王鄂川 樊洪海 李巖澤 羅立新 沈維格 王義頃

（1.中國石油大學(xué)，北京 102249；2.川慶鉆探工程有限公司工程技術(shù)研究院，陜西西安 710018）

0 引言

鉆井循環(huán)系統(tǒng)循環(huán)壓耗的計(jì)算是鉆井水力學(xué)的核心內(nèi)容，其值計(jì)算的準(zhǔn)確程度關(guān)系到鉆井水力參數(shù)設(shè)計(jì)的合理性。一般而言，鉆井循環(huán)系統(tǒng)壓耗包括地面管匯壓耗、鉆柱內(nèi)壓耗、鉆頭壓耗、井下動(dòng)力鉆具壓耗、環(huán)空壓耗等部分。井下動(dòng)力鉆具壓耗根據(jù)動(dòng)力鉆具的類型可分為螺桿鉆具壓耗、渦輪鉆具壓耗和電動(dòng)鉆具壓耗。螺桿鉆具［1-2］又稱為定排量馬達(dá)（Positive Displacement Motor，簡稱PDM）。隨著鉆井技術(shù)的發(fā)展，在深井、超深井和大位移鉆井中采用螺桿鉆具同時(shí)配合使用PDC 鉆頭的復(fù)合鉆井技術(shù)是提高機(jī)械鉆速的較好的方法［3］。螺桿鉆具壓耗計(jì)算對(duì)有效提高鉆井液循環(huán)系統(tǒng)壓耗計(jì)算精度具有重要工程意義。螺桿鉆具壓耗計(jì)算比較復(fù)雜，國外G. Robello Samuel 教授和國內(nèi)蘇義腦院士等人已經(jīng)做過許多研究，但至今關(guān)于其計(jì)算方法還不夠成熟，沒有形成簡單統(tǒng)一的方法。因此，筆者通過綜合歸納現(xiàn)有螺桿鉆具壓耗計(jì)算方法，并對(duì)各方法進(jìn)行對(duì)比分析，優(yōu)選具有較高計(jì)算精度的螺桿鉆具壓耗計(jì)算方法，為相關(guān)計(jì)算和設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)。

1 螺桿鉆具工作原理

螺桿鉆具是一種容積式馬達(dá)，其作用是將鉆井液的水力能量轉(zhuǎn)換為機(jī)械能供給鉆頭。它主要是通過擠壓被隔絕的工作液，使其不斷地變換限定的空間，這樣液體在轉(zhuǎn)子和定子之間擠壓推動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)。螺桿鉆具由4 部分構(gòu)成，主要是旁通閥總成、馬達(dá)總成、萬向軸總成和轉(zhuǎn)動(dòng)軸總成，如圖1 所示。

圖1 螺桿鉆具結(jié)構(gòu)示意圖

螺桿鉆具在工作或循環(huán)鉆井液時(shí)，從馬達(dá)內(nèi)流出的鉆井液穿過萬向軸殼體內(nèi)壁與萬向軸間的空間，通過傳動(dòng)軸上端的通道進(jìn)入傳動(dòng)軸的內(nèi)部通道，再從鉆頭水眼流出。鉆井液在循環(huán)過程中，螺桿鉆具在高壓循環(huán)流體的作用下，對(duì)外做功。馬達(dá)中的定子和轉(zhuǎn)子具有一定的嚙合關(guān)系，這些嚙合點(diǎn)沿軸線形成螺旋的密封線，進(jìn)而形成一個(gè)個(gè)密封的空腔。當(dāng)具有一定能量的流體進(jìn)入密封的空腔，并從馬達(dá)的一端流動(dòng)到另一端時(shí)，推動(dòng)轉(zhuǎn)子在定子中轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是螺桿鉆具工作的基本原理。

