劉 沁，彭 怡

(南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，江蘇 南京211100)

動(dòng)態(tài)定價(jià)是收益優(yōu)化的重要手段之一，最初應(yīng)用在民航客運(yùn)業(yè)的收益管理。用定價(jià)進(jìn)行收益優(yōu)化的核心是以需求為導(dǎo)向，在一系列約束條件下，找到實(shí)現(xiàn)總期望利潤(rùn)最大化的價(jià)格集合［1］。實(shí)踐證明，動(dòng)態(tài)定價(jià)能夠顯著提高航空運(yùn)輸企業(yè)的收益［2］。相比于客運(yùn)來(lái)講，航空貨運(yùn)的動(dòng)態(tài)定價(jià)是個(gè)尚未受到足夠關(guān)注的領(lǐng)域。目前我國(guó)航空貨運(yùn)定價(jià)通常采用單一的定價(jià)策略，呆板且不符合市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)規(guī)律。隨著各大航空公司對(duì)貨運(yùn)重視程度的提高，航空貨運(yùn)動(dòng)態(tài)定價(jià)作為提升盈利能力的有效工具，需要加以研究［3］。

PAK 和DEKKER［4］利用多維背包思想構(gòu)建了多航段時(shí)間離散型的航空貨運(yùn)定價(jià)模型。HAN等［5］運(yùn)用馬爾可夫模型，推導(dǎo)了單航段的貨運(yùn)bid－price 控制策略。XIAO 和YANG［6］研究了適用于貨運(yùn)收益管理的兩維容量屬性下易逝品的收益管理問(wèn)題。趙桂紅［7］，張輝［8］，桂云苗等［9］探討了航空貨運(yùn)的定價(jià)體系。鞠學(xué)見(jiàn)和羅利［10］分析了競(jìng)爭(zhēng)與合謀情況下的航空貨運(yùn)服務(wù)定價(jià)策略。雷麗彩和周晶［11］在考慮風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避貨運(yùn)代理商的情況下分析了航空公司的最優(yōu)定價(jià)。王曉立和馬士華［12］研究了航空貨運(yùn)市場(chǎng)運(yùn)力分配和定價(jià)的協(xié)調(diào)問(wèn)題。周寅艷［13］建立了競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)環(huán)境下貨物多級(jí)運(yùn)價(jià)動(dòng)態(tài)模型。上述研究沒(méi)有考慮需求規(guī)律的不確定性對(duì)定價(jià)的影響。由于航空貨運(yùn)行業(yè)的特殊性，貨運(yùn)市場(chǎng)需求彈性大，波動(dòng)性強(qiáng)，需求函數(shù)參數(shù)的估計(jì)不完全準(zhǔn)確，這增加了定價(jià)決策的風(fēng)險(xiǎn)。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，引入相對(duì)熵理論構(gòu)建航空貨運(yùn)動(dòng)態(tài)定價(jià)魯棒優(yōu)化模型，旨在增加航空公司收益的同時(shí)降低公司定價(jià)決策的風(fēng)險(xiǎn)，為航空貨運(yùn)銷(xiāo)售人員提供理論參考。

1 問(wèn)題描述、符號(hào)說(shuō)明及假設(shè)條件

1.1 問(wèn)題描述

(1)航空貨運(yùn)的基本規(guī)定。不管貨物使用直飛航班還是轉(zhuǎn)機(jī)航班，收取貨主的運(yùn)費(fèi)相同［14］。

(2)雖然國(guó)際航協(xié)規(guī)定了會(huì)員航空公司之間的貨運(yùn)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，但現(xiàn)在大部分航空公司基本上是銷(xiāo)售人員憑自己的判斷和經(jīng)驗(yàn)與貨主議價(jià)，這是筆者定價(jià)策略的可行性依據(jù)。

(3)航空公司通常在已有的客運(yùn)航線網(wǎng)絡(luò)上運(yùn)用飛機(jī)腹艙裝載貨物，航班特定的容量決定其短期運(yùn)價(jià)水平。不同城市對(duì)市場(chǎng)的需求函數(shù)彈性不同。

(4)每年初航空公司以“定價(jià)包量”的方式與代理人簽訂協(xié)議，因此在短期銷(xiāo)售中這部分收益固定。筆者以實(shí)際銷(xiāo)售過(guò)程中航空公司去除協(xié)議艙位后的自由銷(xiāo)售行為為主體進(jìn)行研究。

1.2 符號(hào)說(shuō)明

1.3 假設(shè)條件

(2)各類(lèi)貨物流之間需求相互獨(dú)立，但每類(lèi)貨物流各周期的隨機(jī)項(xiàng)可能相關(guān)。

(3)公司收益以貨物質(zhì)量為計(jì)費(fèi)單位。

(4)每類(lèi)貨物的單位費(fèi)率由行業(yè)規(guī)定的價(jià)格限制，第g 類(lèi)貨物費(fèi)率的上限和下限分別為pu(g)，pd(g)。

