學(xué)生未上學(xué)時(shí)便已認(rèn)識(shí)三角形、五角星等，所以，教師往往認(rèn)為學(xué)生比較熟悉“角”，教學(xué)不存在難度。其實(shí)，學(xué)生常常把物體的尖部分當(dāng)成“角”，可見(jiàn)，學(xué)生并未清楚地認(rèn)識(shí)“角”及“角”的本質(zhì)屬性。在“角的初步認(rèn)識(shí)”這一教學(xué)內(nèi)容中，其難點(diǎn)在于讓學(xué)生脫離實(shí)物中的角，在大腦中形成“角”的概念，認(rèn)識(shí)到：“角”的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，“角”的大小由兩條邊張口的大小決定。在參與“變異理論”的研究討論之后，我試圖從建立概念的角度進(jìn)行反思，重新設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了從“定義教學(xué)”到“概念教學(xué)”的過(guò)渡。

一、實(shí)例入手，適時(shí)引入“角”的概念

以往，在幫助學(xué)生形成“角”的概念之前，我設(shè)計(jì)了這樣的導(dǎo)入環(huán)節(jié)。

教師：今天老師要帶大家認(rèn)識(shí)一個(gè)朋友，跟老師去找找吧?。ǔ尸F(xiàn)圖片中的角：鐘面上時(shí)針和分針夾成的角；窗戶上的橫木條和豎木條夾成的角；剪刀張開(kāi)的兩個(gè)刀刃夾成的角；三角板的兩條邊組成的角）新朋友就在這些物體表面。這些新朋友離開(kāi)了具體物體出現(xiàn)在我們面前，你們知道它們叫什么嗎？

學(xué)生：角。

教師：對(duì)，就是“角”。今天這節(jié)數(shù)學(xué)課我們一起認(rèn)識(shí)“角”……

在這一導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師希望把數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系，最終脫離實(shí)物抽象出“角”的概念。其實(shí)，這種方式使學(xué)生難以真正“抽象”出“角”的概念。

重新思考后，我調(diào)整了導(dǎo)入環(huán)節(jié)，旨在通過(guò)少量實(shí)例，突出強(qiáng)調(diào)“角”的概念。

教師：說(shuō)到“角”，同學(xué)們肯定不陌生。今天這堂課，老師要帶領(lǐng)大家認(rèn)識(shí)“角”的概念。（教師在黑板上畫出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的“角”）請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，用自己的語(yǔ)言描述老師畫“角”的動(dòng)作。

學(xué)生（通過(guò)討論和交流）：先畫一個(gè)點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)出發(fā)畫出一條直直的線；還從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)，再畫出另一條直直的線。

在這一導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師通過(guò)具體、直觀的實(shí)例，為學(xué)生搭建感性經(jīng)驗(yàn)和抽象概念之間的橋梁，最終讓學(xué)生建立“角”的概念。數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是抽象的，因此，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)在適當(dāng)階段盡早脫離具體、直觀的實(shí)例，以幫助學(xué)生更好地建立抽象的數(shù)學(xué)概念。

二、“正例”與“反例”互補(bǔ)，突破教學(xué)重、難點(diǎn)

“變異理論”認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是對(duì)概念屬性的辨認(rèn)，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對(duì)概念的學(xué)習(xí)具有重要的輔助作用。例子包括“正例”和“反例”兩種。由于過(guò)去對(duì)“角”的教學(xué)缺乏足夠重視，僅僅滿足于簡(jiǎn)單生活實(shí)例的應(yīng)用，后來(lái)，學(xué)生在對(duì)“角”的理解出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，我開(kāi)始認(rèn)真反思。最終，我發(fā)現(xiàn)根本原因在于：學(xué)生沒(méi)有在課堂上真正經(jīng)歷嚴(yán)格、嚴(yán)謹(jǐn)和嚴(yán)密的建立概念的過(guò)程。根據(jù)“變異理論”，要在學(xué)生頭腦中建立清晰、牢固和深刻的概念，就需要有目的、有選擇地使用“正例”“非標(biāo)準(zhǔn)正例”和“2O7rqmi5Mt4vMr4uKNK5q7djuGTg9A777gSHB3Qj/Sc=反例”。于是，我在教學(xué)設(shè)計(jì)中拓展了相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，具體包括兩點(diǎn)。

1.在判斷中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“角”

以前，我習(xí)慣在黑板上畫一個(gè)作為“正例”的“角”讓學(xué)生觀察，學(xué)生能憑直覺(jué)判斷出這是角，但對(duì)于“角”這一概念的本質(zhì)屬性缺乏深刻的理解。后來(lái)，我增加了“非標(biāo)準(zhǔn)正例”與“反例”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較并深入思考。

