的結(jié)論矛盾。

伽利略采用“以彼之道，還治彼身”的方法，利用亞里士多德的判斷作為前提進行嚴密推導，得出與前提矛盾的結(jié)論，從而在邏輯上推翻了亞里士多德深入人心的定論，為近代物理學的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)。

總而言之，悖論的出現(xiàn)讓人歡喜讓人憂。喜的是這種悖論之惑客觀存在，它將激發(fā)人們的探索欲，并重新進行創(chuàng)造性的思考，而這種創(chuàng)造性的思考往往可以給人類帶來全新的觀念和認識；憂的是數(shù)學家面對悖論一下子陷入到邏輯的困境中莫衷一是，暫時還沒有完善的解決方案。但我們有理由相信，悖論是打開新領(lǐng)域的“敲門磚”。事實上，數(shù)學史上的3次數(shù)學危機都是由悖論引發(fā)的，所以悖論或許會給我們打開新的世界之門。

【責任編輯】趙 菲