史 鯤，梁曉庚

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安710072）

傳統(tǒng)空空導(dǎo)彈末制導(dǎo)律多為比例導(dǎo)引律或者擴(kuò)展的比例導(dǎo)引律，這種導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于工程實(shí)現(xiàn)，但缺點(diǎn)是對(duì)于目標(biāo)的大范圍機(jī)動(dòng)和初始條件的變化，其魯棒性較差。

線性和非線性H∞魯棒控制理論是處理包含不確定性和擾動(dòng)系統(tǒng)控制問題的一種行之有效的方法[1]，該方法不僅已經(jīng)應(yīng)用于飛行器自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)[2]，許多學(xué)者也將其應(yīng)用在導(dǎo)彈末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中。如文獻(xiàn)[3－4]通過求解哈密爾頓－雅克比偏微分不等式（HJPDI），得到了非線性H∞魯棒制導(dǎo)律，但由于求解偏微分不等式十分困難，因此難以在實(shí)際工程中使用。郭建國(guó)等[5]提出了一種全局非線性H∞魯棒末制導(dǎo)律，該方法利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論嚴(yán)格證明了制導(dǎo)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，無需求解復(fù)雜的HJPDI，通過數(shù)字仿真驗(yàn)證了該制導(dǎo)律具有較強(qiáng)的魯棒性和較高的制導(dǎo)精度。但由于傳統(tǒng)空空導(dǎo)彈以固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)作為動(dòng)力裝置，導(dǎo)彈速度不可調(diào)節(jié)，因此并未對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行控制。

當(dāng)前，隨著燃?xì)饬髁空{(diào)節(jié)技術(shù)的發(fā)展[6]，變流量沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)憑借其優(yōu)越的性能，逐漸成為導(dǎo)彈的動(dòng)力裝置。例如歐洲的“流星”先進(jìn)空空導(dǎo)彈，采用了可變流量的整體式固體火箭沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為其動(dòng)力裝置[7]，通過對(duì)燃?xì)饬髁康恼{(diào)節(jié)，不僅可以擴(kuò)大沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的有效工作范圍，還可以調(diào)節(jié)推力的大小，從而改變導(dǎo)彈的徑向加速度，實(shí)現(xiàn)真正的六自由度控制。

本文以速度可調(diào)空空導(dǎo)彈為背景，基于末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的準(zhǔn)平行接近原理，結(jié)合非線性H∞魯棒控制方法，將目標(biāo)機(jī)動(dòng)看作外部擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種即具有較強(qiáng)魯棒性，又能夠充分發(fā)揮沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的推力調(diào)節(jié)能力，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈快速攻擊目的的非線性魯棒末制導(dǎo)律。最后通過數(shù)字仿真與結(jié)果分析，驗(yàn)證了該制導(dǎo)律的性能和優(yōu)勢(shì)。

1 魯棒末制導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)描述

將導(dǎo)彈和目標(biāo)看作質(zhì)點(diǎn)，考查如圖1所示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖。圖中，M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)。坐標(biāo)系OX0Y0Z0為慣性坐標(biāo)系，原點(diǎn)O與導(dǎo)彈重合。坐標(biāo)系OXYZ為末制導(dǎo)視線坐標(biāo)系，其中，OX軸與彈目視線重合，指向目標(biāo)方向?yàn)檎?，OY軸處于鉛垂平面內(nèi)，向上為正，OZ軸按右手法則確定。兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系由q和ψ2個(gè)角度表示，分別為彈目視線的俯仰角和方位角，即慣性坐標(biāo)系經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)，就可與視線坐標(biāo)系重合。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖

令r為彈目相對(duì)距離，ami和ati（i＝x，y，z）分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度在視線坐標(biāo)系上的分量，利用矢量的求導(dǎo)法則，可以得到三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組[8]：

令

則式（1）所示的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可改寫為

將式（2）中的uj（j＝1，2，3）視為控制量，ωj（j＝1，2，3）視為外部擾動(dòng)，則H∞魯棒末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題就可以表述如下。

對(duì)于給定的系數(shù)γ，系統(tǒng)在導(dǎo)彈控制量u＝（u1u2u3）T的作用下，在任意初始位置，對(duì)于有界外部擾動(dòng)ω＝（ω1ω2ω3）T，都有

成立。式中：z為加權(quán)輸出指標(biāo)向量；系數(shù)γ表示對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的敏感程度，一般選為γ≥1。

2 三維魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式（2），將魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為如下形式：

式中：kj，vj（j＝1，2，3）待定。

根據(jù)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的準(zhǔn)平行接近原理，設(shè)計(jì)的魯棒制導(dǎo)律應(yīng)使彈目視線角速度盡量趨近于0，即→0，→0。又由于空空導(dǎo)彈采用可調(diào)推力的整體式固體火箭沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為其動(dòng)力裝置，制導(dǎo)律還應(yīng)該保證彈目相對(duì)速度在整個(gè)末制導(dǎo)攔截過程中至少不要衰減，從而縮短攔截時(shí)間。為此，令系統(tǒng)式（2）的加權(quán)輸出指標(biāo)向量為

