肖 松，李志淮，譚賢四，王 紅

（空軍預(yù)警學(xué)院1.研究生管理大隊(duì)；2.二系，武漢430019）

臨近空間高超聲速飛行器是指在距離地面20～100km的空域，飛行馬赫數(shù)達(dá)到5以上的飛行器。近年來，臨近空間高超聲速飛行器的政治、經(jīng)濟(jì)和軍事價值引起了各國的高度重視，并成為美國等軍事強(qiáng)國的研究熱點(diǎn)[1－2]。

目前，對常規(guī)機(jī)動目標(biāo)跟蹤的研究已經(jīng)很成熟，但是，對臨近空間高超聲速目標(biāo)跟蹤的研究還處于起步階段[3]。臨近空間高超聲速飛行器不同于傳統(tǒng)的彈道導(dǎo)彈和常規(guī)飛行器，其飛行速度極快，飛行軌跡多變，運(yùn)動特征多樣，對跟蹤系統(tǒng)提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[4]。單模型跟蹤算法難以準(zhǔn)確描述目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)[5]；固 定 結(jié) 構(gòu) 多 模 型 （Fixed Structure Multiple Model，F(xiàn)SMM）跟蹤算法為了達(dá)到好的跟蹤效果，必須使用一個大的模型集合，這就增加了計(jì)算的復(fù)雜性，而且過多模型間的不必要競爭反而會使性能下降[6]；VSMM跟蹤算法將能夠描述目標(biāo)主要機(jī)動形式的模型組成一個大的模型集合，在目標(biāo)進(jìn)行機(jī)動運(yùn)動時，通過模型集合自適應(yīng)（Model Set Adaptation，MSA）選擇與目標(biāo)機(jī)動形式最接近的模型子集來進(jìn)行濾波計(jì)算，解決了FSMM跟蹤算法中模型集固定和計(jì)算量大的問題，受到廣泛青睞[7]。臨近空間高超聲速飛行器的運(yùn)動狀態(tài)可能在很短時間內(nèi)發(fā)生較大變化，如果VSMM跟蹤算法中的模型集自適應(yīng)速度跟不上飛行器運(yùn)動狀態(tài)的變化速度，就會出現(xiàn)誤差增大甚至跟蹤失敗的現(xiàn)象。鑒于此，本文選擇目標(biāo)可能的機(jī)動模型集合，設(shè)計(jì)模型之間的連通和轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過后驗(yàn)概率的大小來實(shí)時調(diào)整模型集，實(shí)現(xiàn)變結(jié)構(gòu)跟蹤。

1 問題描述

1.1 臨近空間高超聲速目標(biāo)特性

自20世紀(jì)50年代以來，美國等國家經(jīng)過多年不懈努力，制定出多項(xiàng)高超聲速飛行器發(fā)展計(jì)劃，并進(jìn)行了多次地面和飛行試驗(yàn)。綜合分析已經(jīng)公布的相關(guān)信息[1，3]，得到臨近空間高超聲速飛行器的目標(biāo)特性：飛行馬赫數(shù)為5～25，飛行高度為20～100km，機(jī)動過載能力為2g～10g，雷達(dá)反射面積為0.3～0.01m2，幾何尺寸為1～20m，質(zhì)量為0.5～5t。

臨近空間高超聲速飛行器是典型的“高、快、小”目標(biāo)，更重要的是，臨近空間高超聲速飛行器的典型發(fā)射方式有機(jī)載發(fā)射、火箭發(fā)射和空間平臺發(fā)射，其飛行軌跡不同于彈道導(dǎo)彈，可以周期跳躍飛行，機(jī)動靈活多變，給探測跟蹤和攔截系統(tǒng)等提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。

1.2 傳統(tǒng)VSMM跟蹤算法存在的問題

考慮如下隨機(jī)混合系統(tǒng)：

式中：fk[·]、gk[·]和hk[·]都是非線性函數(shù)，xk和zk分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和量測向量，w[·]和v[·]分別為系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲，其協(xié)方差分別為Qk和Rk，mk為k時刻的系統(tǒng)模式狀態(tài)，且mk?M，M為系統(tǒng)所有模型的集合。目標(biāo)當(dāng)前可能的模式與其前一時刻的狀態(tài)（包括動力狀態(tài)和模式狀態(tài)）是相關(guān)的，即：

式中：M（k）為k時刻模型子集中的一個模型為相對于M（k）的下一時刻目標(biāo)可行的模式集合，P[M（k＋1）｜M（k），xk]為與目標(biāo)狀態(tài)相關(guān)的模型轉(zhuǎn)移概率。k＋1時刻可行的模式集合應(yīng)為