(5)在作出價(jià)格決策時(shí)，自然與決策者構(gòu)成二人零和非合作博弈，即自然總是選擇使收益最小的分布。

2 模型

2.1 動(dòng)態(tài)定價(jià)名義模型

在不考慮需求函數(shù)隨機(jī)項(xiàng)的參考分布與實(shí)際分布存在偏差的情況下，航空公司的收益模型［15］如下:

目標(biāo)函數(shù)表示貨物的最大期望收益;式(2)表示貨物價(jià)格在行業(yè)限制范圍內(nèi);式(3)和式(4)表示航節(jié)j 的質(zhì)量約束;式(5)和式(6)表示航節(jié)j 的體積約束;式(7)表示銷(xiāo)售量非負(fù)，小于需求量。

2.2 相對(duì)熵約束

2.3 動(dòng)態(tài)定價(jià)魯棒優(yōu)化模型

假設(shè)實(shí)際的概率密度π∈{π|RKL(π‖π0)≤γ}總在集合內(nèi)選擇使公司的期望收益最小的分布，運(yùn)用最大最小定理［17］，建立魯棒優(yōu)化模型如下:

將相對(duì)熵約束用拉格朗日乘子αi相乘后加到目標(biāo)函數(shù)中，將模型化為懲罰函數(shù)形式:

3 求解方法

3.1 內(nèi)部求極值

3.2 近似處理

3.3 人工蜂群算法

人工蜂群算法ABC(artificial bee colony algorithm)由KARABOGA 在2005 年提出，是一種模仿蜂群自組織的群體智能隨機(jī)搜索算法。該算法簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，經(jīng)過(guò)改進(jìn)，可以較好地解決高維的非線性優(yōu)化問(wèn)題［18］。

人工蜂群算法的計(jì)算步驟如下:

(2)蜂群初始化。運(yùn)用正交設(shè)計(jì)法［19］初始化搜索域，在范圍內(nèi)計(jì)算每個(gè)食物源的適應(yīng)度并進(jìn)行選擇。

(3)根據(jù)適應(yīng)度劃分蜂群為被雇用蜂和旁觀蜂兩類(lèi)，記錄目前的最佳適應(yīng)度和解集。

(4)旁觀蜂群根據(jù)被雇用蜂的適應(yīng)度選擇性地跟隨，尋找更好的解。

(5)在規(guī)定的跟隨迭代次數(shù)內(nèi)旁觀蜂若找到更好的解，更新最佳適應(yīng)度和解集，旁觀蜂轉(zhuǎn)換為被雇用蜂，轉(zhuǎn)到步驟(3);若沒(méi)有更新或迭代次數(shù)已滿，蜜蜂轉(zhuǎn)換為探索蜂，轉(zhuǎn)到步驟(2)。

(6)重復(fù)步驟(3)～步驟(5)直到滿足終止條件。

4 算例分析

假設(shè)有3 類(lèi)貨物，對(duì)應(yīng)的單位質(zhì)量體積以及單位費(fèi)率上下限制如表1 所示。

表1 貨物單位質(zhì)量體積和價(jià)格限制

航空公司有兩條航線:一條南京—鄭州—重慶的中轉(zhuǎn)航線，一條南京—重慶的直達(dá)航線，航節(jié)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量和體積限制如表2 所示。貨物運(yùn)輸成本如表3 所示。

表2 航節(jié)質(zhì)量和體積限制

表3 貨物運(yùn)輸成本 元/kg

以需求函數(shù)確定形式為線性減函數(shù)為例，有di，t=ai，t－bi，tpi，t，公司經(jīng)調(diào)查得到的ai，t，bi，t估計(jì)值如表4 所示。

表4 需求反應(yīng)函數(shù)系數(shù)

為方便討論，令隨機(jī)變量δi，t的參考分布均相同，為δi，t～U(0.8，1.2)，令α1=α2=… =αI=α分別為5，50，100，討論如下悲觀情況:

(1)隨機(jī)需求函數(shù)形式為di，t=ai，tδi，t－bi，t·pi，t，實(shí)際的總需求量比估計(jì)的總需求量少。δi，t～U(0.6，1.0)和δi，t～U(0.1，1.1)下的收益比較如表5 所示;

(2)隨機(jī)需求函數(shù)形式為di，t=ai，t－bi，tδi，t·pi，t，消費(fèi)者對(duì)價(jià)格的敏感程度實(shí)際值比估計(jì)值更高。δi，t～U(1.0，1.4)和δi，t～U(0.9，1.9)下的收益比較如表6 所示。