式中：＋k項(xiàng)是為了保證足夠大的彈目相對(duì)速度，k是一個(gè)大于0的常數(shù)，其值在后文中確定。選擇v1，v2和v3項(xiàng)作為系統(tǒng)的輸出量，目的是希望導(dǎo)彈所需要的機(jī)動(dòng)能量最小。

根據(jù)李雅普諾夫理論，引入正定李雅普諾夫函數(shù)：

式中：｜q｜＜π/2。對(duì)V進(jìn)行求導(dǎo)，得：

如果≤0，則閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。再定義函數(shù)：

式中：v＝（v1v2v3）T。由最優(yōu)控制理論，對(duì)于不同的目標(biāo)機(jī)動(dòng)，解方程：

式中：

再考慮所需要機(jī)動(dòng)的能量最小，解方程：

代入H1中，可得：

顯然，當(dāng)滿足如下條件：時(shí)，有H1（，，，v，t）≤0。則 由 式（9），又 有γ≥1，可得H（，，，v，ω＊，t）≤0。也就是在式（10）的 條件下，當(dāng)γ≥1時(shí)，有：

由于

代入式（11）可得：

根據(jù)李雅普諾夫第二法可知，閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。特別當(dāng)系統(tǒng)擾動(dòng)ω（t）＝0，即目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，有：

對(duì)式（11）兩邊積分得：

式中：V0為系統(tǒng)初始時(shí)刻的李雅普諾夫函數(shù)。由于制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)采用了準(zhǔn)平行接近原理，使得在整個(gè)末制導(dǎo)過程中，彈目視線俯仰角速度和方位角速度都非常小（2≈0，2≈0），則可以忽略式（8）中的后兩項(xiàng)，那么如果0＋k＝0，就可以認(rèn)為V0近似等于0；又由于彈目接近速度的變化在量級(jí)上比和大得多，則可以得出V－V0≥0。通過以上分析可知，如果令

就可以得到：

可得出如下結(jié)論：當(dāng)如式（4）～式（6）所示的制導(dǎo)律滿足式（10）時(shí)，該制導(dǎo)律具有H∞魯棒性。由式（10）所示的條件，可以取

首先確定k′1。將k1代入式（10）中第一式，可得（＋k）2k′1≤0，該式是要保證制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)atx具有魯棒性，因此選擇：

再確定k′2和k′3。將k2代入式（10）中第二式，得2k′2≤0。由于在導(dǎo)彈飛向目標(biāo)的過程中，＜0，因此k′2的取值應(yīng)不小于0。當(dāng)ω（t）＝0，將k2和v2＝/2代入式（1），可得根據(jù)準(zhǔn)平行接近理論，應(yīng)保證趨近于0，由此，可得k′2的取值范圍為

同樣地，可求出k′3的取值范圍為

k′2和k′3不僅保證了制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)aty和atz的魯棒性，還決定了實(shí)現(xiàn)角速度趨近于0的速度。但其取值并非絕對(duì)值越大越好，還應(yīng)該結(jié)合導(dǎo)彈飛行中實(shí)際過載的能力，合理地選擇k′2和k′3的取值。同樣，k′1的取值也應(yīng)考慮導(dǎo)彈過載和推力的限制。

至此，可以給出由式（4）～式（6）、式（10）、式（15）～式（18）所示的速度可調(diào)空空導(dǎo)彈非線性H∞魯棒末制導(dǎo)律。

對(duì)于參數(shù)k的選擇，式（13）可以解釋為希望導(dǎo)彈通過改變自身的速度，在整個(gè)末制導(dǎo)過程中保持末制導(dǎo)初始時(shí)刻的彈目相對(duì)速度而不衰減，從而以較短的時(shí)間擊中目標(biāo)。然而，該選擇將導(dǎo)致一個(gè)嚴(yán)重的問題，即當(dāng)目標(biāo)本身的機(jī)動(dòng)使得彈目相對(duì)速度的絕對(duì)值｜｜增大時(shí)，制導(dǎo)律將使導(dǎo)彈在視線方向上減速，反而增加了導(dǎo)彈的攔截時(shí)間。為此，對(duì)制導(dǎo)律的第一項(xiàng)u1做如下修正，即當(dāng)｜｜－｜0｜≥0，也就是彈目相對(duì)速度大于或等于初始相對(duì)速度時(shí)，令u1＝0；當(dāng)｜｜－｜0｜＜0時(shí)，u1等于按照前述制導(dǎo)律解算所得值。這樣一來，可以保證導(dǎo)彈的攔截時(shí)間：

3 末制導(dǎo)律仿真及分析

考慮縱向平面內(nèi)的攔截問題，設(shè)定導(dǎo)彈和目標(biāo)的仿真初始條件如下。

導(dǎo)彈的位置為慣性坐標(biāo)系下Xm0＝0；Ym0＝5km；導(dǎo)彈的初始速度vm0＝1 200 m/s，彈道傾角θm0＝0；目標(biāo)的位置為慣性坐標(biāo)系下Xt0＝10km，Yt0＝10km；目標(biāo)的初始速度vt0＝300m/s，彈道傾角θt0＝π；目標(biāo)在彈道坐標(biāo)系（O2X2Y2Z2）下的切向加速度和法向加速度分別為atx2＝ －20m/s2和aty2＝－80m/s2，也就是說，目標(biāo)不僅具有改變速度方向的機(jī)動(dòng)，還具有改變速度大小的機(jī)動(dòng)。