最小均方誤差意義下的變結(jié)構(gòu)多模型估計(jì)算法具有2層結(jié)構(gòu)，高層為模式狀態(tài)mk的估計(jì)，即MSA，是VSMM算法有別于傳統(tǒng)算法的獨(dú)特之處；低層為模型序列M（k）的估計(jì)，即多模型交互計(jì)算，與傳統(tǒng)FSMM算法相同。自VSMM跟蹤算法提出以來，有3種典型MSA算法：模型群組切換算法（Model Group Switching，MGS）[8]、自適應(yīng)網(wǎng)格算法（Adaptive Grid，AG）[7]和可能模型集算法（Likely Model Set，LMS）[9]。MGS算法采用硬判決的模型集切換，容易導(dǎo)致誤切換，這在臨近空間高超聲速飛行器的跟蹤過程中容易導(dǎo)致跟蹤丟失，增大了跟蹤失敗的風(fēng)險；AG算法在濾波過程中根據(jù)上一時刻的估計(jì)結(jié)果建立新的模型并自適應(yīng)調(diào)整模型間的距離，自適應(yīng)產(chǎn)生新的、更為匹配當(dāng)前機(jī)動的模型集合，雖然無須預(yù)先設(shè)定模型，但是通常先設(shè)置模型間距較為粗糙的模型集，在跟蹤狀態(tài)變化較快的臨近空間高超聲速飛行器時，算法一直處于模型間距較粗糙的模型集狀態(tài)，從而導(dǎo)致跟蹤誤差較大；LMS算法的實(shí)質(zhì)是主動圖（AD）模型集自適應(yīng)策略的具體實(shí)現(xiàn)，雖然比MGS算法的運(yùn)算量要小，比AG算法的通用性要強(qiáng)，但是由于LMS算法只能激活主導(dǎo)模型的強(qiáng)鄰模型，導(dǎo)致算法模型集的調(diào)整速度跟不上目標(biāo)的狀態(tài)變化速度，從而出現(xiàn)誤差增大或者跟蹤失敗的現(xiàn)象。

2 DG－VSMM跟蹤算法

鑒于傳統(tǒng)VSMM跟蹤算法的優(yōu)點(diǎn)和存在的不足，本文選擇的模型能有效覆蓋臨近空間高超聲速飛行器的可能機(jī)動情況，根據(jù)模型之間的連通關(guān)系和轉(zhuǎn)換概率建立模型有向圖，使每一時刻起作用的模型子集根據(jù)目標(biāo)的機(jī)動變化而變化。算法過程主要有選擇模型集合、建立模型有向圖和濾波計(jì)算3個步驟。

2.1 選擇模型集合

假設(shè)臨近空間高超聲速飛行器在X－Y平面內(nèi)運(yùn)動，平面內(nèi)的機(jī)動行為可以歸結(jié)為速度和航向的變化。其中速度的變化可以用加速度a來表征，而航向的變化則由角速度ω來表征，臨近空間高超聲速飛行器也有可能進(jìn)行勻速巡航，則模型集中必須包含勻速運(yùn)動模型。考慮到臨近空間高超聲速飛行器的運(yùn)動特性，傳統(tǒng)的Jerk模型受機(jī)動頻率的影響較大，在跟蹤此類目標(biāo)時，不能體現(xiàn)自身優(yōu)勢；Singer模型具有比勻速（Constant Velocity，CV）模型和勻加速（Constant Acceleration，CA）模型更寬的覆蓋范圍，具有較大的機(jī)動適應(yīng)性，但是當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)轉(zhuǎn)彎機(jī)動時，跟蹤效果較差；“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)（Current Statistical，CS）模型能較為真實(shí)地反映目標(biāo)機(jī)動范圍和強(qiáng)度的變化，是目前較好的實(shí)用模型；轉(zhuǎn)彎（Coordinate Turn，CT）模型針對轉(zhuǎn)彎機(jī)動有較好的跟蹤效果，這里采用的是一種修正的轉(zhuǎn)彎模型（Modified Coordinate Turn，MCT），其基本思想為：當(dāng)臨近空間高超聲速飛行器在高超聲速巡航時，其相鄰時刻的轉(zhuǎn)彎角速度不可能發(fā)生突變，假定目標(biāo)轉(zhuǎn)彎角速度ω（t）服從一階時間相關(guān)過程，結(jié)合目標(biāo)轉(zhuǎn)彎運(yùn)動的幾何關(guān)系得到MCT模型的連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程，經(jīng)拉普拉斯逆變換得到轉(zhuǎn)彎模型離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，然后借助“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的思想，及時修正目標(biāo)的“當(dāng)前”角速度，較為準(zhǔn)確地測量目標(biāo)機(jī)動角速度的變化情況，使模型更復(fù)合目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動情況。由于篇幅的原因，這里不再贅述。

