摘 要：由于統(tǒng)計(jì)課程的公式眾多且計(jì)算復(fù)雜，在實(shí)際教學(xué)工作中，統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)工作難度很大。插值法作為一種方便簡捷的計(jì)算方法在財(cái)務(wù)分析中一直大量而廣泛地使用。教師要以中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算為例，研究如何靈活運(yùn)用插值法求解統(tǒng)計(jì)課程中組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)，以培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)人才。

關(guān)鍵詞：插值法；中位數(shù)；眾數(shù)；統(tǒng)計(jì)人才

插值法作為一種方便簡捷的計(jì)算方法在財(cái)務(wù)分析中一直大量而廣泛地使用。下面，教師以中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算為例，闡述如何靈活運(yùn)用插值法求解統(tǒng)計(jì)課程中組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)，以培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)人才。

一、中位數(shù)和眾數(shù)

中位數(shù)和眾數(shù)同屬平均指標(biāo)，主要用來反映同類現(xiàn)象總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平。

（1）中位數(shù)。中位數(shù)是標(biāo)志值按大小順序排列的變量數(shù)列中處于中間位置的標(biāo)志值，用“Me”表示。由于其位置居中，不易受極端數(shù)值的影響，因而常用它來代表現(xiàn)象的一般水平。

根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)時(shí)，先將總體各單位的標(biāo)志值按從小到大的順序排列，然后確定中位數(shù)所處的位置，處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值即為中位數(shù)。確定中位數(shù)位置的方法是：中位數(shù)位置。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值即為中位數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，處于數(shù)列中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的簡單算術(shù)平均數(shù)即為中位數(shù)。設(shè)有一組數(shù)據(jù)從小到大排序后為，則中位數(shù)是X與X的平均數(shù)。即

根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù)的具體步驟是：先計(jì)算累計(jì)次數(shù)，并按公式中位數(shù)的位置=確定中位數(shù)所在組的位置，然后，再根據(jù)公式推算中位數(shù)的具體數(shù)值。由于在統(tǒng)計(jì)工作中累計(jì)次數(shù)有向上累計(jì)和向下累計(jì)兩種計(jì)算方法，所以中位數(shù)的計(jì)算分為下限公式和上限公式兩種：

公式中：L表示中位數(shù)所在組的下限；U表示中位數(shù)所在組的上限；表示中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)；表示中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)；fm表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d表示中位數(shù)組的組距。

（2）眾數(shù)。眾數(shù)是現(xiàn)象總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值，亦即出現(xiàn)最為普遍、最為常見的數(shù)值，用“Mo”表示。眾數(shù)具有計(jì)量快速、方便，且不易受極端數(shù)值影響的優(yōu)勢。在實(shí)際工作中，如果只要求掌握一般常見的數(shù)據(jù)作為研究問題、安排工作或生產(chǎn)的參考，就可采用眾數(shù)來說明現(xiàn)象的一般水平。

眾數(shù)的計(jì)算分兩種情況，在未分組資料或單項(xiàng)數(shù)列中，可用觀察法直接確定眾數(shù)，即總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。

當(dāng)掌握的資料為組距數(shù)列時(shí)，先要確定次數(shù)最多的一組為眾數(shù)組，然后根據(jù)數(shù)列的次數(shù)分布情況，利用公式計(jì)算眾數(shù)的近似值。其計(jì)算公式為：

公式中：L為眾數(shù)組下限；U為眾數(shù)組上限，Δ1為眾數(shù)所在組的次數(shù)與其前一組次數(shù)之差，Δ2為眾數(shù)所在組的次數(shù)與其后一組次數(shù)之差，d為眾數(shù)組的組距。

通過以上介紹可以看出，統(tǒng)計(jì)中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算分為多種情況，每種情況的計(jì)算公式又較為復(fù)雜、難以理解且容易混淆，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的困難。

二、插值法

插值法又叫內(nèi)插法，主要是利用數(shù)學(xué)上的等比關(guān)系，用一組已知的未知函數(shù)的自變量的值和與其相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值來求未知函數(shù)其他值的對(duì)應(yīng)自變量的值的近似計(jì)算方法。若假設(shè)三點(diǎn)在一條直線上，插值法則可以利用直線上任意兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)距離之比等于對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)距離之比的關(guān)系而近似求得其他未知數(shù)。

在財(cái)務(wù)分析中，無論是在貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中求利率i或年限n，還是在債券估價(jià)中求債券的到期收益率，或在項(xiàng)目投資決策指標(biāo)中求內(nèi)含報(bào)酬率等都要大量而廣泛地使用插值法。所以，插值法是財(cái)經(jīng)類專業(yè)學(xué)生必須熟練掌握的一種計(jì)算方法，同樣，這種方法也可用于方便地求解統(tǒng)計(jì)中位數(shù)和眾數(shù)。