制導(dǎo)律中參數(shù)的選擇為k′1＝－0.1，k′2＝1，k′3＝－1。

為了將本文設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律（TGL1）與不控制彈目相對(duì)速度的末制導(dǎo)律（TGL2）（即式（4）中u1＝0）相比較，在相同的初始條件下，先后對(duì)2種制導(dǎo)律進(jìn)行了仿真。仿真對(duì)比結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比圖

圖3 命中點(diǎn)放大圖

圖4 視線角速度對(duì)比圖

圖5 彈目相對(duì)速度對(duì)比圖

圖2為2種制導(dǎo)律仿真所得的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比圖。從圖中可以看出，與不控制彈目相對(duì)速度的末制導(dǎo)律相比，本文設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律在彈道上更為平滑一些。從圖3所示的命中點(diǎn)放大圖可以看到，盡管2種末制導(dǎo)律都能以較高的精度（TGL1的脫靶量為0.199m，TGL2的脫靶量為0.465m）命中目標(biāo)（從圖4中可以看出，2種末制導(dǎo)律都能將視線角速度控制在0（°）·s－1附近），但本文設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律在攔截時(shí)間上卻具有明顯的優(yōu)勢(shì)，二者相差將近2s。這一點(diǎn)也可從圖5所示的彈目相對(duì)速度對(duì)比圖中得到說明。在不控制彈目相對(duì)速度的制導(dǎo)律的作用下，彈目相對(duì)速度的絕對(duì)值衰減較大，而本文設(shè)計(jì)的末制導(dǎo)律能使彈目相對(duì)速度幾乎保持在一個(gè)常值，體現(xiàn)了其優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)采用可變流量固體火箭沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為動(dòng)力系統(tǒng)的速度可調(diào)空空導(dǎo)彈，基于非線性H∞魯棒控制思想，通過選擇合適的李雅普諾夫函數(shù)，不僅保證了制導(dǎo)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，還推導(dǎo)出了能夠控制彈目相對(duì)速度的魯棒末制導(dǎo)律。數(shù)字仿真表明，該制導(dǎo)律對(duì)于目標(biāo)大范圍機(jī)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，制導(dǎo)精度較高，明顯縮短了導(dǎo)彈攔截時(shí)間，能夠充分發(fā)揮先進(jìn)動(dòng)力系統(tǒng)的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，具有一定的前瞻性和工程應(yīng)用參考價(jià)值。如何將該制導(dǎo)律與沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)推力調(diào)節(jié)控制、氣動(dòng)舵控制相結(jié)合，是今后研究的重點(diǎn)。

[1]梅生偉，申鐵龍，劉志康.現(xiàn)代魯棒控制理論與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.MEI Sheng－wei，SHEN Tie－long，LIU Zhi－kang.Modern robust control theory and application[M].Beijing：Tsinghua University Press，2003.（in Chinese）

[2]GOMAN M，SIDORYUK M，USTINOV A.Control law designs for flexible aircraft：comparison of theH∞－based and classical methods，AIAA2005－6265[R].2005.

[3]李新國(guó)，陳士櫓.非線性H∞魯棒制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].宇航學(xué)報(bào)，2000，21（增刊）：48－51.LI Xin－guo，CHEN Shi－lu.Study of nonlinearH∞r(nóng)obust guidance law[J].Journal of Astronautics，2000，21（S）：48－51.（in Chinese）

[4]CHEN H Y.3DnonlinearH∞/H2law with dissipative theory，AIAA2002－5024[R].2002.

[5]郭建國(guó)，周軍.基于H∞控制的非線性末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].航空學(xué)報(bào)，2009，30（12）：2 423－2 427.GUO Jian－guo，ZHOU Jun.Design ofH∞control based nonlinear terminal guidance law[J].Acta Aerodynamica et Astronautica Sinica，2009，30（12）：2 423－2 427.（in Chinese）

[6]牛文玉.燃?xì)饬髁靠烧{(diào)的固體火箭沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.NIU Wen－yu.Study on control methods for variable flow ducted rockets[D].Harbin：Harbin Institute of Technology，2009.（in Chinese）

[7]曹軍偉，王虎干.固體火箭沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)在空空導(dǎo)彈上應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)[J].航空兵器，2009（2）：47－49.CAO Jun－wei，WANG Hu－gan.Predominance of ducted solid rocket ram jet applied to airborne missile[J].Aero Weaponry，2009（2）：47－49.（in Chinese）

[8]佘文學(xué)，周鳳岐.三維非線性變結(jié)構(gòu)尋的制導(dǎo)律[J].宇航學(xué)報(bào)，2004，25（6）：681－685.SHE Wen－xue，ZHOU Feng－qi.High precision 3－D nonlinear variable structure guidance law for homing missile[J].Journal of Astronautics，2004，25（6）：681－685.（in Chinese）