表5 需求函數(shù)形式為di，t =ai，tδi，t－bi，tpi，t價(jià)格決策收益比較

表6 需求函數(shù)形式為di，t =ai，t－bi，tδi，tpi，t價(jià)格決策收益比較

從表5 和表6 可知，在需求函數(shù)參數(shù)的實(shí)際分布較估計(jì)水平更不利的情況下，魯棒優(yōu)化后的價(jià)格決策更優(yōu)。隨著αi的降低，貨運(yùn)收益期望上升，同時(shí)波動(dòng)范圍逐漸縮小，最優(yōu)收益水平和最差收益水平的取值均向右移動(dòng)。

5 結(jié)論

筆者從航空公司角度，在考慮貨物質(zhì)量和體積二維約束的情況下，基于相對(duì)熵建立了航空貨運(yùn)動(dòng)態(tài)定價(jià)的魯棒優(yōu)化模型。在實(shí)際需求較估計(jì)水平更不利的情況下，該模型能在增大收益的同時(shí)降低決策的風(fēng)險(xiǎn)。但是這種隨機(jī)魯棒優(yōu)化方式對(duì)貨運(yùn)需求的參考分布存在一定依賴性。當(dāng)實(shí)際需求情況嚴(yán)重偏離參考情況時(shí)，價(jià)格策略不能單單靠改變信心系數(shù)來(lái)制定，而應(yīng)該實(shí)時(shí)更新參考分布。如何根據(jù)實(shí)際情況更新參考分布，以及怎樣根據(jù)不同的情況選取合理的αi值，是需要深入研究的問(wèn)題。

［1］ 羅伯特·菲利普斯.定價(jià)與收益優(yōu)化［M］.陳旭，慕銀平，譯.北京:中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2008:32－98.

［2］ 熊中楷.動(dòng)態(tài)定價(jià)新視角［M］.北京:科學(xué)出版社，2010:65－142.

［3］ PETERSEN J. Air freight industry－white paper［J］.Management，2007(1):1－46.

［4］ PAK K，DEKKER R. Cargo revenue management:bid－ prices for a 0－1 multi knapsack problem［R］.［S.l.］:ERIM Report ERS－2004－055－LIS，2004.

［5］ HAN D L，TANG L C，HUANG H C.A Markov model for single－leg air cargo revenue management under a bid－price policy［J］.European Journal of Operational Research，2010(3):800－811.

［6］ XIAO B C，YANG W.A revenue management model for products with two capacity dimensions［J］. European Journal of Operational Research，2010(2):412－421.

［7］ 趙桂紅.航空貨運(yùn)定價(jià)策略探討［J］.中國(guó)民航學(xué)院學(xué)報(bào)，2003(5):7－12.

［8］ 張輝.民航貨物運(yùn)輸定價(jià)策略淺談［J］. 空運(yùn)商務(wù)，2006(24):15－16.

［9］ 桂云苗，朱金福. 航空貨運(yùn)時(shí)間相關(guān)定價(jià)模型研究［J］.商業(yè)時(shí)代，2007(9):66－67.

［10］鞠學(xué)見(jiàn)，羅利. 航空貨運(yùn)公司定價(jià)策略博弈分析［J］.技術(shù)與市場(chǎng)，2009(1):32－34.

［11］雷麗彩，周晶. 風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避下的航空貨運(yùn)期權(quán)定價(jià)Stackelberg 博弈模型［J］. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010(2):264－271.

［12］王曉立，馬士華.航空貨運(yùn)市場(chǎng)運(yùn)力分配及定價(jià)的協(xié)調(diào)問(wèn)題研究［J］.工業(yè)工程與管理，2010(1):65－68.

［13］周寅艷. 航空公司貨運(yùn)動(dòng)態(tài)定價(jià)與容量控制研究［D］.南京:南京航空航天大學(xué)圖書(shū)館，2012.

［14］楊思梁.航空公司的經(jīng)營(yíng)與管理［M］.北京:中國(guó)民航出版社，2008:15－90.

［15］李根道.模型不確定下的收益管理動(dòng)態(tài)定價(jià)策略研究［D］.重慶:重慶大學(xué)圖書(shū)館，2009.

［16］ LIMA E B，SHANTHIKUMAR J G. Relative entropy，exponential utility，and robust dynamic dricing［J］.Operations Research，2007，55(2):198－214.

［17］HANSEN L P.Robustness［M］.［S.l.］:Princeton University Press，2007:51－120.

［18］拓守恒.一種求解高維約束優(yōu)化問(wèn)題的人工蜂群算法［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012(3):937－940.

［19］LEUNG Y W，WANG Y P.An orthogonal genetic algorithm with quantization for global numerical optimization［J］. IEEE Transactions on Evolutionary Compuation，2001，5(1):41－53.