導(dǎo)數(shù)問題中的極值點問題、由單調(diào)性求參數(shù)范圍問題、曲線的切線問題、利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖像及求值域問題等常會出現(xiàn)錯誤。

一、極值點的判斷問題

例1（2012年江蘇省高考題第18題）：若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則x0稱為函數(shù)y=f（x）的極值點。已知a，b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)y=f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點。

（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；（3）設(shè)h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)。

錯解：（1）a=0，b=-3。（過程省略）

（2）g（x）=x3-3x+2，令g（x）=0，解得x=1或x=-2，所以極值點為1，-2 。

本題（1）（2）問屬于中檔題，但不細心的學(xué)生容易出錯，仔細探究出錯的內(nèi)在原因是沒有真正掌握極值點x0和f（x0）=0的關(guān)系。我們知道f（x0）=0并不是x0為極值點的充要條件，要想徹底弄明白就要回歸定義。由定義知本題第（2）問中-2不是極值點。

此題給我們的啟示：定義是處理糾結(jié)問題的“有效武器”，是解題依據(jù)的“憲法”，在平時的教學(xué)中我們要重視概念教學(xué)。

利用極值的定義我們可以解決以下兩個問題：

（1）“0”是否為函數(shù)f（x0）=x3的極值點？（2）判斷“0”是否為函數(shù)f（x）=|x|的極值點，如果是極值點并判斷是極大值點還是極小值點。根據(jù)定義不難作出回答：（1）“0”不是函數(shù)f（x0）=x3的極值點，盡管f'（0）=0； （2）“0”是極值點而且是極小值點，但此時f'（0）≠0。可見f'（0）=0是x0為極值點的既不充分也不必要條件。由以上問題的常見錯誤說明我們平時的教學(xué)工作中要教會學(xué)生抓住數(shù)學(xué)中本質(zhì)性知識，只要我們抓住本質(zhì)性的知識就可以以不變應(yīng)萬變。

二、由單調(diào)性求參數(shù)范圍問題

例2：已知函數(shù)f（x）=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

錯解：由條件得f'（x）>0，即2mx+-2>0恒成立，解之得m>。

錯因剖析：函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)與f'（x）>0并不是互為充要條件的，如函數(shù)f（x）=x3。本例正解：由條件得f '（x0）≥0，即2mx+-2≥0恒成立，解得m≥。

此題給我們的啟示：若函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，則f'（x）≥0；若f'（x）≥0（排除f'（x）≡0），則y=f（x）為增函數(shù)，尤其在求相關(guān)參數(shù)范圍時要注意這一點。

三、曲線的切線問題

例3：求過點（1，1）且與曲線y=x3相切的直線方程。

錯解：因為y=3x2，k=3，則所求的直線方程為y=3x-2。

錯誤剖析：本題誤以為點（1，1）是切點導(dǎo)致錯誤，從題意來看兩種可能：（1）點（1，1）就是切點；（2）點（1，1）不是切點，只是切線上普通一點。本題正確結(jié)果為切線方程：y=3x-2或y=x+。

我們再來看一個變式問題：過點（1，0）且與曲線y=x3相切的直線有幾條？

錯解：設(shè)切點P（x0，x03），k=3x02，則切線方程為y-x03=3x02（x-x0），點（1，0）代入切線方程，解之得x0=0或x0=，因為x0=0時，切線方程是y=0不合題意，所以切線方程只有一條：27x-4x-27=0。

為什么將y=0舍去呢？有的學(xué)生說該直線與曲線“相交”，而不是相切，所以舍去。這是受到初中圓的切線負面遷移的影響，認為切線應(yīng)該在曲線的一側(cè)。根據(jù)《普通高中課程標(biāo)準實驗教科書——數(shù)學(xué)》（選修2-2，蘇教版）中的定義：設(shè)y=f（x）圖像上一動點P1，隨著動點P1向點P運動，割線PP1在點P附近越來越逼近曲線。當(dāng)點P無限逼近點P時，直線PP1最終就成為在點P處的切線。所以y=0正符合切線定義。

四、利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)圖像及求值域等問題

例4：已知函數(shù)f（x）=，（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間及值域；（2）若f（x）=m，根據(jù)m的不同范圍確定關(guān)于x的方程f（x）=m根的個數(shù)。

錯解：（1）因為f（x）=≥0時解得x≥e，f（x）<0時解得0

（2）由圖像知，當(dāng)m=e時方程f（x）=m有一個根；當(dāng)m∈[e，+∞）時方程f（x）=m有兩個根。

錯因分析：錯誤的根本原因是忽略函數(shù)的定義域（0，1）∪（1，+∞），由于沒有意識到x≠0，所以圖像中出現(xiàn)“斷點”而渾然不知，導(dǎo)致全盤皆輸。

再如函數(shù)f（x）=（x>0且x≠1），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及畫函數(shù)示意圖時要注意在x=1時出現(xiàn)函數(shù)圖像“斷點”現(xiàn)象。另外因為該函數(shù)在[1，+∞）為遞減函數(shù)，容易導(dǎo)致f（x）∈（-∞，f（x）]的錯誤，畫示意圖時要注意在區(qū)間[1，+∞）上函數(shù)圖像“下不來”，就像函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，+∞）上的圖像在x軸以上，不能到x軸以下。

（江蘇省徐州市賈汪中學(xué)）