2 螺桿鉆具壓耗計(jì)算方法

螺桿鉆具的壓耗是一個(gè)隨鉆壓和扭矩變化的物理量，對(duì)于其計(jì)算過程，很多學(xué)者和專家進(jìn)行了深入研究和探討［4-5］。筆者將現(xiàn)有螺桿鉆具壓耗計(jì)算方法分為一般法和模型法，同時(shí)對(duì)這兩大類方法進(jìn)行對(duì)比分析，并對(duì)模型法進(jìn)行了完善。

2.1 一般法

一般法是計(jì)算螺桿鉆具壓耗的方法簡單明了，既不需要建立比較復(fù)雜的模型，也不需要求解數(shù)學(xué)模型。主要包括固定值法、插值法、反算法、數(shù)據(jù)回歸法等。

（1）固定值法。在普通鉆井中，當(dāng)鉆井參數(shù)比較穩(wěn)定，地層地質(zhì)情況比較良好，此時(shí)動(dòng)力螺桿鉆具的壓耗一般不大，通常可選取某一常數(shù)值作為螺桿鉆具的壓耗，使鉆井計(jì)算簡單便捷。具體取值的大小，需根據(jù)實(shí)鉆地層和鉆井參數(shù)等有關(guān)經(jīng)驗(yàn)確定。

（2）插值法。插值法指通過查閱井下螺桿鉆具的使用工作參數(shù)表確定合適的排量和壓耗，包括排量、壓降、轉(zhuǎn)速、鉆壓、扭矩、功率等，再通過實(shí)際排量來進(jìn)行插值可近似得到螺桿鉆具的壓耗。具體計(jì)算公式為

式中，Δpm為井下動(dòng)力螺桿鉆具的壓耗，MPa；Qa為實(shí)際排量，L/s；Q1，Q2為插值時(shí)的排量，L/s；Δp1，Δp2為插值時(shí)的壓耗，MPa。

（3）反算法。反算法［6］是利用已知鉆井循環(huán)壓耗來反算井下動(dòng)力螺桿鉆具的壓耗系數(shù)fm。在穩(wěn)定鉆井且環(huán)空和井眼清潔的前提下，根據(jù)鉆井循環(huán)過程中，組成循環(huán)系統(tǒng)壓耗Δps的幾個(gè)部分，具體包括地面管匯壓耗Δpg，鉆柱內(nèi)壓耗Δpp，鉆頭壓耗Δpb，井下動(dòng)力螺桿鉆具壓耗Δpm，環(huán)空壓耗Δpa，利用下式計(jì)算得出井下動(dòng)力螺桿鉆具的壓耗系數(shù)fm，并利用其結(jié)果計(jì)算后續(xù)螺桿鉆具的壓耗。

式中，Qa為排量，L/s；fm為井下動(dòng)力螺桿鉆具壓耗系數(shù)，無因次。

當(dāng)鉆井參數(shù)變化不大時(shí)，可通過上述式子計(jì)算得動(dòng)力螺桿鉆具壓耗系數(shù)，進(jìn)而求解動(dòng)力螺桿鉆具壓耗，計(jì)算誤差可以滿足工程需要。

（4）回歸法?；貧w法是充分利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)將動(dòng)力螺桿鉆具在當(dāng)前鉆井液性能條件下和某一工況下壓耗與排量的關(guān)系式回歸確定為

通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)回歸出a，b 系數(shù)值，進(jìn)而可以確定動(dòng)力螺桿鉆具壓耗與排量之間的關(guān)系式，據(jù)此可以根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)排量計(jì)算螺桿鉆具壓耗大小。

2.2 模型法

模型法是指計(jì)算動(dòng)力螺桿鉆具壓耗時(shí)，根據(jù)螺桿鉆具的幾何結(jié)構(gòu)建立一定的數(shù)學(xué)模型，對(duì)建立的模型，列出滿足模型的方程式，再求解方程。一般而言，通過建立模型法求解動(dòng)力螺桿鉆具壓耗大小主要分為以下幾個(gè)步驟：（1）模型的建立；（2）模型的求解與計(jì)算；（3）實(shí)例驗(yàn)證模型理論；（4）計(jì)算結(jié)果分析與比較；（5）結(jié)論與建議。