三、利用插值法求解組距數(shù)列中位數(shù)和眾數(shù)

在未分組資料中，確定中位數(shù)和眾數(shù)的方法較為簡單，而根據(jù)分組資料計(jì)算中位數(shù)和眾數(shù)的公式容易混淆且難以理解，所以，以下內(nèi)容著重闡述如何運(yùn)用插值法來求解組距數(shù)列的中位數(shù)和眾數(shù)。

例：某廠工人生產(chǎn)某零件的有關(guān)資料如表1所示，試根據(jù)資料計(jì)算中位數(shù)和眾數(shù)。

（1）利用插值法求解中位數(shù)。

首先，根據(jù)資料確定中位數(shù)所在的組：中位數(shù)位置===40（人）。根據(jù)向上累計(jì)次數(shù)，第40個(gè)工人包含在累計(jì)次數(shù)50中，說明中位數(shù)在累計(jì)工人人數(shù)為50人的組，即變量值為800～1000件的組；根據(jù)向下累計(jì)次數(shù)，第40個(gè)工人包含在累計(jì)次數(shù)60中，說明中位數(shù)在累計(jì)工人數(shù)為60人的組，該組對(duì)應(yīng)的變量值亦為800～1000件。這說明800～1000件就是中位數(shù)所在組。

第二步，分析計(jì)算中位數(shù)。

如圖1所示，假定整個(gè)中位數(shù)所在的組內(nèi)，次數(shù)分布是均勻的，橫軸代表的是累計(jì)工人人數(shù)。800為中位數(shù)所在組的下限，對(duì)應(yīng)的累計(jì)工人人數(shù)為201000為中位數(shù)所在組的上限，對(duì)應(yīng)的累計(jì)工人人數(shù)為50，設(shè)我們要求的中位數(shù)，即第40個(gè)工人所生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為X，根據(jù)圖2中插值法的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，可列方程：=?x=800+×200=933.33（件）。

同樣，我們還可以利用組上限和中位數(shù)之間的比例關(guān)系，如圖3所示，列得方程：

不管是利用怎樣的比例關(guān)系，求得的中位數(shù)結(jié)果是一致的。利用插值法求解中位數(shù)易于理解，且不用記憶公式，在教學(xué)過程中深受學(xué)生們的歡迎。

（2）利用插值法求解眾數(shù)。

仍以表1資料為例，做眾數(shù)分布直方圖如圖4所示。假定直方圖橫坐標(biāo)是組距，即按工人生產(chǎn)零件數(shù)的分組；縱坐標(biāo)是次數(shù)分布情況，即各組的生產(chǎn)工人人數(shù)。一般來說，在等距數(shù)列中次數(shù)分布愈集中，直方柱愈高。從圖中可以看出，中間一組即生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為800～1000件的那組就是眾數(shù)所在的組，其次數(shù)分布最集中。G點(diǎn)是眾數(shù)所在組的下限：800件，H點(diǎn)是眾數(shù)所在組的上限：1000件，GH的距離就是眾數(shù)組的組距：200件，MO點(diǎn)就是眾數(shù)所在的位置。

分析圖4可以看出，眾數(shù)的位置主要取決于眾數(shù)所在組的左右兩鄰組的次數(shù)分布。如果左右兩鄰組的次數(shù)分布相等即高度相等，無疑眾數(shù)就在眾數(shù)所在組的正中央；如果左鄰組的次數(shù)分布高于右鄰組的次數(shù)分布，則MO會(huì)偏向左邊，靠近眾數(shù)組的下限800；如果左鄰組的次數(shù)分布低于右鄰組的次數(shù)分布，則MO會(huì)偏向右邊，靠近眾數(shù)組的上限1000。

在直方圖中，AB的距離為△1，且△1=30-12；CD的距離為△2，且△2=30-25。連結(jié)AD和BC兩條線段，它們的交點(diǎn)為O，從O點(diǎn)作垂線，與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是MO，過MO點(diǎn)作平行與橫軸的直線分別相交AB、CD兩條線段于E、F兩點(diǎn)。由于OMO與橫軸垂直，所以，設(shè)EO=GMO為X；則OF=MOH=200-X。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，△AOB與△COD為對(duì)角三角形，即△AOB≌△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，這兩個(gè)相似三角形所對(duì)應(yīng)的底邊和高成比例，即=，由于EO=GMO=X；OF=MOH=200-X；AB=△1；CD=△2，所以=，將資料中的數(shù)據(jù)代入公式中，則：=

參考文獻(xiàn)：

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（河南鄭州工業(yè)貿(mào)易學(xué)校）