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        “有理”與“無理”,“理”在哪里?

        2013-12-29 00:00:00許秋霞
        初中生世界·七年級 2013年10期

        在“有理數(shù)”中我們將對小學(xué)中學(xué)過的數(shù)進(jìn)行新的分類,并引入新的概念——“有理數(shù)”和“無理數(shù)”.那么同學(xué)們知道“有理”與“無理”的道理在哪里嗎?下面我就帶同學(xué)們一探究竟.

        一、“有理數(shù)”和“無理數(shù)”名稱的由來

        在西方,人們將許多幾何成就歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派, 但其學(xué)派基本的信條卻是“萬物皆數(shù)”.對此, 其學(xué)派成員費(fèi)洛羅斯曾明確宣稱: 人們所知道的一切事物都包含數(shù). 因此,沒有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物.這里所說的數(shù)指整數(shù).分?jǐn)?shù)被看成兩個(gè)整數(shù)之比■(m、n是整數(shù),n≠0).畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信任何量都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比(即某個(gè)有理數(shù)),在幾何上這相當(dāng)于說: 對于任何兩條給定的線段, 總能找到第三條線段, 以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段.如:線段a=8,線段b=3,我們就可以找到第三條線段c=1,將線段a劃分為8段,線段b劃分為3段;若線段a= ■,線段b=■,我們就可以找到第三條線段c=■,將線段a劃分為21段,線段b劃分為16段.希臘人稱這樣的兩條給定線段為“可公度量”.然而畢氏學(xué)派后來卻發(fā)現(xiàn): 并不是任意兩條線段都是可公度的, 也有不可公度的線段, 如正方形的對角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段. 由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定任何兩個(gè)同類量可通約, 比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上, 因而他們關(guān)于相似形的一般理論就失效了.“邏輯上的矛盾”如此之大, 以至于有一段時(shí)間, 他們欲將此事保密, 不準(zhǔn)外傳.但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象.畢氏學(xué)派的成員泰奧多勒斯發(fā)現(xiàn), 面積等于3、5、6……17(4、9、16除外)的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約, 并對每一種情況都單獨(dú)予以證明.希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這一邏輯困難, 被稱為數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.

        無理數(shù)的發(fā)現(xiàn), 暴露出有理數(shù)系的缺陷:一條直線上的有理數(shù)盡管“ 稠密”, 卻有許多“孔隙”,且這種“孔隙”多得“不可勝數(shù)”.這樣, 古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)想, 就徹底破滅了.它的破滅,在以后兩千多年時(shí)間里, 對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了深遠(yuǎn)的影響.不可通約的本質(zhì)是什么?長期以來眾說紛紜.兩個(gè)不可通約量的比值得不到正確的解釋,而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù).15世紀(jì)達(dá)芬奇稱其為“無理”的數(shù), 開普勒稱其為“不可名狀的數(shù)”.這就是“無理數(shù)”名稱的由來.

        二、“有理數(shù)”與“無理數(shù)”的辨析

        從無理數(shù)的產(chǎn)生過程我們知道了,那些可以寫成分?jǐn)?shù)形式■(m、n是整數(shù),n≠0)的數(shù)是有理數(shù),而a2=2中的a不能表示成■(m、n是整數(shù),n≠0)的形式,我們把它稱為無理數(shù).但從小學(xué)學(xué)習(xí)中我們又知道數(shù)的分類還可以分為整數(shù)和小數(shù),小數(shù)中又包括有限小數(shù)、無限小數(shù),無限小數(shù)中又包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù).這些數(shù)和“有理數(shù)”“無理數(shù)”有什么關(guān)系呢?

        很顯然,整數(shù)和有限小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式■(m、n是整數(shù),n≠0),而無限循環(huán)小數(shù)呢?事實(shí)上,它也可以寫成上述的分?jǐn)?shù)形式.

        例1 將循環(huán)小數(shù)0.6化為分?jǐn)?shù).

        解:設(shè)x=0.6,則10x=6.6.而10x-x=6.6-0.6=6,即9x=6,所以x=■=■.

        故0.6=■.

        例2 將循環(huán)小數(shù)0.018化為分?jǐn)?shù).

        解:設(shè)x=0.018,則1000x=18.018,所以1000x-x=18.018-0.018=18.

        即999x=18,所以x=■=■.

        故0.018=■.

        從上面的兩個(gè)例子,同學(xué)們是否感悟到:像0.6和0.018這樣的純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)時(shí),分?jǐn)?shù)的分子是它的一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù),分母則由若干個(gè)9組成,9的個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字的個(gè)數(shù).

        那么對于0.123和1.0456這樣的混循環(huán)小數(shù)呢?

        我們可以將混循環(huán)小數(shù)先化為純循環(huán)小數(shù),然后再化為分?jǐn)?shù),例如:

        0.123=■×12.3=■×(12+0.3)

        =■×(12+■)=■,

        1.0456=■×10.456=■×(10+0.456)=■×(10+■)=■.

        由此可見:無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)形式■(m、n是整數(shù),n≠0),所以它是有理數(shù).而a2=2中的a又是什么樣的數(shù)?為什么它不能化為分?jǐn)?shù)呢?

        課本上小明和小麗分別從分?jǐn)?shù)和小數(shù)的角度用逐步逼近的方法來幫助我們尋找a的值,依次有a不是■,■,■,■,■…1.4

        因?yàn)橛邢扌?shù)或循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù),所以要解決這個(gè)疑問,關(guān)鍵還在于能不能化為分?jǐn)?shù)形式■(m、n是整數(shù),n≠0).

        在這里我們不妨假設(shè)a=■(m、n是整數(shù),n≠0),且m、n互質(zhì)(即m、n的公因數(shù)只有1),兩邊平方得:

        a2=■2=■×■=■,因?yàn)閍2=2,所以■=2,所以m2=2n2.

        因?yàn)榕紨?shù)的平方為偶數(shù),奇數(shù)的平方為奇數(shù),而2n2為偶數(shù),所以m2為偶數(shù),所以m為偶數(shù),設(shè)m=2k (k為整數(shù)).

        則m2=(2k)2=2k×2k=4k2=2n2,

        所以2k2=n2為偶數(shù),所以n也為偶數(shù).

        所以m、n有公因數(shù)2,與m、n互質(zhì)矛盾,所以假設(shè)不成立,a不能表示為分?jǐn)?shù)形式■(m、n是整數(shù),n≠0).

        (這里的說理方法稱為反證法,是數(shù)學(xué)中一種特殊的證明方法,在今后的學(xué)習(xí)中同學(xué)們還會(huì)遇到哦.)

        因?yàn)閍不能化為分?jǐn)?shù)形式,所以它既不是整數(shù)、有限小數(shù),也不是無限循環(huán)小數(shù),但它又是實(shí)際圖形中存在的實(shí)實(shí)在在的數(shù),因此它只能是無限不循環(huán)小數(shù),所以我們把這樣的無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).小學(xué)中學(xué)過的π,0.1010010001…(每兩個(gè)1之間的0依次遞增一個(gè))都是無限不循環(huán)小數(shù),因此它們也是無理數(shù).今后我們還會(huì)學(xué)到更多的無理數(shù),它們在數(shù)軸上和有理數(shù)緊密依靠,共同鋪滿整個(gè)數(shù)軸.

        從上面的探索過程中同學(xué)們是否了解了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”中的“理”究竟是什么?對了,就是分?jǐn)?shù)形式:■(m、n是整數(shù),n≠0),能表示成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)就是有理數(shù),反之像無限不循環(huán)小數(shù)這樣不能表示為分?jǐn)?shù)形式的數(shù)就是無理數(shù).

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