文中對(duì)現(xiàn)階段計(jì)算動(dòng)力螺桿鉆具壓耗的2 種主要模型方法：圓筒模型和復(fù)雜模型，進(jìn)行了闡述和完善。

2.2.1 圓筒模型 考慮每一種動(dòng)力螺桿鉆具的結(jié)構(gòu)和外形存在差異性，其中定子和轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)又比較復(fù)雜，且二者頭數(shù)比也不一樣，因此準(zhǔn)確計(jì)算得出實(shí)際螺桿鉆具的壓耗十分困難。采用簡化模型，把實(shí)際動(dòng)力螺桿鉆具的馬達(dá)簡化成一個(gè)環(huán)形的圓筒形狀，如圖2 所示。針對(duì)簡單的圓筒模型，在鉆井條件穩(wěn)定、井眼清潔時(shí)，將相關(guān)參數(shù)代入計(jì)算得到的螺桿鉆具壓耗結(jié)果與實(shí)際壓耗相近，滿足一定的工程條件。

圖2 動(dòng)力螺桿鉆具馬達(dá)等效圓筒示意圖

在圓筒模型中，螺桿鉆具中定子的直徑ds是圓筒的外徑，轉(zhuǎn)子的直徑dr是圓筒的內(nèi)徑，結(jié)合螺桿鉆具操作手冊(cè)計(jì)算環(huán)空的當(dāng)量直徑進(jìn)而計(jì)算其壓耗。具體計(jì)算過程如下。

（1）環(huán)空流速v 計(jì)算。

式中，Q 為環(huán)空流體理論流量，L/s；ds，dr分別為定子直徑和轉(zhuǎn)子直徑，mm。

由式（5）可知，在螺桿鉆具馬達(dá)的定子中，環(huán)空內(nèi)流體的返速與流量成正比，與環(huán)空間隙的橫截面積成反比。

（2）鉆井液流變性分析。主要是確定鉆井液流體的流變參數(shù)［7］。選取合適的鉆井液流變模式對(duì)準(zhǔn)確計(jì)算螺桿鉆具壓耗十分重要。常見的鉆井液流變模式主要有賓漢模式、冪律模式、赫—巴模式、卡森模式、羅伯遜—斯蒂夫模式、Sisko 模式和比較新穎的四參數(shù)模式。因此，首先要對(duì)鉆井液流變模式進(jìn)行優(yōu)選，優(yōu)選流變模式時(shí)一般采用曲線對(duì)比法、剪切應(yīng)力誤差對(duì)比法、相關(guān)系數(shù)法等。

當(dāng)優(yōu)選出比較適合的流變模式后，再確定鉆井液的流變參數(shù)。對(duì)于賓漢、冪律、卡森等較為簡單的流變模式，可以直接用流變參數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算，稱之為常規(guī)計(jì)算方法。也可以采用回歸分析法計(jì)算鉆井液的流變參數(shù)，這種方法適用于所有的流變模式。本文選取羅伯遜—斯蒂夫流變模式為例說明鉆井液流變參數(shù)計(jì)算過程。

黃逸仁［8］等對(duì)羅伯遜—斯蒂夫流變模式流變參數(shù)進(jìn)行了相關(guān)研究，在其基礎(chǔ)上，進(jìn)行優(yōu)化和完善。首先假設(shè)有τmax、γmax、Nmax，τmin、γmin、Nmin，τx、γx、Nx3組數(shù)據(jù)，可得

式中，Ri，Ro分別表示旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)儀器的內(nèi)筒外徑和外筒內(nèi)徑，mm。

將τmax、γmax，τmin、γmin，τx、γx代入整理得羅伯遜—斯蒂夫流變模式中的相關(guān)參數(shù)

