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        從一道習題的解法到一類問題的解法

        2013-12-29 00:00:00焦良存
        初中生世界·七年級 2013年10期

        義務教育教科書蘇科版《數(shù)學》七年級上冊第92頁第10題如下:

        用正方形的普通水泥磚和彩色水泥磚按下圖的方式鋪人行道:

        (1)圖①中有彩色水泥磚 塊,圖②中有彩色水泥磚 塊,圖③中有彩色水泥磚 塊;

        (2)像這樣,第n個圖形有彩色水泥磚

        塊.

        【分析】本題屬于根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律的題型,是一道典型的規(guī)律探索類問題,其解法很多,下面我們一起來分析解題的基本思路,從中歸納出解決這類規(guī)律探索題的基本方法,進而運用這些基本方法解決一類問題.

        【解法1】觀察圖形從簡單到復雜的變化過程中,后一個圖案比前一個圖案多了幾塊彩色水泥磚,尋找出圖案的變化規(guī)律即可.本題中,第一個圖案有4=3×1+1塊彩色水泥磚;第二個圖案比第一個圖案多了3塊彩色水泥磚,共有7=(3×2+1)塊彩色水泥磚;第三個圖案比第二個圖案也多了3塊彩色水泥磚,共有10=(3×3+1)塊彩色水泥磚;……以此類推,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個圖形有彩色水泥磚(3n+1)塊.

        【解法2】本題中的圖案可以看做是由一些正方形水泥磚組成的,當n=1時,圖案中有一個白色正方形水泥磚,正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個彩色水泥磚,因此圖案中共有4×1塊彩色水泥磚;當n=2時,圖案中有兩個白色正方形水泥磚,每個白色正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個彩色水泥磚,其中有一個彩色水泥磚重疊了,因此共有4×2-1塊彩色水泥磚;當n=3時,圖案中有三個白色正方形水泥磚,每個白色正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個彩色水泥磚,其中有兩個彩色水泥磚重疊了,因此共有4×3-2塊彩色水泥磚;……以此類推,第n個圖形有彩色水泥磚4n-(n-1)=(3n+1)(塊).

        通過上述兩種常用的思路,可以解決許多類似的問題.

        例1 用同樣大小的黑色棋子按圖2所示的方式擺圖形,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個圖形需棋子 枚(用含n的代數(shù)式表示).

        【解法1】本題中,第一個圖案有4=3×1

        +1個黑棋子;第二個圖案比第一個圖案多了3個黑棋子,共有7=3×2+1個黑棋子;第三個圖案比第二個圖案又多了3個黑棋子,共有10=3×3+1個黑棋子;……以此類推,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個圖形需棋子(3n+1)枚.

        【解法2】本題中的圖案可以看作是由一些正方形組成的.當n=1時,圖案中有一個正方形,正方形有4個頂點,因此圖案中共4×1枚棋子;當n=2時,圖案中有兩個正方形,每個正方形有4個頂點,其中有一個頂點重復了,因此共有4×2-1枚棋子;當n=3時,圖案中有三個正方形,每個正方形有4個頂點,其中有兩個頂點重復了,因此共有4×3-2枚棋子;……以此類推,第n個圖形需棋子4n-(n-1)=(3n+1)(枚).

        例2 如圖3所示,由一些點組成形如三角形的圖形,每條“邊”(包括兩個頂點)有n(n>1)個點,每個圖形總的點數(shù)S是多少?當n=5,7,11時,S是多少?

        【解法1】第一個圖案每條“邊”有2個點,共有3=3×1=3×(2-1)個點;第二個圖案每條“邊”有3個點,比第一個圖案多了3個點(每邊各增加一個點),共有6=3+3=3

        ×2=3×(3-1)(個)點;第三個圖案每條“邊”有4個點,比第二個圖案多了3個點(每邊各增加一個點),共有9=3+3+3=3×3=3×(4-1)(個)點;第四個圖案每條“邊”有5個點,比第三個圖案多了3個點(每邊各增加一個點),共有12=3+3+3+3=3×4=3×(5-1)(個)點;……以此類推,每條“邊”(包括兩個頂點)有n(n>1)個點,每個圖形總的點數(shù)S=3(n-1).當n=5時,S=12;當n=7時,S

        =18;當n=11時,S=30.

        【解法2】當n=2時,每條“邊”有2個點,共2×3個點,頂點上的點重復計算了一次,所以共有2×3-3=3×(2-1)個點;當n=3時,每條“邊”有3個點,共3×3個點,頂點上的點重復計算了一次,所以共有3×3-3=3×(3-1)個點;當n=4時,每條“邊”有4個點,共4×3個點,頂點上的點重復計算了一次,所以共有4×3-3=3×(4-1)個點;當n=4時,每條“邊”有5個點,共有5×3個點,頂點上的點重復計算了一次,所以共有5×3-3=3×(5-1)個點;……以此類推,每條“邊”(包括兩個頂點)有n(n>1)個點,每個圖形總的點數(shù)S=3(n-1).當n=5時,S=12;當n=7時,S=18;當n=11時,S=30.

        你還有其他的方法嗎?寫出來與大家交流吧!

        【小試牛刀】

        1. (2012·青海)觀察下列一組圖形:

        它們是按一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律,第n個圖形中共有 個★.

        2. (2012·寧波)用同樣大小的黑色棋子按如圖5所示的規(guī)律擺放:

        (1)第5個圖形有多少黑色棋子?

        (2) 第幾個圖形有2013顆黑色棋子?請說明理由.

        【參考答案】

        1.3n+1;2.(1)18;(2)第n個圖需棋子3(n+1)枚,設(shè)第n個圖形有2013顆黑色棋子,則3(n+1)=2013 ,解得n=670,即第670個圖形有2013顆黑色棋子.

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