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        家庭生活中的數(shù)學

        2013-12-29 00:00:00王友峰
        初中生世界·七年級 2013年10期

        代數(shù)式是刻畫和研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型,我們在日常生活中常常要用這個數(shù)學模型來解決一些實際問題,下面舉例說明代數(shù)式知識在家庭生活中的一些妙用.

        一、電視機屏幕有多大

        例1 如圖1所示,小明家買了一臺74cm的電視機,電視機的長為xcm,寬為ycm(包括邊緣部分),屏幕外邊緣部分長的方向厚度為8cm,寬的方向厚度為4cm,求屏幕的面積.

        【分析】根據(jù)題意,屏幕的面積即為圖中的陰影部分的面積.我們可以先計算出長為y,寬為8的兩個長方形的面積,和長為x,寬為4的兩個長方形的面積,然后計算重疊部分的面積.

        解:屏幕的面積為(xy-8x-16y+128)cm2.

        【說明】用這種方法計算屏幕的面積時,忘記加上重疊部分的面積是最常見的錯誤之一.

        二、心跳速率知多少

        例2 人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關.如果用a表示一個人的年齡,用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù),那么b

        =0.8(220-a).

        (1) 正常情況下,14歲的小明在運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)是多少?

        (2)小明的爸爸今年50歲,運動時10s內(nèi)心跳次數(shù)為20次,他有危險嗎?

        【分析】本題實際上是一道代數(shù)式求值題.(1)只要把a=14代入b=0.8(220-a)即可;(2)分別求出50歲的人運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)和這個人實際每分鐘心跳的次數(shù),將二者進行比較即可判斷.

        解:(1)當a=14時,b=0.8(220-a)=164.8≈164(次).所以14歲的小明運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)是164次;(2)當a=50時,b=0.8(220-a)=136(次).而小明的爸爸實際每分鐘心跳的次數(shù)為20×6=120(次).由于120<136,所以小明的爸爸按照這種情況運動應沒有危險.

        【說明】在進行鍛煉時要注意安全,切不可適得其反.這里(1)中只能用去尾法取近似數(shù),否則就不安全了.

        三、建筑材料如何算

        例3 (1)小明家住房的平面圖如圖2所示,其中衛(wèi)生間、廚房準備用同一種瓷磚鋪,則需要鋪設瓷磚的面積和是( ).

        A. 4xy B. 3xy

        C. 2xy D. xy

        (2) 小明家住房的窗戶形狀如圖3,上部是半圓形,下部是邊長相同的四個小正方形,試計算窗戶的面積及窗框的總長,并求當a=50cm時,窗戶的面積及窗框的總長的值分別是多少?(結果精確到0.1cm)

        【分析】(1)結合圖形,分別計算出衛(wèi)生間和廚房的長和寬,然后算出面積的和;(2)窗戶包括兩大部分,上面是半圓,其半徑是a,下面四個正方形,因此,窗戶的面積=半圓的面積+4個正方形的面積,窗框的總長是所有框架的長,即半圓弧長加上15條等線段的長.

        解:(1)衛(wèi)生間的長為4x-2x-x=x,寬為y,因此面積為xy;廚房的長為4y-2y

        =2y,寬為x,因此面積為2xy.所以面積的和是3xy,所以選B.(2)窗戶的面積為4a2+■πa2,窗框的總長為15a+πa.當a=50cm時,窗戶的面積是4a2+■πa2=4×502+■×3.14×502=13925.0cm2;窗框的總長為15a+πa=15×50+3.14×50=907.0(cm).

        【說明】這類計算問題,關鍵是找準所要計算的圖形,不可重復,也不可遺漏.本題中,對半圓直徑所在的兩條線段或遺漏或重復是常見的錯誤.

        四、手機話費怎樣繳

        例4 某通信公司為了鼓勵多用手機,做出如下規(guī)定:每月通話時間60分鐘之內(nèi)(含60分鐘),每分鐘0.2元,超出部分每分鐘0.1元.小明的爸爸某月通話時間為a分鐘(a>60),請你幫他算算應付多少錢?