選擇1個CV模型、5個CS模型和4個MCT模型，其最大加速度和最大角速度能夠覆蓋臨近空間高超聲速飛行器的可能機(jī)動情況。

假設(shè)1 模型的選擇符合獨(dú)立性與完備性的條件：

式中：Mi（k）為k時刻的模型Mi，zk為k時刻的觀測值，q為模型總數(shù)。

2.2 建立模型有向圖

模型之間的連通關(guān)系是根據(jù)目標(biāo)類型和目標(biāo)可能的機(jī)動情況等先驗(yàn)知識來確定。例如，載有攻擊性武器的臨近空間高超聲速飛行器和單純進(jìn)行電子偵察的臨近空間高超聲速飛行器，其可能機(jī)動形式是不同的，而不管何種類型的目標(biāo)，在一個采樣周期內(nèi)，目標(biāo)不能從加速度最小的狀態(tài)跳轉(zhuǎn)到加速度最大的狀態(tài)，故最大加速度amax和最小加速度amin不毗鄰，最大角速度ωmax和最小角速度ωmin也不毗鄰，當(dāng)目標(biāo)的加速度或者角速度較小時，其可能的機(jī)動形式相對較多，其他的與此類似。建立各模型之間的連通關(guān)系，如圖1所示。

圖1 模型有向圖

顯然，如果在一個總模型數(shù)為q，每個模型子集中的模型個數(shù)為b的系統(tǒng)中，模型子集的個數(shù)qmk最多為

采用有向圖的方法，其模型組合數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳統(tǒng)方法。

假設(shè)2 模型間的轉(zhuǎn)移服從狀態(tài)有限、時間離散的時齊馬爾科夫鏈，其馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率為

式中：Mj（k）為k時刻的模型Mj，Pij是根據(jù)先驗(yàn)知識來確定的，2個毗鄰的模型其轉(zhuǎn)移概率較大，而不直接連通的模型其轉(zhuǎn)移概率為0。假設(shè)目標(biāo)所有可能機(jī)動形式的一個強(qiáng)覆蓋包含q個模型，每個模型子集包含b個模型（這里取b＝4）。若k－1時刻系統(tǒng)模型子集為｛a3a2ωminω1｝，交互輸出時計(jì)算各子模型的后驗(yàn)概率，假設(shè)Ma2（k－1）的最大，如果后驗(yàn)概率為Pωmin（k－1）＜Pω2（k－1）＜Pa3（k－1）＜Pa2（k－1），則在下一時刻要保留模型Ma2（k－1）和Ma3（k－1），將這2個模型的濾波值作為系統(tǒng)的輸出和下一時刻的初始化值，根據(jù)系統(tǒng)所有模型之間的轉(zhuǎn)移概率Pij，選擇從模型Ma2（k－1）轉(zhuǎn)移到其它模型概率最大的前2個模型（不與上一時刻參與計(jì)算的 模 型 重 復(fù)），假 設(shè) 為Mamax（k－1）和Mωmax（k－1），用 來 取 代 模 型Mω1（k－1）和Mωmin（k－1），則 在k時 刻 運(yùn) 行 模 型 集 合｛a2a3amaxωmax｝，同時進(jìn)入下一個循環(huán)。

2.3 濾波計(jì)算

濾波計(jì)算指在模型集自適應(yīng)選定參與計(jì)算的模型后，各模型進(jìn)行跟蹤濾波，對于非線性系統(tǒng)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法（Extended Kalman Filtering，EKF），計(jì)算方法與傳統(tǒng)IMM 算法相同，具體方法見文獻(xiàn)[10]。

3 仿真

3.1 仿真場景

假設(shè)飛行器的初始狀態(tài)：x方向的距離為10km，速度為1 000m/s，加速度為0；y方向的距離為10km，速度為900m/s，加速度為0?？傦w行時間為170s。飛行器發(fā)生機(jī)動時刻及對應(yīng)的機(jī)動形式如表1所示，表中tj為機(jī)動時刻。傳感器能夠連續(xù)探測到目標(biāo)在X－Y平面的位置和速度（含有噪聲），量測周期T＝1s。

表1 目標(biāo)機(jī)動運(yùn)動情況表

模型集合中包含10個子模型：1個CV模型，5個“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的最大加速度分別為－120m/s2，－90m/s2，60m/s2，90m/s2，120m/s2；4個轉(zhuǎn)彎模型的最大角速度分別為－0.3rad/s，－0.2rad/s，0.2rad/s，0.3rad/s。所有模型之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣Pij根據(jù)目標(biāo)的可能機(jī)動情況來確定，每一時刻參與計(jì)算的模型之間的概率轉(zhuǎn)移矩陣與IMM算法的相同。為了便于說明，選擇傳統(tǒng)的LMS－VSMM算法作為對比，其模型集合為：1個CV模型、2個CS模型和1個MCT模型，模型參數(shù)與DG－VSMM算法的相同。在Matlab7.1中進(jìn)行100次Monte－Carlo仿真。

