摘 要：“平方差公式”的導(dǎo)入除教材的三種基本導(dǎo)入外，教師還可以鉆研教材，用發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法精心設(shè)計(jì)其他的導(dǎo)入，如故事導(dǎo)入、游戲?qū)?、操作?dǎo)入和實(shí)例導(dǎo)入等，使導(dǎo)入課回歸自然，讓學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向舊知識(shí)的同化，經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)過程，從而豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高思維能力。

關(guān)鍵詞：鉆研教材；精心設(shè)計(jì)；導(dǎo)入課；切實(shí)有效

“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位。導(dǎo)入時(shí)，教師在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程，即“觀察——?dú)w納——猜想——驗(yàn)證——證明——符號(hào)化”的發(fā)現(xiàn)過程。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、提出命題等基本能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情。

“平方差公式”這部分內(nèi)容人教版是這樣編排的：先設(shè)置一個(gè)探究欄目，安排了3個(gè)具有特殊形式的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的題目，讓學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)計(jì)算多項(xiàng)式的積，并探索其中所蘊(yùn)涵的規(guī)律。然后再計(jì)算（a+b）（a-b），進(jìn)而得出平方差公式。再后又設(shè)置一個(gè)思考欄目，讓學(xué)生利用算兩次原理得出圖形中的面積關(guān)系，通過圖形直觀說明平方差公式的合理性。

一、教材三種基本導(dǎo)入的思考

第一，為什么教材沒有通過讓學(xué)生直接計(jì)算（a+b）（a-b）導(dǎo)入，而是設(shè)計(jì)了一個(gè)探究欄目？

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則和平方差公式是上下位關(guān)系，可以按照運(yùn)算法則直接結(jié)算即可實(shí)現(xiàn)自然輕松地過渡，為什么不讓直接推理，經(jīng)過分析，我覺得其目的是，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上經(jīng)歷一次從發(fā)現(xiàn)公式到導(dǎo)出公式的全過程，即利用已經(jīng)掌握的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則得出三個(gè)算式的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個(gè)算式及其結(jié)果的特點(diǎn)）、比較（不同算式及其結(jié)果間的異同）、歸納（不同算式及其結(jié)果的共同特征）、猜想（可能具有的規(guī)律）、推理（論證猜想的結(jié)果）的過程.這個(gè)過程可以充分體現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過程，其中，從多項(xiàng)式乘法到3個(gè)特殊算式的運(yùn)算，是從一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程；從3個(gè)特殊算式的運(yùn)算再到平方差公式，是從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程；而從多項(xiàng)式乘法到平方差公式，又是從一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程（如圖）.整個(gè)過程經(jīng)過多次“一般”與“特殊”的轉(zhuǎn)換，能夠充分體現(xiàn)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的深度和廣度，是一種真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而不只是簡單、機(jī)械地模仿與記憶。

第二，為什么教材沒有通過拼圖計(jì)算發(fā)現(xiàn)公式直接引入？而是把拼圖計(jì)算僅作公式的幾何解釋。

通過拼圖計(jì)算導(dǎo)入，起點(diǎn)低、落點(diǎn)高，數(shù)學(xué)活動(dòng)展示充分，既可以直觀明了說明公式的幾何特征，又可以體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，教材沒有這樣安排我認(rèn)為有以下兩個(gè)原因：一是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“平方差公式”的目標(biāo)要求是“了解公式的幾何背景”，只要知道此公式可以通過幾何圖形的面積加以說明即可，并不要求達(dá)到“理解”或“掌握”的程度。因此，通過拼圖計(jì)算說明平方差公式不是本節(jié)課的重點(diǎn)，而數(shù)形結(jié)合思想也不是本節(jié)課的核心思想。二是學(xué)習(xí)公式的關(guān)鍵是理解公式的結(jié)構(gòu)特征，而公式的結(jié)構(gòu)特征僅從幾何圖形的面積關(guān)系是無法充分體現(xiàn)出來的，因?yàn)閹缀螆D形僅局限在正數(shù)范圍內(nèi)，由此得出的公式要擴(kuò)大其外延還要回到計(jì)算推理上來，這樣看來圖形導(dǎo)入有點(diǎn)多此一舉，而目前教材的編寫計(jì)算發(fā)現(xiàn)法導(dǎo)入可以避免其不足，要得出規(guī)律，需要對(duì)幾個(gè)題目進(jìn)行反復(fù)觀察、比較、歸納、猜想，使得對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征有更深刻的認(rèn)識(shí)。

