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        由一道習題引出的“無關”類問題

        2013-12-29 00:00:00王華君
        初中生世界·七年級 2013年10期

        小明說:“請你任意想一個數(shù),把這個數(shù)乘2后加8,然后除以4,再減去你原來所想的那個數(shù)的■,我可以知道你計算的結果是2. ”你相信嗎?請與同學交流.(義務教育教科書蘇科版《數(shù)學》七年級上冊第93頁第18題)

        解:設任意想的那個數(shù)為x,根據(jù)題意,得代數(shù)式■(2x+8)-■x,化簡得2.所以這個代數(shù)式的值與x的取值無關,即x取任意一個數(shù),這個代數(shù)式的值都是2.

        在上面的問題中,列出的代數(shù)式是與x有關的,但化簡后卻不含有字母x,我們把這類問題稱之為“與某個字母無關”的問題.下面舉例說明這類問題的解法.

        例1 多項式(xyz2+4yx-1)+(-3xy

        +z2yx-3)-(2xyz2+xy)的值( ).

        A.與x,y,z的大小無關

        B.與x,y的大小有關,與z的大小無關

        C.與x的大小有關與y,z的大小無關

        D.與x,y,z的大小都有關

        【解析】先化簡,結果中不含哪個字母,代數(shù)式的值就與這個字母無關.

        原式=xyz2+4yx-1-3xy+z2yx-3-2xyz2-xy=(1+1-2)xyz2+(4-3-1)xy+(-1-3)=-4,結果與字母x,y,z的大小無關,所以選A.

        例2 有這樣一道題:“當a=2013,b

        =-2014時,求多項式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2013的值.”小明說:本題中a=2013,b=-2014是多余的條件;小強馬上反對說:這不可能,多項式中含有a和b,不給出a、b的值怎么能求出多項式的值呢?你同意哪位同學的觀點?請說明理由.

        【解析】條件是否多余,關鍵看化簡后的代數(shù)式是否含有字母a、b.

        原式=(7+3-10)a3+(-6+6)a3b+(3-3)·a2b+2013=2013,結果不含有a、b,所以小明同學的觀點正確,本題中a=2013,b=-2014是多余的條件.

        例3 已知代數(shù)式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值與字母x的取值無關,求a和b的值.

        【解析】因為代數(shù)式的值與字母x的取值無關,所以合并同類項后x2和x項的系數(shù)必為0,從而可求出a和b的值.

        原式=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+5,所以2-2b=0,a+3=0,即a=-3,b=1.

        由上可見,“無關”類問題是整式加減中的一類重要問題,解決這類問題的基本步驟是:先化簡題目給出的代數(shù)式,再看化簡后的結果中不含有哪一個字母,則這個代數(shù)式的值就與這個字母無關.“無關”類問題主要有:(1)直接說明“無關”,如例1;(2)間接說明“無關”,如例2;(3)直接應用“無關”,如例3;(4)間接應用“無關”,如下面的練習題.

        練習 已知P=■m-1,Q=m2-■m(m為任意實數(shù)),則P、Q的大小關系為( ).

        A. P >Q B. P =Q

        C. P

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