王 燕

王燕/鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學校中學一級教師（江蘇鎮(zhèn)江212000）。

公元前200年左右，古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。公元4世紀，帕波斯在《數(shù)學匯編》中記載了射影幾何學的一些基本概念，如對合、非調(diào)和比（即交比）等，還得到“帕波斯定理”。文藝復(fù)興時期，意大利數(shù)學家阿爾貝蒂于1435年發(fā)表《論繪畫》一書，闡述了最早的數(shù)學透視法思想，他引入投影線和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個截景間有何種數(shù)學關(guān)系或何種共同的數(shù)學性質(zhì)等問題，這些問題是射影幾何發(fā)展的起點。意大利學者、藝術(shù)巨匠達·芬奇 （1452－1519）在《繪畫專論》（1651年出版）中堅信，數(shù)學的透視法可以將實物精確地體現(xiàn)在一幅畫中，它是繪畫的舵輪和準繩。意大利另一位畫家、數(shù)學家弗蘭切斯卡約于1478年著有《透視畫法論》，推進了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想，把透視法的數(shù)學原理以相當完整的形式表述出來。

17世紀數(shù)學家們重新研究古希臘的圓錐面截線問題和文藝復(fù)興時期的透視法原理，積累了射影幾何的原始素材，同時開始進行系統(tǒng)的綜合整理工作。1604年德國天文學家、數(shù)學家開普勒在 《天文學的光學部分》中提出平行線的無窮遠點概念。1636——1639年法國數(shù)學家德扎格先后出版《論透視截線》的小冊子和《圓錐曲線論稿》。德扎格論述了“德扎格定理”，即如果兩個三角形對應(yīng)頂點的連線共點，則它們對應(yīng)邊的交點共線，反之亦然，這已成為射影幾何學的基本定理。法國數(shù)學家彭色列在復(fù)興射影幾何方面做出了杰出貢獻，他構(gòu)思的巨著《論圖形的射影性質(zhì)》是幾何學上的一個里程碑，給射影幾何的研究以巨大的動力，開創(chuàng)了射影幾何史上的黃金時代。同時以彭色列為首的一大批幾何學家的共同努力，迎來了19世紀射影幾何蓬勃發(fā)展的春天。射影幾何以其直觀優(yōu)美、宏偉深刻的新姿獨領(lǐng)風騷，一朵頹萎了200多年的蓓蕾終于開出了艷麗之花！

一、透視對應(yīng)(中心射影)

定義1.1以下三種對應(yīng)稱為一維基本形的透視對應(yīng)

推論1.1

(1)透視對應(yīng)是兩個一維基本形之間的一個一一對應(yīng),保持任意四對對應(yīng)元素的交比不變.

(2)連續(xù)兩次透視對應(yīng)的結(jié)果顯然不一定仍是透視對應(yīng) .透視對應(yīng)不滿足“傳遞性”，所以透視對應(yīng)不是一維基本形之間的等價關(guān)系.

二、一維射影對應(yīng)的綜合法定義

1.Poncelet定義

設(shè)[π],[π']為兩個一維基本形.若存在n個一維基本形

[πi](i=1,2,…,n), 使得

則稱由此決定的[π]到[π']的一一對應(yīng)為一個射影對應(yīng),記作

推論2.1

（1）透視對應(yīng)是射影對應(yīng)，反之不一定成立.

（2）射影對應(yīng)是一維基本形集合上的一個等價關(guān)系.

（3）射影對應(yīng)是雙射，且保持任意四對對應(yīng)元素的交比不變.

2.Steiner定義

如果兩個一維基本形之間的一個對應(yīng)φ:[π]-〉[π']滿足

(1)φ為一個雙射；

(2)φ使得任意四對對應(yīng)元素的交比相等；

則稱 φ 為[π]到[π']的一個射影對應(yīng),記作[π]∧=[π']

定理2.1

Poncelet定義?Steiner定義.

定理2.2

兩個一維基本形間的射影對應(yīng)可由已知相異的三雙對應(yīng)元素唯一確定.

三、射影對應(yīng)成為透視對應(yīng)的條件

定理3.1

兩個同類的一維基本形之間的射影對應(yīng)成為透視對應(yīng)?公共元素自對應(yīng).

定理3.2(Pappus定理)

在共面的相異二直線li上各取相異三點Ai,Bi,Ci(i=1,2).設(shè)

B1C2×B2C1=L

C1A2×C2A1=M，則 L，M，N 三點共線.

A1B2×A2B1=N

四、射影對應(yīng)的代數(shù)定義

定義4.1

設(shè)在兩個點列上各取定齊次坐標系.稱由非奇異線性對應(yīng)

決定的兩點列間的對應(yīng)為射影對應(yīng).其中(x1,x2)與(x1',x2')為任一對對應(yīng)點的齊次坐標,ρ為非零比例常數(shù).

定理4.1

代數(shù)定義?Steiner定義.

五、一維射影變換

1.定義5.1

兩個重疊的一維基本形之間的射影對應(yīng)稱為一維射影變換.

2.代數(shù)表示

(1)坐標表示

設(shè)φ稱為一維基本形[π]上的一個射影變換，(x1,x2)與(x1',x2')為任一對對應(yīng)點的齊次坐標.則

其中對應(yīng)點的坐標是關(guān)于一維基本形[π]上的同一坐標系取得的.

(2)參數(shù)表示

定義 形如 axx′+bx+cx′+d=0 (ad-bc≠0)的方程稱為關(guān)于x,x'的雙線性方程.

定理5.1

一維基本形上的一個變換為射影變換?其對應(yīng)元素的參數(shù)λ,λ'滿足一個雙線性方程

3.一維射影變換的分類

設(shè)有射影變換

若存在 λ0∈,使 aλ20+(b+c)λ0+d=0,則稱 A+λ0B 為 φ 的一個不變元素.

定理5.2

在實復(fù)射影平面上,任一個一維射影變換至少有一個不變元素.非恒同的一維射影變換至多有兩個相異的不變元素.證明.在(2.13)中,令λ=λ'.則有一維射影變換的不變元方程

立刻可得結(jié)論.據(jù)此可得一維射影變換的分類：

(1)雙曲型、橢圓型射影變換

定理5.3

對于雙曲、橢圓型射影變換,任一對相異的對應(yīng)元素與兩個不變元素的交比為常數(shù).稱此為射影變換的特征不變量.

證明.設(shè)X,Y為兩個不變元,P≠P'為任一對相異的對應(yīng)元.設(shè)X,Y,P,P'的坐標依次為x,y,x+y,x+μy.則這四點的參數(shù)依次為0,∞,1,μ.于是

(2)拋物型射影變換

定理5.4

拋物型射影變換的不變元參數(shù)α與任一對相異的對應(yīng)元素的參數(shù)λ,λ'滿足

[1]方德植,陳奕培.射影幾何[M].北京：高等教育出版社，1983

[2]周興和.高等幾何[M].北京：科學出版社，2003