故由式（9）、式（10）和式（11），可求得羅伯遜—斯蒂夫流變模式中的流變參數(shù)。

（3）鉆井液流體環(huán)空流動(dòng)壓耗計(jì)算。當(dāng)鉆井液在螺桿鉆具轉(zhuǎn)子和定子的環(huán)空流動(dòng)時(shí)，其流態(tài)是變化的，不是恒定不變的，可能存在層流、過渡流和紊流等幾種流態(tài)［9］。

羅伯遜—斯蒂夫流體在環(huán)空層流狀態(tài)下的壓耗 計(jì)算表達(dá)式為

式中， fars為羅伯遜—斯蒂夫流體環(huán)空摩阻因數(shù)，其表達(dá)式為

羅伯遜—斯蒂夫流體在環(huán)空紊流段的壓耗ΔpT計(jì)算表達(dá)式為

式（14）中， fa為范寧阻力系數(shù)，對(duì)于環(huán)空紊流的范寧阻力系數(shù)的計(jì)算一般是通過等效管徑轉(zhuǎn)化為圓管紊流計(jì)算，先計(jì)算出等效管徑，接著計(jì)算等效的雷諾數(shù)，再按圓管紊流的范寧阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式計(jì)算范寧阻力系數(shù)，最后計(jì)算羅伯遜—斯蒂夫流體環(huán)空紊流壓耗。過渡流狀態(tài)的壓耗Δptr計(jì)算，可采用在層流臨界雷諾數(shù)與紊流雷諾數(shù)之間用線性插值方法求解出過渡區(qū)范寧阻力系數(shù)，再代入式（14）計(jì)算過渡流狀態(tài)下的壓耗結(jié)果。

（4）計(jì)算動(dòng)力螺桿鉆具壓耗。由前述的層流狀態(tài)壓耗ΔpL、紊流狀態(tài)壓耗ΔpT、過渡流狀態(tài)壓耗Δptr可得動(dòng)力螺桿鉆具壓耗Δp 計(jì)算公式為

2.2.2 復(fù)雜模型 考慮了多葉片式馬達(dá)的動(dòng)力螺桿鉆具，通過重點(diǎn)研究螺桿鉆具馬達(dá)的結(jié)構(gòu)，詳細(xì)給出螺桿鉆具壓耗計(jì)算表達(dá)式［10-13］。螺桿鉆具馬達(dá)橫截面示意圖如圖3 所示。

圖3 螺桿鉆具馬達(dá)橫截面示意圖

（1）螺桿鉆具橫截面分析。如圖（3）可知

式中，e 為定子直徑和轉(zhuǎn)子直徑之間的偏心距大小，mm；i 為馬達(dá)繞線比例，無因次；n 為馬達(dá)轉(zhuǎn)子為n頭擺線線型，則定子為n+1 頭擺線線型。

則螺桿鉆具兩葉馬達(dá)的橫截面積為

同時(shí)，轉(zhuǎn)子和定子之間通過齒數(shù)耦合產(chǎn)生的空腔的直徑Dc可表示為

綜合式（19）和式（20）可得

聯(lián)合式（16）～（18）可得

螺桿鉆具馬達(dá)橫截面積得出后，則可知?jiǎng)恿β輻U鉆具的轉(zhuǎn)子和定子之間形成空隙的體積V 的表達(dá)式

式中，α 為螺旋角，其為切線與螺旋線之間的夾角。

（2）螺桿鉆具流量Q 計(jì)算。由式（22）和式（23）可得流量Q 的表達(dá)式為

式中，N 為旋轉(zhuǎn)角速度。

（3）扭矩計(jì)算分析。螺桿動(dòng)力鉆具的實(shí)質(zhì)是將鉆井水力學(xué)能量轉(zhuǎn)換為螺桿鉆具機(jī)械能量，機(jī)械功率MHP 計(jì)算表達(dá)式可按下式計(jì)算。