第三，為什么教材沒有從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)引入課題？

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)是新課程強(qiáng)調(diào)的重要目標(biāo)之一，主要表現(xiàn)在：認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中具有廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求數(shù)學(xué)教學(xué)要采用“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開。這使部分教師理解上出現(xiàn)偏差，好像每一節(jié)課都必須與實(shí)際應(yīng)用建立聯(lián)系，挖空心思地尋找或者“創(chuàng)造”應(yīng)用背景，致使一些應(yīng)用題的設(shè)置或者毫無實(shí)際意義，或者超出學(xué)生的閱歷。我們知道，并不是所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都需要從現(xiàn)實(shí)情境引入的，這要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律而定。“平方差公式”是一種特殊形式，這節(jié)內(nèi)容相對(duì)于學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的知識(shí)來說，處于下位關(guān)系.而在下位學(xué)習(xí)中，新內(nèi)容和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的知識(shí)相聯(lián)系，直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，因此，本節(jié)課可以直接從數(shù)學(xué)問題本身引入課題，不需要從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)引入課題。

二、精心設(shè)計(jì)導(dǎo)入，回歸自然

從數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的要求、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)方向來看，教材安排得最為合適。筆者認(rèn)為，平方差公式是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特殊形式，屬于下位學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法可以順利實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向舊知識(shí)的同化，讓學(xué)生經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)過程，可以進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的思維能力。

（一）故事導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，快樂啟航

從前，有一個(gè)狡猾的莊園主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道：“好吧.”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚.你知道張老漢是否吃虧了嗎？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的知識(shí)，你將能輕松地解決.

2.自主探索，獲取新知

問題1：利用多項(xiàng)式的乘法法則，計(jì)算下面各題。再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（讓學(xué)生進(jìn)行小組討論）

（1）（a+b）（m+n）=

（2）（x+3）（x+4）=

（3）（y+3）（y-2）=

（4）（a+5）（a-5）=

（5）（p+q）（p-q）=

（6）（2x+1）（2x-1）=

問題2：通過這些題目的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（二）游戲?qū)?/p>

1.創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)主動(dòng)

教師出示幻燈片：①寫出你最喜歡的個(gè)位數(shù)；②計(jì)算100與這個(gè)數(shù)的和乘以100與這個(gè)數(shù)的差的積。

師：同學(xué)們計(jì)算得很投入，你們只要告訴我你寫出的個(gè)位數(shù)，我就能馬上說出計(jì)算結(jié)果，你們信嗎？

生：我最喜歡的個(gè)位數(shù)字是4。

師：你算出的答案是9984，（100+4）（100-4）=9984。

生：我最喜歡的數(shù)字是8。

師：你算的答案是9936，（100+8）（100-8）=9936。

師：神奇嗎？想學(xué)這招嗎？學(xué)完這節(jié)課.你肯定會(huì)明白其中的奧妙所在。

2.動(dòng)手操作

（1）現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)，不知其大小，請(qǐng)你隨意用兩個(gè)字母來表示這兩個(gè)數(shù)；（2）請(qǐng)把這兩個(gè)數(shù)的和與差分別表示出來.這兩個(gè)式子是多項(xiàng)式還是單項(xiàng)式？（3）請(qǐng)將所得的和與差相乘并化簡；（4）請(qǐng)思考：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于什么？（讓學(xué)生用自己的語言描述出來）

