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        用整式加減的知識解決實際問題

        2013-12-29 00:00:00吳會琴
        初中生世界·七年級 2013年10期

        整式加減是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識,應(yīng)用整式加減的有關(guān)知識可以解決日常生活中的許多問題.現(xiàn)舉幾例說明.

        例1 小明在某商場工作的爸爸告訴小明:他們商場進(jìn)了某種商品,設(shè)想按照進(jìn)價提高40%后銷售,但銷售的情況很不好,結(jié)果大量積壓,因此準(zhǔn)備按售價的60%出售,并問小明這樣出售該種商品是虧了還是賺了?

        【分析】出售該種商品是虧還是賺,需要比較實際售價與進(jìn)價的大小.

        解:根據(jù)題意,設(shè)進(jìn)價為a元,則實際出售的價格為:a(1+40%)·60%,即■a元,因為■a

        【說明】對于商品銷售中的虧與賺問題,常常需要列出實際售價與進(jìn)價的代數(shù)式,再通過比較代數(shù)式值的大小來得到結(jié)論.

        例2 小明所在的七年級(2)班3位老師決定帶領(lǐng)全班a名同學(xué)(a不少于3)在“十一”期間去南京旅游.春光旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:教師全價,學(xué)生半價;而華夏旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:不管教師還是學(xué)生一律八折優(yōu)惠.這兩家旅行社的票價都是500元/人.小明想:到底選擇哪一家旅行社較為合算?

        【分析】到底選擇哪一家旅行社合算,要通過列代數(shù)式,用求差法比較,并注意到題目中a≥3的條件,就可以得到結(jié)論.

        解:春光旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:教師全價,學(xué)生半價,即教師每人500元,學(xué)生每人250元,春光旅行社的總費(fèi)用為500 ×3+500a×0.5=1500+250a(元);華夏旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為一律八折,即每人票價為500×0.8=400(元),華夏旅行社的總費(fèi)用為(3+a)×500×0.8=1200+400a(元).(1200

        +400a)-(1500+250a)=150a-300.又a≥3,所以150a-300>0,即1200+400a>1500+250a,因此選擇春光旅行社較為合算.

        【說明】這是一個生活中的決策類實際問題.解決問題的思路是先通過列代數(shù)式建立春光旅行社和華夏旅行社收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用整式加減的知識對這兩個數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求差運(yùn)算,借助于a≥3的條件,確定差的性質(zhì)符號,進(jìn)而得到結(jié)論.當(dāng)然,比較兩個數(shù)學(xué)模型在a≥3的條件下的大小方法不唯一,你還有其他比較大小的方法嗎?寫出來與你的同伴交流.

        例3 宜興是有名的陶都.周末小明陪爸爸去陶瓷商城購買一些茶壺和茶杯,了解情況后發(fā)現(xiàn)甲、乙兩家商店都在出售同樣品牌的茶壺和茶杯,定價相同:茶壺每把定價30元,茶杯每只定價5元,且兩家都有優(yōu)惠:甲店買一送一大酬賓(買一把茶壺贈送茶杯一只),乙店全場9折優(yōu)惠.小明爸爸需茶壺5把,茶杯x只(x不少于5).

        (1)若在甲店購買,則總共需要付多少元?若在乙店購買,則總共需要付多少元?(用含x的代數(shù)式表示并化簡)

        (2)當(dāng)需購買15只茶杯時,請你去辦這件事,你打算去哪家商店購買?為什么?

        (3)當(dāng)購買茶杯多少只時,兩種優(yōu)惠辦法付款一樣?

        【分析】(1)由題意可知,在甲店買一把茶壺贈送茶杯一只,故需付5只茶壺的錢和(x-5)只茶杯的錢,已知茶壺和茶杯的價格,可列出付款額的關(guān)于x的代數(shù)式;在乙店購買全場9折優(yōu)惠,同理也可列出付款額的關(guān)于x的代數(shù)式;(2)當(dāng)x=15時,將其代入兩個代數(shù)式,比較得出的代數(shù)式值,哪家小就在哪家買;(3) 若兩種優(yōu)惠辦法付款額一樣,則兩式子的值相等,即兩個代數(shù)式值的差為0,計算出x的值即為需購買茶杯的數(shù)目.

        解:(1)若在甲店購買茶杯x只,因為在甲店買一把茶壺贈送茶杯一只,且茶壺每把M4cpOSZOfLxXyZxuIeRHRA==定價30元、茶杯每只定價5元,則買茶壺5把需要150元,同時得到贈送的茶杯5只,所以只需要買(x-5)只茶杯,即需要5(x-5)元,這樣總共需要付150+5(x

        -5)=(5x+125)元;若在乙店購買茶杯x只,則買茶壺5把需要5×30×0.9=135(元),買茶杯x只需要5x×0.9=4.5x(元),這樣總共需要付(4.5x+135)元;(2)當(dāng)需購買15只茶杯時,在甲店購買需要付5×15+125=200(元),在乙店購買需要付4.5×15+135=202.5(元),因為200<202.5,所以在甲店購買便宜,故選擇甲店購買;(3)若要在兩店付款一樣,則兩式子的值相等,即兩個代數(shù)式值的差為0,所以有(5x+125)-(4.5x+135)=0,去括號得5x+125-4.5x-135=0,合并同類項得0.5x-10=0,解得x=20, 所以購買20只茶杯時,兩種優(yōu)惠辦法付款一樣.

        【說明】本題是一個常見的市場經(jīng)濟(jì)類問題,購買物品總是越省錢越好,因此就出現(xiàn)對各個商家提出的供貨方案的比較問題.靈活運(yùn)用代數(shù)式的知識可以較好地解決這些問題,所以說代數(shù)式是刻畫實際生活問題的一個有效模型.

        例4 小明與小亮玩撲克牌游戲.小明背對小亮,讓小亮按下列四個步驟操作.第一步:分發(fā)左、中、右三堆牌,每堆牌不少于兩張,且各堆牌現(xiàn)有的張數(shù)相同;第二步:從左邊一堆拿出兩張,放入中間一堆;第三步:從右邊一堆拿出一張,放入中間一堆;第四步:左邊一堆有幾張牌,就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆.這時,小明準(zhǔn)確說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù).你認(rèn)為中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)是 .

        【分析】因為第一步各堆牌的張數(shù)相同,所以可設(shè)為n張,則第二步后左堆有(n-2)張,中間堆有(n+2)張;第三步后,中間有(n+2+1)張;第四步中間堆有(n+3)

        -(n-2)=5(張).

        解:5.

        【說明】這是一個生活中常見的游戲問題,初看上去過程比較復(fù)雜,利用代數(shù)式來表示每一步的變化情況,通過代數(shù)式的運(yùn)算就能夠輕松獲得答案.

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