全等三角形是學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)，近年來的各類考試中，很多命題人通過對(duì)三角形有關(guān)邊與角的條件或結(jié)論的變化與拓展，使試題的背景、形式等發(fā)生變化，這些題目往往能在課本例題或者習(xí)題中找到原型，現(xiàn)就人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第40頁中的例3進(jìn)行拓展。

課本例題 如圖1，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠B=∠C，求證：△AEB≌△ADC。

分析 由圖形可知，∠A為公共角，由AB=AC，∠B=∠C，即可證明△AEB≌△ADC。

證明 在△AEB和△ADC中，

因?yàn)椤螦=∠A， AB=AC，∠B=∠C，

所以△AEB≌△ADC。

點(diǎn)評(píng) 本題借助“ASA”判定兩三角形全等，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中的公共角。

變式1 如圖2，已知：AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E。

（1）求證：AD=AE；

（2）如圖3，連接OA、BC，試判斷直線OA、BC的關(guān)系并說明理由。

分析 根據(jù)“AAS”的判定定理可證明△ADC≌△AEB，進(jìn)而繼續(xù)探究直線OA、BC的關(guān)系，由條件及已證結(jié)論可得△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判斷出OA是∠BAC的平分線，即OA⊥BC。

解 （1）證明：在△ACD與△ABE中，

因?yàn)椤螦=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，

所以△ACD≌△ABE。

所以AD=AE。

（2）互相垂直。

在Rt△ADO與Rt△AEO中，

因?yàn)镺A=OA，AD=AE，

所以△ADO≌△AEO，

所以∠DAO=∠EAO，

即OA是∠BAC的平分線。

又因?yàn)锳B=AC，所以O(shè)A⊥BC。

點(diǎn)評(píng) 本題在課本例題圖形的基礎(chǔ)上，將條件∠B=∠C去掉，添加條件CD⊥AB于D、BE⊥AC于E，形式雖然變化，但解題方法、思路不變，通過連接AO，使背景與條件形式發(fā)生很多變化，要求我們重新思考與探究解題思路。

變式2 如圖4，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：∠B=∠C。

分析 根據(jù)中點(diǎn)的定義可知，AD= AB、AE= AC，可知AD=AE，根據(jù)SAS可證明△AEB≌△ADC。

證明 因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

所以AD= AB， AE= AC。

因?yàn)锳B=AC，所以AD=AE。

在△AEB和△ADC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE。所以△AEB≌△ADC。

所以∠B=∠C。

點(diǎn)評(píng) 本題把課本例題中的∠B=∠C去掉，改為點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，但證題思路、方法未發(fā)生變化。此類變形題目有助于提升與訓(xùn)練同學(xué)們的解題思維能力。

變式3 如圖5，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一對(duì)相等的線段或一對(duì)相等的角的條件，使BD=CE。你所添加的條件是 。

分析 由△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O，可得∠BEC=∠CDB=90°，又要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD，根據(jù)全等三角形的判定定理與性質(zhì)，即可求得答案。

解 此題答案不唯一，如∠DBC=∠ECB或∠EBC=∠DCB 或AB=AC或BE=CD等。

因?yàn)椤鰽BC的高BD、CE相交于點(diǎn)O，

所以∠BEC=∠CDB=90°。

因?yàn)锽C=CB，

要使BD=CE，只需△BCE≌△CBD。

當(dāng)BE=CD時(shí)，利用HL即可證得△BCE≌△CBD；

當(dāng)∠ABC=∠ACB時(shí)，利用AAS即可證得△BCE≌△CBD；

當(dāng)∠DBC=∠ECB時(shí)，也可證得△BCE≌△CBD；

當(dāng)AB=AC時(shí)，有∠ABC=∠ACB，也可證得△BCE≌△CBD。

點(diǎn)評(píng) 本題在課本例題及變式題的基礎(chǔ)之上，以開放條件的方式設(shè)置問題，有助于訓(xùn)練同學(xué)們對(duì)條件的準(zhǔn)確把握及全等三角形的判定方法的應(yīng)用。