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        由近及遠(yuǎn)“看”例題

        2013-12-29 00:00:00殷愛梅
        初中生世界·七年級(jí) 2013年10期

        一道好的例題具有基礎(chǔ)性、指導(dǎo)性、典型性、示范性、拓展性,是課本的精髓,它一方面加深了同學(xué)們對(duì)概念、知識(shí)的理解,另一方面也是培養(yǎng)同學(xué)們諸多能力的重要載體.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中應(yīng)最大限度地發(fā)揮它的引領(lǐng)和輻射作用,鞏固基礎(chǔ),舉一反三,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),獲得數(shù)學(xué)思想方法.

        題目1 (《蘇科版(數(shù)學(xué))》七年級(jí)上冊(cè)P27例5)求下列各數(shù)的絕對(duì)值:

        +6,π,-3, -2.7,0.

        解答略.

        絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念,對(duì)剛進(jìn)中學(xué)的同學(xué)來說也是個(gè)難以理解的概念.正確地求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,要經(jīng)歷“判斷——選擇——確定”的過程.判斷,即先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)或零;選擇,即根據(jù)這個(gè)數(shù)的性質(zhì)選擇相應(yīng)的法則;最后根據(jù)選定的法則來確定這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.此題可做如下拓展:

        例1 如果a、b、c是非零有理數(shù),求■+■+■的值.

        【解答】此題主要考查絕對(duì)值的意義. 因?yàn)閍、b、c是非零有理數(shù),可以為正也可以負(fù),所以它們的絕對(duì)值有兩種情況,或者是它們的本身,或者是它們的相反數(shù). 此題可分為以下四種情況求值.

        當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值都取本身時(shí),原式=3.

        當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值有兩個(gè)取本身時(shí),原式=1.

        當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值有一個(gè)取本身時(shí),原式=-1.

        當(dāng)a、b、c的絕對(duì)值都取相反數(shù)時(shí),原式=-3.

        例2 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示,化簡(jiǎn)c-b+a-c+b-c.

        【解答】此題的難點(diǎn)是對(duì)c-b的化簡(jiǎn),可用兩種方法化簡(jiǎn).

        方法一:由數(shù)軸可知c

        方法二:c-b可看做數(shù)軸上表示c、b的兩點(diǎn)間的距離,因此c-b=b-c=b-c.原式=b-c+a-c+b-c=a+2b-3c.

        【說明】通過對(duì)上述例題的延伸與拓展,使同學(xué)們?cè)诓粩嗟囊辍⑥D(zhuǎn)換、綜合中更深刻地理解絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí),掌握規(guī)律,培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的能力.

        題目2 (蘇科版(數(shù)學(xué))七年級(jí)上冊(cè)P38例7)巡道員沿一條東西向的鐵路進(jìn)行巡視維護(hù).他從住地出發(fā),先向東走了7 km,休息之后又向東走了3 km,然后折返向西走11.5km.此時(shí)他在住地的什么方向?與住地的距離是多少?

        【簡(jiǎn)解】將鐵路看成數(shù)軸,巡道員的住地看成原點(diǎn),規(guī)定向東為正,根據(jù)題意,可得(+7)+(+3)+(-11.5)=-1.5,所以此時(shí)他在住地的西邊,離住地1.5 km.

        本題從生活情境出發(fā),提出問題,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用數(shù)軸將形和數(shù)結(jié)合,用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系,輕松求出結(jié)果,同時(shí)讓同學(xué)們感受有理數(shù)運(yùn)算法則的合理性.此例題給我們提供了用數(shù)形結(jié)合來解題的范例.數(shù)軸在數(shù)與形之間起著中轉(zhuǎn)站的作用,它是研究數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具.它是數(shù)和形結(jié)合的起點(diǎn),不僅使數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而且還揭示了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系.對(duì)于某些代數(shù)問題,若能靈活運(yùn)用數(shù)軸這個(gè)工具,不僅能化難為易,化繁為簡(jiǎn),化抽象為具體,而且解法直觀、明快.下面從幾道例題來談?wù)剶?shù)軸在代數(shù)問題中的妙用:

        1.運(yùn)用數(shù)軸進(jìn)行有理數(shù)大小的比較

        例3 已知a>0,b<0,且b>a,試比較a、-a、b、-b的大小.

        【分析】若直接比較上述4個(gè)數(shù)的大小有一定的難度;若把它們?cè)跀?shù)軸上表示出來,利用數(shù)軸的直觀性,它們的大小關(guān)系將一目了然.

        【解答】∵a>0,b<0,

        ∴在數(shù)軸上表示數(shù)a,b的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的右邊和左邊.

        ∵b>a,所以表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于表示數(shù)b的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

        ∴a、-a、b、-b這4個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的排列順序如圖2所示.觀察數(shù)軸可知b<-a

        【說明】解決此題時(shí),要注意數(shù)a表示有理數(shù),可以是正數(shù),可以是負(fù)數(shù),也可以是零,不能認(rèn)為數(shù)a一定是正數(shù),-a一定是負(fù)數(shù).本題巧妙地用數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.

        2.運(yùn)用數(shù)軸解決動(dòng)點(diǎn)問題

        例4 一跳蚤在一直線上從O點(diǎn)開始,第1次向右跳1個(gè)單位,緊接著第2次向左跳2個(gè)單位,第3次向右跳3個(gè)單位,第4次向左跳4個(gè)單位,…,依此規(guī)律跳下去,當(dāng)它跳第100次落下時(shí),落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是 個(gè)單位.

        【分析】本題若從“數(shù)”的角度考慮顯然是較為復(fù)雜的,其中涉及方向和距離,而數(shù)軸恰好是刻畫方向和距離的最有用的工具,因此可以將這個(gè)跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸表示,從而解決問題.

        【解答】將這個(gè)跳蚤跳動(dòng)的次數(shù)與位置借助數(shù)軸來表示(如圖3所示),以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),原點(diǎn)向右為正方向.第1次向右跳1個(gè)單位,其位置表示的數(shù)為1;緊接著第2次向左跳2個(gè)單位,其位置表示的數(shù)為

        -1;第3次向右跳3個(gè)單位,其位置表示的數(shù)為2;第4次向左跳4個(gè)單位,其位置表示的數(shù)為-2.依此規(guī)律跳下去,第6次,第8次,其位置表示的數(shù)為-3,-4.第100次跳后落下,其位置表示的數(shù)為-50,故此時(shí)落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離是50個(gè)單位.

        【說明】借助數(shù)軸,將跳蚤的落點(diǎn)分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示,可巧妙地求出跳蚤跳第n次落地時(shí),落點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離.

        波利亞說:“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué).”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要注重發(fā)揮教材中例題的作用,學(xué)會(huì)通過適量的習(xí)題拓展,達(dá)到最大限度的提升,這對(duì)同學(xué)們理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展智力都是至關(guān)重要的.

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