摘 要：考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是多方位多層面的，可稱之為“全能力”。代數(shù)和幾何的綜合題主要考查學(xué)生的基本運算能力、思維能力和空間想象能力。而中考試卷中考查學(xué)生“全能力”的必考題，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點。所以，教師在初三階段應(yīng)將學(xué)生“全能力”的訓(xùn)練作為教學(xué)關(guān)注的重要內(nèi)容。

關(guān)鍵詞： 一題多解；討論研究；全能力

所謂“全能力”，從數(shù)學(xué)角度看，包括洞察玄機的觀察力、新舊知識整合的融通力、細(xì)致縝密的思考力、路徑選擇的調(diào)整力以及克難攻堅的驅(qū)動力、不言放棄的堅持力、踏踏實實的執(zhí)行力……進(jìn)入初三復(fù)習(xí)階段后，對于一些綜合性較強的題目學(xué)生不太適應(yīng)，但是綜合性的題目是中考考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的必有考題。這樣的考題不僅考查的知識點多、知識面廣，而且往往將代數(shù)和幾何知識緊密結(jié)合，對學(xué)生而言是個很大的考驗，要求學(xué)生有較高的基礎(chǔ)知識水平和較強的運算能力、邏輯思維能力及空間想象能力。鑒于此，本人通過創(chuàng)新，在復(fù)習(xí)開始有意識地每過一段時期布置一道“研究題”，讓全班廣泛交流，對一題多解的研究收到了不錯的效果。下面，我就一道改編的中考題展示學(xué)生解決這道題的成果，并談?wù)勗趯嵤┻^程中的想法。

習(xí)題：如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（0，n）是y軸上一點，把坐標(biāo)平面面積沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，請求出點C的坐標(biāo)。

分析：（1）這道題是在平面直角坐標(biāo)系背景下的問題，考查學(xué)生一次函數(shù)和相似、勾股定理，軸對稱變換等的綜合解題能力，是一道典型的代數(shù)和幾何的綜合題。這又是一道近幾年來比較熱點的操作變換題，要求學(xué)生能運用數(shù)學(xué)中觀察、試驗、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、概括等常用的思維方法，并能結(jié)合題目選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}思路，使用有效的解題方法。

（2）平面直角坐標(biāo)系中常見著眼點是求解出函數(shù)與圖像的關(guān)系、直線與x軸、y軸的交點及題中的特殊點，因此根據(jù)直線解析式首先求出了點A 、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3），并通過解直角三角形Rt△AOB求得AB=5。

（3）根據(jù)折疊（軸對稱變換）中的變與不變找到線段之間的聯(lián)系，求得關(guān)鍵點和線段的長度，假設(shè)折疊后點B剛好落在x軸上的點B處，要求得的關(guān)鍵點和線段的長度即為點B'的坐標(biāo)和線段B'O的長度。易得B'（-1，0），B'O=1。

下面給大家展示學(xué)生的四種解題方法：

解法一：如圖2，易求點A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3）。

在Rt△AOB中由勾股定理求得AB==5。

設(shè)折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，∴B'O=1=1。

又沿直線AC折疊后B'C=BC=3-n，在Rt△B'OC中由勾股定理得B'O2+CO2=B'C2，∴12+n2=（3-n）2，解得n=，∴C（0，）。

生自述：這是一道有關(guān)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的問題，我想可以構(gòu)造直角三角形求解點的坐標(biāo)，按照這樣的想法一步步演算、證明得到了解法。從這道題給出的已知條件，先求出圖中標(biāo)示的點A、B的坐標(biāo)，和折疊后落在x軸上點B'的坐標(biāo)。因為是在平面直角坐標(biāo)系中，一定會構(gòu)造出直角三角形。連接CB'，則構(gòu)造了Rt△B'OC，再根據(jù)折疊的軸對稱的性質(zhì)可得到B'C=BC=3-n，這樣就可以解Rt△B'OC，由勾股定理得出方程解，從求出了點CBIMnyiXwUhIJksqF0ZGG7pDgwuN5FnPv9PnBVyG+SKA=的坐標(biāo)。