（三）實(shí)例導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

小明去商店買了單價(jià)是9.8元/千克的糖果10.2千克，售貨員剛拿起計(jì)算器.小明就說出應(yīng)付99.96元。這與售貨員計(jì)算出的結(jié)果一樣。售貨員很驚訝地說：“你真是個(gè)神童，怎么算得這么快？”小明說：“過獎(jiǎng)了，我用了剛學(xué)過的一個(gè)數(shù)學(xué)公式。”

你想知道小明用的是一個(gè)什么樣的公式嗎？下面我們一起來學(xué)習(xí)研究。

2.自主探究，歸納發(fā)現(xiàn)

師：我們已經(jīng)學(xué)過了多項(xiàng)式的乘法，兩個(gè)二項(xiàng)式相乘。在合并同類項(xiàng)前有幾項(xiàng)？

生：4項(xiàng)。

師：合并同類項(xiàng)后，積可能是3項(xiàng)嗎？積可能是2項(xiàng)嗎？

生：可能。

教師出示下列習(xí)題：

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

（4）（x+5y）（x-5y）=

（四）操作導(dǎo)入

問題1：你能計(jì)算下面圖形（如圖1）的面積嗎？你能用圖示法展示上述計(jì)算過程嗎？

（101×99=1002-12）

問題2：將長為（a+b）、寬為（a-b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形（如圖2），并請(qǐng)用等式表示你拼成圖形的面積關(guān)系.

（（a+b）（a-b）=a2-b2）

問題3：此等式中的a、b應(yīng)滿足什么條件？對(duì)于任意的a、b，此等式成立嗎？

（①a>b>0；②此式可作為公式，計(jì)算過程可?。?/p>

提供足夠數(shù)量、可供歸納的素材，并具有一定的“原生態(tài)”的特征，讓學(xué)生經(jīng)歷自然的篩選、歸納過程。

只有提供足夠數(shù)量、目標(biāo)明確的素材，學(xué)生才容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生歸納的心理需求，自發(fā)地進(jìn)行歸納。人教版數(shù)學(xué)課本僅提供三個(gè)題目，素材明顯不足，而且僅有正例沒有反例，缺乏“襯托”，有失自然，需要增加反例重新布局。探究欄目可修改如下：

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（a+b）（m+n）

（2）（x+p）（x+q）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（x+1）（x-1）

（5）（m+2）（m-2）

（6）（2x+1）（2x-1）

（7）（a+3b）（a-3b）

（8）（3x+2y）（3x-2y）

問題（1）是基本格式，以復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘法法則；問題（2）是一個(gè)重要的典型結(jié)構(gòu)，映射后續(xù)的一元二次方程和一元二次函數(shù)；問題（3）一來與平方差公式作陪襯，二來為完全平方公式打基礎(chǔ)，通過計(jì)算繁簡比較，（4）到（8）這5個(gè)正例特征足以從前三個(gè)反例中顯現(xiàn)出來。由于可供歸納的素材較多，學(xué)生很容易歸納出平方差公式，并自覺驗(yàn)證、運(yùn)用平方差公式。學(xué)生先經(jīng)過“炳雜”的計(jì)算，后享受“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，經(jīng)歷了一個(gè)擬真的“觀察比較——?dú)w納概括——猜想驗(yàn)證——推理應(yīng)用”的“再創(chuàng)造”過程。

平方差公式是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的特殊形式，教師通過鉆研教材，用發(fā)現(xiàn)導(dǎo)入法精心設(shè)計(jì)，使導(dǎo)入課更切實(shí)有效，就是讓學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)新知識(shí)向舊知識(shí)的同化，經(jīng)歷一次探究發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)過程，進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的思維能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]鄔云德.初中數(shù)學(xué)導(dǎo)入性教學(xué)的理論與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2012（12）.

[2]何昆生.初中數(shù)學(xué)導(dǎo)入技巧與藝術(shù)案例[J].中學(xué)教學(xué)參考.2012（19）.

（責(zé)任編輯：張華偉）