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        整式的概念導(dǎo)學(xué)

        2013-12-29 00:00:00陳德前
        初中生世界·七年級 2013年10期

        整式的概念中主要包括單項(xiàng)式及其系數(shù)、次數(shù),多項(xiàng)式及其項(xiàng)數(shù)、次數(shù),整式及其分類.下面對這些知識點(diǎn)進(jìn)行分析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

        一、單項(xiàng)式及其系數(shù)、次數(shù)

        1.單項(xiàng)式的概念:像式子4x、ab、x2、-m等,它們都是數(shù)與字母的積,這樣的式子叫做單項(xiàng)式. 單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母,如-2、a等,都是單項(xiàng)式.由這個(gè)概念可以知道,一個(gè)單項(xiàng)式由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩個(gè)部分組成.如-■a2b,其數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)分別為-■和a2b.這里的數(shù)字因數(shù)泛指有理數(shù)(或無理數(shù)),可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù);字母可能有一個(gè),也可能有多個(gè).單項(xiàng)式中可以有除法運(yùn)算,但除式中不能含字母,如■、■等都不是單項(xiàng)式.單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算,如-■ab+1、■等都不是單項(xiàng)式.

        2.單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).單項(xiàng)式的系數(shù)是一個(gè)數(shù),它包括性質(zhì)符號.如-ab2的系數(shù)是-1,而不是1.系數(shù)是1或-1時(shí),這個(gè)“1”一般省略不寫,但不能認(rèn)為沒有系數(shù)或系數(shù)為0.對于某些單項(xiàng)式要先分解成數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩部分,再確定其系數(shù).如

        -■,應(yīng)先寫成-■·x2y,可知其系數(shù)為-■,而不是-2、-■或-2π等.這里必須注意π是圓周率,應(yīng)作為一個(gè)常數(shù),是系數(shù)的一部分.

        3. 單項(xiàng)式的次數(shù):一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)之和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).確定單項(xiàng)式的次數(shù)要注意:(1)不要遺漏字母指數(shù)為1的指數(shù),如單項(xiàng)式x3y是四次單項(xiàng)式,而不是三次單項(xiàng)式;(2)只有數(shù)字沒有字母的單項(xiàng)式,叫做零次單項(xiàng)式(零除外).

        例1 (2012年南通)單項(xiàng)式3x2y的系數(shù)為 .

        【解析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的概念可知,單項(xiàng)式3x2y是數(shù)字因式3與字母因式x2y積的形式,其中數(shù)字因式即為單項(xiàng)式的系數(shù),所以單項(xiàng)式3x2y的系數(shù)為3.

        例2 (2012年上海)在下列代數(shù)式中,次數(shù)為3的單項(xiàng)式是( ).

        A. xy2 B. x3+y3 C. x3y D. 3xy

        【解析】根據(jù)單項(xiàng)式的有關(guān)概念可知:xy2是單項(xiàng)式,且它的次數(shù)為3,A符合題意;x3+y3不是單項(xiàng)式,B不符合題意;x3y的次數(shù)為4,C不符合題意;3xy的次數(shù)為2,D不符合題意.故選A.

        二、多項(xiàng)式及其項(xiàng)數(shù)、次數(shù)

        1.多項(xiàng)式的概念:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式,其含義有兩點(diǎn):一是多項(xiàng)式必須由單項(xiàng)式組成,二是多項(xiàng)式體現(xiàn)和的運(yùn)算法則.如2-■中,-■不是單項(xiàng)式,因而2-■就不能歸到多項(xiàng)式的行列中;又如■是單項(xiàng)式■與單項(xiàng)式■的和,所以■屬于多項(xiàng)式.

        2.多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù):多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),一個(gè)多項(xiàng)式含有幾個(gè)單項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式,如a3-a2b2+b3是個(gè)三項(xiàng)式.

        3.多項(xiàng)式的次數(shù):對于多項(xiàng)式的每一項(xiàng)來說都有次數(shù)和系數(shù)的概念,如6x3+5x2

        -2x從左到右分別是三次項(xiàng)、二次項(xiàng)、一次項(xiàng),其系數(shù)分別為6、5、-2.對整個(gè)多項(xiàng)式而言,沒有系數(shù)的概念,但有次數(shù)的概念.多項(xiàng)式的次數(shù)是指多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù).如2x3y+xy2+8中,次數(shù)最高的項(xiàng)是2x3y,其次數(shù)是4,它又有三項(xiàng),故它是四次三項(xiàng)式. 應(yīng)注意:(1)每個(gè)多項(xiàng)式都有次數(shù)最高的項(xiàng),且有時(shí)不止一項(xiàng),如x3y-x2y2+3中,前兩項(xiàng)都是次數(shù)最高的項(xiàng),它們都是四次項(xiàng);(2)多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的符號,如x3y-x2y2+3的第二項(xiàng)是-x2y2,而不是x2y2;(3)不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

        例3 (2012年湛江)多項(xiàng)式2x2

        -3x+5是 次 項(xiàng)式.

        【解析】多項(xiàng)式2x2-3x+5含3個(gè)單項(xiàng)式,次數(shù)最高項(xiàng)2x2的次數(shù)為2,所以是二次三項(xiàng)式,所以答案為:二,三.

        三、整式及其分類

        單項(xiàng)式和多項(xiàng)式通稱為整式,整式的分類是以“是否有加減運(yùn)算”為標(biāo)準(zhǔn)的,即以形式為依據(jù)來判斷,不能以結(jié)果為依據(jù)來判斷.

        例4 下列式子哪些是多項(xiàng)式?是多項(xiàng)式的寫出它的次數(shù)和所有的項(xiàng).

        (1)2+■;(2)x+y-x;(3)x4y-3x3y2+8.

        【解析】(1)不是多項(xiàng)式,因?yàn)椋?)中■不是單項(xiàng)式;(2)、(3)是多項(xiàng)式;多項(xiàng)式x+y-x是一次三項(xiàng)式,項(xiàng)分別是x、+y、-x;多項(xiàng)式x4y-3x3y2+8是五次三項(xiàng)式,項(xiàng)分別是x4y、-3x3y2、+8.

        必須注意:單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算,且分母中不能含有字母(π等常數(shù)除外);多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式組成的,但判斷多項(xiàng)式只能看原始的式子,不可以進(jìn)行運(yùn)算后再判斷:如將x+y-x化簡為y后認(rèn)為它是單項(xiàng)式,這是常見的錯誤.

        整式的有關(guān)知識是學(xué)好其他知識的基礎(chǔ),同學(xué)們務(wù)必切實(shí)掌握、靈活運(yùn)用.

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