由式（24）可得用流量表示的水力功率HHP 計(jì)算式為

則螺桿鉆具能量利用效率η 為

因此，由上式可得螺桿鉆具扭矩T 的表達(dá)式

（4）螺桿鉆具壓耗計(jì)算。當(dāng)?shù)貙痈飨虍愋孕∏揖矍鍧崰顩r良好時(shí)［14］，螺桿鉆具所需機(jī)械功率可用鉆壓W 表示為

式中，HHPm為螺桿鉆具功率；kb為考慮地層硬度的系數(shù)；db為鉆頭直徑；x，y 為常數(shù)指數(shù)。

聯(lián)合式（25）和式（29）可得

將式（28）和式（30）聯(lián)合可得

式中，ki為馬達(dá)線圈繞組系數(shù)。

用式（31）即可計(jì)算具有一定參數(shù)結(jié)構(gòu)的螺桿動(dòng)力鉆具壓耗。

3 計(jì)算方法的對(duì)比與分析

綜上所述，一般方法中的固定值法，根據(jù)實(shí)鉆經(jīng)驗(yàn)選取某一固定值作為動(dòng)力螺桿鉆具的壓耗值；插值法使用螺桿鉆具設(shè)計(jì)的工作參數(shù)，結(jié)合實(shí)際工作參數(shù)近似得到螺桿鉆具的壓耗；反算法，關(guān)鍵在求解螺桿鉆具壓耗系數(shù)fm；回歸法利用大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來進(jìn)行數(shù)據(jù)的回歸和擬合，得到螺桿鉆具壓耗與排量的關(guān)系式。模型法，考慮了螺桿鉆具的結(jié)構(gòu)形式，定子和轉(zhuǎn)子之間繞線比例等客觀條件。其中圓筒模型法將螺桿鉆具結(jié)構(gòu)簡化為環(huán)形的圓筒形狀，在求解螺桿鉆具壓耗時(shí)采取類似于鉆井液在環(huán)空流動(dòng)所產(chǎn)生的壓耗計(jì)算方法，分別計(jì)算鉆井液在環(huán)空中流動(dòng)時(shí)層流、過渡流、紊流狀態(tài)下的壓耗，得出螺桿鉆具壓耗；復(fù)雜模型，詳細(xì)分析了螺桿鉆具馬達(dá)中定子和轉(zhuǎn)子之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，從機(jī)械功率與水力功率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)出螺桿鉆具壓耗計(jì)算方法。該方法具有較高的計(jì)算精度，已在鉆井現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際運(yùn)用，效果良好。因此，當(dāng)螺桿鉆具壓耗計(jì)算精確度要求較高時(shí)，可選用復(fù)雜模型方法計(jì)算。各方法的分析比較如表1 所示。

表1 各方法分析比較結(jié)果

4 結(jié)論

文中歸納總結(jié)了現(xiàn)階段計(jì)算螺桿鉆具壓耗的幾種方法與模型，詳細(xì)地闡述了螺桿鉆具工作原理及其壓耗計(jì)算過程，并對(duì)各方法進(jìn)行了分析和比較。同時(shí)在環(huán)空?qǐng)A筒模型的基礎(chǔ)上，選用羅伯遜—斯蒂夫流變模式，通過流變參數(shù)計(jì)算、不同流態(tài)（層流、過渡流和紊流）壓耗計(jì)算，對(duì)螺桿鉆具壓耗求解進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)和計(jì)算。對(duì)于復(fù)雜模型，比較全面地分析了螺桿鉆具馬達(dá)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步推導(dǎo)和完善了螺桿鉆具壓耗計(jì)算公式。當(dāng)然，隨著鉆井面臨的條件越來越苛刻和復(fù)雜結(jié)構(gòu)井的推廣運(yùn)用，對(duì)螺桿鉆具的壓耗及其他性能參數(shù)的研究任重道遠(yuǎn)［15］。

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