“變異理論”是世界著名教學論專家、瑞典哥德堡大學教授馬飛龍基于傳統(tǒng)遷移理論所創(chuàng)立的一套教學理論，那么，這一理論對于小學數(shù)學教學具有怎樣的意義呢？本文旨在以“圖形的旋轉”這一內容為例，淺析“變異理論”在三次教學設計中的意義。

一、第一次課：實施與反思

“圖形的旋轉”是北師大版數(shù)學實驗教材四年級上冊的內容，它建立在三年級下冊物體的“平移”和“旋轉”的基礎之上，主要體現(xiàn)“旋轉”的理念與思想，是傳統(tǒng)教材沒有涉及的內容。在分析教學內容和了解學生的知識基礎后，我設計了三個教學步驟：一是通過欣賞旋轉圖形，導入新課內容，旨在激發(fā)學生的學習興趣，調動課堂氣氛；二是要求學生仔細觀察旋轉圖形，讓學生自主發(fā)現(xiàn)并感受圖形“旋轉”的三要素（中心點、旋轉方向和旋轉角度）；三是讓學生根據(jù)要求，自主設計旋轉圖形。

首先，我向學生展示幾個色彩鮮艷、形狀別致的旋轉圖形，學生既感嘆旋轉圖形之美，又對旋轉圖形的特點和制作方法充滿好奇。這樣，新課內容的導入順利完成。其次，我要求學生仔細觀察、認真思考和積極討論。（問題：這些旋轉圖形是用什么方法設計出來的？）同時，我運用多媒體課件，配合學生的不同思路。接著，學生說出了制作旋轉圖形的三要素（“每一次旋轉的中心點不變”“每一次旋轉的方向不變”和“每一次旋轉的角度相同”）。然后，我充分肯定學生的課堂發(fā)現(xiàn)，并強化學生對旋轉圖形三要素的認識。最后，我請學生根據(jù)要求，親手制作旋轉圖形，學生興高采烈地嘗試。

總體來說，這節(jié)課的教學過程比較流暢，教學目標基本順利達成，獲得了預期的教學效果。不過，我注意到，班里一些基礎較薄弱的學生沒有很好地掌握教學內容。例如：有的學生在親手設計旋轉圖形時，比較茫然，無從下手；有的學生雖然簡單地畫了幾筆，但也只是對已有實例的模仿。在被問到設計思路時，他們無法說清?？梢?，部分學生既不明白旋轉圖形三要素的由來，也不理解畫圖時遵循旋轉圖形三要素的必要性。因此，這節(jié)課的教學目標并沒有真正實現(xiàn)。那么，怎樣才能讓學生掌握“圖形的旋轉”這一頗具趣味性的教學內容呢？

二、第二次課：調整與收獲

通過參與“變異理論”的教學實踐研究，尤其是借助“變異理論”中關于“正例”“反例”和“非標準正例”進行分析之后，我發(fā)現(xiàn)了未能真正實現(xiàn)教學目標的關鍵因素。

“變異理論”主張在概念教學中采用“正例”“反例”和“非標準正例”進行分析，并注重“正例”“反例”和“非標準正例”在學生形成概念的過程中所起的作用?！罢奔淳邆涓拍钏邢嚓P屬性的例子；“反例”即缺乏概念一個或多個相關屬性的例子。就“圖形的旋轉”這一內容來說，直接關系到“變異理論”的一個主要觀點，即“正例”與“反例”的配合使用。

通過再次反思教學設計和教學過程，我發(fā)現(xiàn)了導致學生不能深入把握旋轉圖形三要素的原因，即在觀察、討論環(huán)節(jié)中，雖然學生在我的引導下發(fā)現(xiàn)了旋轉圖形的三要素，但一些學生并未真正理解它們的重要作用，導致親自動手旋轉圖形時出現(xiàn)障礙。而通過“變異理論”，可利用“反例”以及“正例”與“反例”的對比，使學生拓展思維，在對比中加深認識。

據(jù)此，我及時對教學設計進行調整。即在第三個環(huán)節(jié)中，針對旋轉圖形的三要素專門設計“反例”，以使學生深刻理解旋轉圖形三要素的重要作用。于是，在第二次教學中，我演示了增加的“反例”（如圖1、圖2和圖3所示）。

通過“正例”與“反例”的對比，學生能非常形象地觀察到，一旦改變旋轉的中心點、旋轉方向或旋轉角度，便無法完成美麗的旋轉圖形。在“正例”與“反例”的逐一對照下，我引導學生進行觀察。為了讓學生積極思考，我設置了三個問題：其一，旋轉的中心點固定后，如果旋轉方向和角度不固定會形成怎樣的圖形？其二，旋轉方向固定后，如果中心點和旋轉角度不固定會形成怎樣的圖形？其三，旋轉角度固定后，如果中心點和旋轉方向不固定會形成怎樣的圖形？于是，學生認識到：旋轉的中心點、旋轉方向和旋轉角度，三者對于制作旋轉圖形缺一不可。實踐證明，在教學中增加“反例”對學生理解旋轉圖形的三要素具有積極作用。最終，這次教學取得了意想不到的效果：一是學生對旋轉過程的表達更加清晰且有條理；二是全班學生都能設計出比較漂亮的旋轉圖形。的確，在教學設計中適當增加“反例”，加強“正例”與“反例”的對比，能讓學生更準確、深刻地理解旋轉圖形的基本屬性，有效拓展學生的思維，彌補僅僅出示“正例”的不足。

三、第三次課：設想與期待

在“變異理論”教學實踐研究的又一次討論中，課題組專家給我的教學提出建議：現(xiàn)在的三個“反例”是在旋轉圖形三要素教學基本完成之后一次性出現(xiàn)的，是否可考慮“反例”出現(xiàn)的次序，例如在講解旋轉圖形的三要素時分別插入相應的“反例”，以使學生更準確地把握旋轉圖形三要素的重要作用。

由此，我聯(lián)想到“變異理論”對“正例”和“反例”的呈現(xiàn)順序也有研究，即“按照例子的類型”和“按照例子的特征”?！鞍凑绽拥念愋汀?，即先呈現(xiàn)所有“正例”，再呈現(xiàn)所有“反例”；或先呈現(xiàn)所有“反例”，再呈現(xiàn)所有“正例”?！鞍蠢拥奶卣鳌?，即基于例子本身的屬性和例子之間的關系呈現(xiàn)“正例”與“反例”。研究表明，“按照例子的特征”呈現(xiàn)“正例”與“反例”的教學效果更好。

在進一步反思中，我有了新的設想，就是將“反例”分三次呈現(xiàn)：其一，在討論中心點不變的要素時，呈現(xiàn)改變中心點的“反例”；其二，在討論旋轉方向不變的要素時，呈現(xiàn)改變旋轉方向的“反例”；其三，在討論旋轉角度不變的要素時，呈現(xiàn)改變旋轉角度的“反例”。實踐證明，將“反例”分三次呈現(xiàn)，不僅使教學具有層次感，更便于學生比較和對照，最終清晰地理解和運用數(shù)學知識。

通過對一節(jié)課的認真研究，我對“變異理論”有了深刻的認識。它使我悟出：在課堂教學中運用例子并不是一件簡單的事。只有合理地選擇、設計“正例”與“反例”，將“正例”與“反例”結合運用，既拓展學生的認知范圍，又促進學生理解和運用所學知識，才能真正實現(xiàn)知識的有效遷移。

（作者單位：北京市海淀區(qū)紅星小學）

（責任編輯：萬馳 梁金）