如圖所示，圖1、圖2和圖6是“正例”，圖3、圖4和圖5是反例。

在教學(xué)中，例子學(xué)習(xí)是學(xué)生掌握復(fù)雜、抽象概念的關(guān)鍵。通過(guò)逐一仔細(xì)地觀察、辨認(rèn)和比較例子，學(xué)生在思考中抓住了角的本質(zhì)：兩條直直的邊一頭挨在一起形成頂點(diǎn)才是角；角與邊的長(zhǎng)短、方向無(wú)關(guān)。

2.在比較中理解“角”的大小

在教學(xué)中，教師可通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作（做活動(dòng)角），使學(xué)生感悟“角”有大小，認(rèn)識(shí)到“角”的大小與“角”兩邊叉開(kāi)的程度有關(guān)?！敖恰钡膬蛇厪埧谠酱螅敖恰痹酱?；“角”的兩邊張口越小，“角”越小。在實(shí)際操作中，學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律。為了防止學(xué)生在“張口”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)犯錯(cuò)，我增加了兩組易使學(xué)生出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤的例子，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“張口”這一關(guān)鍵屬性的辨識(shí)和比較，使學(xué)生真正掌握教學(xué)內(nèi)容，最終突破本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

如圖所示，在圖7、圖8中，小的角兩條邊線長(zhǎng)，大的角兩條邊線短。直觀地看，直線末端的張口幾乎相等。對(duì)這樣的角，學(xué)生容易迷惑，認(rèn)為兩個(gè)角一樣大。通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生注意到張口的大小不應(yīng)通過(guò)邊線的末端進(jìn)行判斷，而要看頂點(diǎn)處。在圖9、圖10中，兩個(gè)角的大小相同，但因?yàn)閳D9中角的邊線短，圖10中角的邊線長(zhǎng)，所以圖10中角末端的張口明顯地要比圖9中角末端的張口大。于是，學(xué)生會(huì)誤判圖10中的角更大。

根據(jù)“變異理論”，不能孤立地理解任何事物，而應(yīng)憑借事物在相互聯(lián)系中存在相似性和差異性認(rèn)識(shí)事物的特征。因此，“知識(shí)遷移”是差異性和共同性作用的結(jié)果。在圖7、圖8和圖9、圖10中，突出了兩個(gè)角之間的相同與不同，排除了角的非本質(zhì)屬性（邊的長(zhǎng)短與角的大小無(wú)關(guān)），強(qiáng)化了角的本質(zhì)屬性（“角”的大小是由頂點(diǎn)處“張口”的大小決定）。

三、課后反思，“變異理論”促我進(jìn)步

當(dāng)前課堂教學(xué)中知識(shí)教學(xué)被“虛化”的現(xiàn)象是新課程改革的一大問(wèn)題。知識(shí)的“虛化”直接表現(xiàn)為概念教學(xué)被淡化，即將科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍睢鞍睘樯钪械闹苯咏?jīng)驗(yàn)，嚴(yán)重降低了教學(xué)的質(zhì)量。根據(jù)“變異理論”，學(xué)習(xí)概念即審辨概念的相關(guān)屬性。只有學(xué)生體驗(yàn)了屬性之間變與不變的特定類型，才能更好地審辨概念的相關(guān)屬性，最終掌握概念。可見(jiàn)，“變異理論”為我們理解“正例”和“反例”在概念學(xué)習(xí)中的作用提供了獨(dú)特視角，使我們不僅知道什么樣的“正例”和“反例”有利于學(xué)生的概念學(xué)習(xí)，更知道為什么這樣的“正例”和“反例”有利于學(xué)生的概念學(xué)習(xí)。

實(shí)踐證明，“變異理論”在“角的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中獲得了卓有成效的運(yùn)用，最終實(shí)現(xiàn)了從“定義教學(xué)”到“概念教學(xué)”的過(guò)渡?！白儺惱碚摗标U發(fā)的教學(xué)原理與教師在實(shí)際教學(xué)中獲得的樸素經(jīng)驗(yàn)相契合。通過(guò)課題學(xué)習(xí)和實(shí)踐探索，我對(duì)“正例”“反例”及“知識(shí)遷移”在教學(xué)中的運(yùn)用更加自覺(jué)且有條不紊，既有效總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，又巧妙提升理論認(rèn)識(shí)。

（作者單位：北京市海淀區(qū)臺(tái)頭小學(xué)）

（責(zé)任編輯：萬(wàn)馳 梁金）