解法二：如圖3，由折疊知AC為∠BAO的角平分線，過點C作CH⊥AB，垂足為H，∵CO⊥AO，∴CH=CO=n。

由直線解析式：y=x+3易求點A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3），在Rt△AOB中由勾股定理求得AB==5。

∵S△ABO=S△ABC+S△ACO，∴AO·BO=CO·AO+CH·AB。

∴4×3=4n+5n，解得n=， ∴C（0，）。

生自述：我是從折疊的軸對稱變換角度去尋求答案的，由軸對稱的性質(zhì)重疊的部分?jǐn)?shù)量相等，所以重疊角角相等，那么折痕AC為∠BAO的角平分線，由點C恰在角平分線上構(gòu)造角平分線的基本圖形，過點C作CH⊥AB，這樣利用三角形的等面積變換求解出高CO的長，從而求出了點C的坐標(biāo)。

解法三：如圖4，求點A、B的坐標(biāo)A（4，0）、B（0，3）。

在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB==5，設(shè)折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，∴B'O=1。

在Rt△AOB中，由勾股定理求得BB'==，接BB'，則由折疊知直線AC為線段BB'的垂直平分線。

∴BG=BB'=，∠BGC=∠B'OB=90°。

∵∠GBC=∠B'BO（公共角），∴△BGC∽△BOB'，∴=，即=，解得n=，∴C（0，）。

生自述：我是從折疊中折痕是對應(yīng)點所連線段的垂直平分線角度去思考這個問題的。連接BB'，則直線AC為線段BB'的垂直平分線，構(gòu)造出了一對相似三角形△BGC∽△BOB'，然后想辦法求解出比例式中兩對對應(yīng)邊中三條邊的長度，因為已知了直線解析式，所以容易求解兩個直角三角形，從而求出了點C的坐標(biāo)。

解法四：如圖5，設(shè)折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，

連接B'C，由折疊知B'C=BC=3-n，∠CB'O=∠OBA。

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)∠B'OC=∠BOA=90°，∴△B'OC∽△BOA。

∴=，即=，解得n=，∴C（0，）。

生自述：學(xué)習(xí)了《相似三角形》后，很多時候用相似三角形的知識解題會減化計算，特別在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似的直角三角形比較簡單。所以連接B'C后，構(gòu)造了直角三角形由折疊知對應(yīng)角相等∠CB'O=∠OBA，對應(yīng)邊相等B'C=BC=3-n，又∠B'OC=∠BOA=90°，易證△B'OC∽△BOA，由直線解析式易求點A、B及點B'的坐標(biāo)。

學(xué)生在展示了各自的解法后展開了熱烈的探討，一致認(rèn)為從最優(yōu)化的角度來說顯然解法二和解法四較簡單靈活。在此契機上師生之間、生生之間做了一次深度的探討，對每種解法都做了深刻的分析，并對各種解法取長補短，把勾股定理、軸對稱、相似和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用做了歸納總結(jié)。從學(xué)生展示的這四種方法來看，學(xué)生已熟悉了平面直角坐標(biāo)系中一類解題的基本規(guī)則和常用的方法，掌握了這類折疊題的著眼點，并能有創(chuàng)造性地整合勾股定理、相似、垂直平分線和函數(shù)的知識，訓(xùn)練這類題目的主要目的是要讓學(xué)生在解題過程中相互學(xué)習(xí)，積極研究探討找到解決一類問題的最優(yōu)化的解題策略。

經(jīng)過一段時間的試驗后，本人覺得提高學(xué)生“全能力”要注意以下幾點：

（1）訓(xùn)練學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，不斷積累數(shù)學(xué)解題技巧；

（2）引導(dǎo)學(xué)生熟悉常見的特征圖形，多發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像中的幾何圖形或可以構(gòu)造的幾何圖形；

（3）幫助學(xué)生熟悉解題的常見著眼點，常用輔助線作法，把問題化大為小，各個擊破，從而解決問題；

（4）促進(jìn)學(xué)生研究“怎樣解”“為什么這么解”，及時歸結(jié)總結(jié)，促進(jìn)總結(jié)反思，整合重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化解題策略。

（江蘇省南通市第二中學(xué)）