3.2 結(jié)果分析

為了說明全過程的跟蹤效果，針對每一個觀測點(diǎn)，定義位置和速度均方根誤差為

式中：Xε為狀態(tài)向量的第ε個量測值，為第ψ次仿真的第ε個估計(jì)值，D為 Monte－Carlo仿真次數(shù)。

當(dāng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲均方根分別為r1＝100，r2＝100時，得到2種跟蹤算法的濾波軌跡如圖2所示。

圖2 濾波軌跡與真實(shí)值比較（r1＝r2＝100）

位置和速度均方根誤差分別如圖3、圖4所示。

從圖3和圖4中可以看出，當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)相對較穩(wěn)定時，如勻速或者加速巡航時，2種算法的跟蹤效果相當(dāng)；當(dāng)目標(biāo)加速度發(fā)生突變或者機(jī)動形式變化時，新算法跟蹤結(jié)果較穩(wěn)定，而LMS－VSMM算法會出現(xiàn)誤差變大，特別是速度均方根誤差體現(xiàn)得更明顯，從總體來看，新算法的位置和速度均方根誤差要小于LMS－VSMM算法的。

圖3 位置均方根誤差比較（r1＝r2＝100）

圖4 速度均方根誤差比較（r1＝r2＝100）

當(dāng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲誤差分別為r1＝400，r2＝400時，新算法和LMS－VSMM 算法的濾波軌跡如圖5所示。

圖5 濾波軌跡與真實(shí)值比較（r1＝r2＝400）

位置和速度均方根誤差分別如圖6、圖7所示。

從圖6和圖7中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)噪聲和量測噪聲增大時，新算法和LMS－VSMM算法的位置均方根誤差都增大，但是新算法增幅較小，而且當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)較強(qiáng)機(jī)動時，如目標(biāo)的加速度發(fā)生突變，特別是目標(biāo)的機(jī)動形式發(fā)生變化時，新算法的濾波結(jié)果更穩(wěn)定，精度更高，而LMS－VSMM 算法出現(xiàn)誤差急劇增大的現(xiàn)象。若新算法在多個模式切換之間不收斂，由于新算法能夠保留最優(yōu)模型，并根據(jù)后驗(yàn)概率選擇最優(yōu)模型的毗鄰模型組成模型集，以最快速度實(shí)現(xiàn)收斂。從實(shí)用性角度來講，新算法具有比傳統(tǒng)算法更快的收斂率，這一點(diǎn)從圖中目標(biāo)發(fā)生連續(xù)轉(zhuǎn)彎機(jī)動時的仿真結(jié)果可以看出。

圖6 位置均方根誤差比較（r1＝r2＝400）

圖7 速度均方根誤差比較（r1＝r2＝400）

從算法計(jì)算量方面分析，設(shè)模型集中模型總數(shù)為φ，每個周期參與計(jì)算的模型數(shù)為φ，記2個數(shù)進(jìn)行比較的計(jì)算量為J1，則新算法完成對子模型濾波結(jié)果進(jìn)行比較的計(jì)算量約為，選擇模型集的計(jì)算量記為J2，LMS－VSMM算法中每個模型的概率和設(shè)定值進(jìn)行比較的計(jì)算量為φJ(rèn)1，綜合判斷的計(jì)算量為2J1，如果目標(biāo)機(jī)動復(fù)雜，傳統(tǒng)算法可能需要次計(jì)算才能達(dá)到最優(yōu)，故新算法每個量測周期模型集跳轉(zhuǎn)的計(jì)算量為，比 LMS－VSMM 算法[（φ＋2）J1＋J2]的小。

4 結(jié)論

本文分析了臨近空間高超聲速飛行器的目標(biāo)特性，針對傳統(tǒng)跟蹤算法不能實(shí)現(xiàn)對此類目標(biāo)進(jìn)行有效跟蹤的問題，提出了一種基于有向圖的變結(jié)構(gòu)多模型跟蹤算法。通過選擇模型集合、建立模型間的連通關(guān)系、設(shè)計(jì)自適應(yīng)策略和交互計(jì)算，使每一時刻參與計(jì)算的模型都接近最優(yōu)。該算法能夠比傳統(tǒng)VSMM算法更快地在模型子集之間跳轉(zhuǎn)，更快地實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤，可適用于臨近空間高超聲速飛行器以及目標(biāo)的運(yùn)動模式空間很大、目標(biāo)的運(yùn)動狀態(tài)高度時變（強(qiáng)機(jī)動）的情況。針對以臨近空間高超聲速飛行器為代表的“高、快、小”目標(biāo)，設(shè)計(jì)更為恰當(dāng)?shù)母櫵惴?，使算法的適應(yīng)能力和針對性更強(qiáng)一些，是一個具有重要現(xiàn)實(shí)意義的課題，也是下一步的研究重點(diǎn)。

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