        【分析】由于小明的爸爸通話時間超出60分鐘,所以他的話費應分兩段繳納,60分鐘的話費為60×0.2=12(元),超出部分的話費為0.1×(a-60)=0.1a-6,再把它們加起來即為應繳的話費.

        解:應繳的話費為0.1×(a-60)+60

        ×0.2=(0.1a+6)(元).

        【說明】分段繳費問題是生活中最常見的問題,在解決這類問題時,不同區(qū)間內(nèi)的收費標準是不一樣的,切不可“張冠李戴”.

        五、水(電)費分段算

        例5 某市為鼓勵市民節(jié)約用水,對自來水用戶按如下標準收費:若每月用水不超過15m3,則每立方米按a元收費;若超過15m3,超過部分按每立方米2a元收費.小明的奶奶家一月份用水35m3,請你幫小明的奶奶算算,這個月她應繳水費多少元?

        【分析】小明的奶奶家一月份用水35 m3,超過了15m3,所以水費應分兩部分計算,其中15m3部分每立方米按a元收費,即為15a元;超過部分為35-15=20(m3),每立方米按2a元收費,即為40a元.兩部分相加就是小明的奶奶家一月份應繳的水費.

        解:小明奶奶家一月份應繳水費為15a+2a(35-15)=15a+40a=55a(元).

        【說明】這也是分段收費問題,要注意弄清不同的收費標準,正確計算.

        六、賺賠算算就知道

        例6 小明的媽媽下崗后再就業(yè),做起了小商品生意.第一次進貨時,她以每件a元的價格購進20件甲種小商品,以每件b元的價格購進30件乙種小商品(a>b).回來后,根據(jù)市場行情,她將這兩種小商品都以每件■元的價格出售.小明的媽媽問小明,在這次買賣中,她( ).

        A.賺錢 B.賠錢

        C.不賺不賠 D.無法確定賺還是賠

        【解析】甲種小商品成本為20a元,賣出價錢為(10a+10b)元;乙種小商品成本為30b元,賣出價錢為(15a+15b)元.(10a

        +10b)+(15a+15b)-20a-30b=5a-5b=5(a

        -b),因為a>b,所以a-b>0,即5(a-b)>0,即小明的媽媽在這次買賣中賺錢了.選A.

        【說明】本題屬于商品利潤問題,只要我們借助數(shù)學知識算一算,結論便一目了然.

        七、選擇哪種方案好

        例7 某市電話撥號上網(wǎng)有兩種收費方式,用戶可以任選其一.

        A:計時制:0.05元/分;

        B:50元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).此外,每一種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分.

        (1)某用戶某月上網(wǎng)的時間為x小時,請寫出兩種收費方式下該用戶應該支付的費用.

        (2)如果某用戶估計一個月上網(wǎng)的時間為25小時,你認為選擇哪種方式合算?

        (3)上網(wǎng)時間為多少時,兩種收費方式的費用一樣?上網(wǎng)時間為多少時,選擇包月制方式合算?上網(wǎng)時間為多少時,選擇計時制方式合算?

        【分析】要判斷選擇哪一種上網(wǎng)收費方式比較合算,就需要設定某用戶某月上網(wǎng)時間,寫出兩種收費方式下該用戶應支付的費用,再根據(jù)某用戶一個月內(nèi)上網(wǎng)時間確定采用哪種方式合算.要使兩種收費方式的費用一樣,可以通過簡易方程求解.

        解:(1)計時制每小時收費3元,通信費每小時1.2元,設某用戶某月上網(wǎng)時間為x小時,則按照A方式,每月要收費(3

        +1.2)x=4.2x(元);按照B方式,每月要收費(50+1.2x)(元).(2)當x=25時,按照A方式,每月要收費4.2x=4.2×25=105(元);按照B方式,每月要收費50+1.2x=50

        +1.2×25=80(元),所以選擇包月制方式合算.(3)要使兩種收費方式的費用一樣,則有4.2x=50+1.2x,解得x=■,即上網(wǎng)時間為■小時時兩種方式的費用相同;上網(wǎng)時間大于■小時時,選擇包月制方式合算;上網(wǎng)時間小于■小時時,選擇計時制方式合算.

        【說明】計算通訊費用是我們經(jīng)常遇到的問題,有了數(shù)學知識這些問題就迎刃而解了.

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