許春雷，鄭清春，楊常青，胡亞輝

(天津理工大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384)

0 引言

床身是數(shù)控機(jī)床的重要支撐部件，提高其結(jié)構(gòu)特性對(duì)整機(jī)的加工精度、抗振性有重要意義。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)主要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)法和類比法進(jìn)行，造成結(jié)構(gòu)較為笨重。許多學(xué)者運(yùn)用有限元方法進(jìn)行了深入的研究［1-3］。本文基于多目標(biāo)優(yōu)化方法，利用ABAQUS 仿真研究如何在保證床身剛度和固有頻率的前提下對(duì)床身進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，對(duì)提高機(jī)床制造的經(jīng)濟(jì)性有重要意義。

1 磨床床身的有限元分析

本文研究對(duì)象取自于天津某機(jī)床廠1.25 立式精密磨床，該型數(shù)控精密立式磨床由床身、立柱、工作臺(tái)和滑板等組成，如圖1 所示。在保證剛度的前提下對(duì)其進(jìn)行輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)，就要對(duì)這些部件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度及抗振性分析。本文對(duì)床身進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)分析并提出改進(jìn)方案。用ABAQUS 有限元分析軟件對(duì)床身進(jìn)行有限元分析，首先在Solidworks 三維制圖軟件中建模，然后將模型導(dǎo)入ABAQUS 軟件中進(jìn)行分析并讀取靜態(tài)分析和模態(tài)分析的結(jié)果。

1.1 床身力學(xué)性能分析

床身所用材料為灰鑄鐵HT300，彈性模量E =143GPa;泊松比μ=0.27;密度ρ =7.25 g/cm3;強(qiáng)度極限σb≥300MPa。

床身受力如圖1 所示。經(jīng)Solidworks 質(zhì)量計(jì)算可以計(jì)算得出立柱及其以上部件總重力:

圖1 機(jī)床結(jié)構(gòu)及受力簡(jiǎn)圖

由切削力的切向力公式:

上式中Pe為電機(jī)功率16kW，ηe為電機(jī)的傳動(dòng)效率0.9，nb為砂輪的轉(zhuǎn)速40.6r/s，db為砂輪的直徑300mm，計(jì)算出切向力Ft=375.6N。由于法向的切削力Fn是切向力的2.4 倍，所以Fn=901.4N。最后得出立柱對(duì)床身結(jié)合面處產(chǎn)生壓力P =0.113MPa，扭矩為M=9.7838N·mm。同理分析得出床身導(dǎo)軌處壓力P=0.696MPa。

1.2 床身有限元模型建立

磨床床身屬于結(jié)構(gòu)鑄件，有許多鑄造圓角、工藝孔、拔模角、螺紋孔和裝配定位結(jié)構(gòu)。這些結(jié)構(gòu)對(duì)床身的力學(xué)性能影響很小但在有限元分析中會(huì)占用很大的資源，所以在建立有限元模型時(shí)有必要對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化的原則是確保結(jié)構(gòu)力學(xué)性能受到的影響最小。

圖2 床身有限元模型

圖2 所示床身底部與地基接觸面添加位移全約束實(shí)現(xiàn)對(duì)床身的固定。在導(dǎo)軌平面劃分出滑塊的接觸面，施加載荷壓力0.696MPa。床身與立柱結(jié)合面處施加壓力0.113MPa，并使用耦合功能施加扭矩9783800 N·mm。

對(duì)床身進(jìn)行靜態(tài)分析和模態(tài)分析得到其靜態(tài)力學(xué)性能和固有頻率，要定義一個(gè)通用靜力分析步以輸出最大應(yīng)力和最大變形，還要定義一個(gè)靜態(tài)線性擾動(dòng)分析步輸出床身前10 階固有頻率。

1.3 查看有限元分析結(jié)果

將有限元模型提交求解器選用standard 模塊。計(jì)算結(jié)束后在后處理模塊查看輸出的結(jié)果。

(1)靜態(tài)分析結(jié)果

在后處理模塊中選擇輸出通用靜力分析步的結(jié)果，可以看到床身最大變形發(fā)生在床身與立柱接觸面的邊緣。最大變形量為1.724μm，最大應(yīng)力為1.191MPa。結(jié)果如圖3 所示。

圖3 床身位移云圖

(2)模態(tài)分析結(jié)果

在后處理模塊中選擇輸出靜態(tài)線性擾動(dòng)分析步結(jié)果。

表1 床身各階固有頻率

從表1 結(jié)果可以看出床身的各階固有頻率都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激振頻率，所以在優(yōu)化床身的過(guò)程中只把床身的固有頻率作為驗(yàn)證條件。

2 床身結(jié)構(gòu)優(yōu)化

床身可以從幾何形狀、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)尺寸來(lái)調(diào)整。由于改變床身結(jié)構(gòu)的幾何形狀會(huì)造成生產(chǎn)工藝上的巨大改變，成本太高所以這里不作調(diào)整。從有限元分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)床身外壁的變形比較小而床身外壁厚度較大且壁厚也不同，給加工和快速設(shè)計(jì)帶來(lái)不便，從快速設(shè)計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)化出發(fā)把承重壁厚定為60mm。支撐立柱最內(nèi)側(cè)的筋板變形較大，將其厚度從20mm 增加到40mm。其他結(jié)構(gòu)保持不變。在Solidworks 中建出新型床身的簡(jiǎn)化模型并導(dǎo)入ABAQUS 中進(jìn)行分析并查看結(jié)果。

表2 兩型床身對(duì)比表

通過(guò)表2 對(duì)比，床身結(jié)構(gòu)改變后床身最大變形量增大很小而重量減輕很多，所以新型結(jié)構(gòu)是可用的。

3 基于靈敏度分析的參數(shù)優(yōu)選

床身在一定的結(jié)構(gòu)下力學(xué)性能由結(jié)構(gòu)尺寸決定，同時(shí)結(jié)構(gòu)尺寸也決定床身重量。根據(jù)廠家保證床身剛度同時(shí)降低床身重量的要求，需要對(duì)床身的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化。

床身結(jié)構(gòu)尺寸中，床身的框結(jié)構(gòu)尺寸(如床身的長(zhǎng)、寬、高)由磨床的功用或按照人機(jī)工程學(xué)［4］來(lái)決定的。選取床身的壁厚、筋板厚度作為設(shè)計(jì)變量，見(jiàn)表3。

表3 各設(shè)計(jì)變量及其符號(hào)

選取各個(gè)設(shè)計(jì)變量如圖4 所示。

圖4 床身設(shè)計(jì)變量示意圖

運(yùn)用靈敏度分析的方法［5］，確定各個(gè)實(shí)際變量對(duì)床身重量和最大變形量的關(guān)鍵參數(shù)?？s減一些次要設(shè)計(jì)變量，可以明顯提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。從數(shù)學(xué)意義上，靈敏度可解釋為:若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，其一階靈敏度可表示為:

3.1 設(shè)計(jì)變量對(duì)床身重量的靈敏度分析

床身質(zhì)量由其體積決定，設(shè)計(jì)變量對(duì)床身體積的影響越明顯則對(duì)質(zhì)量的影響也越明顯。在Solidworks 中可以方便的測(cè)得床身壁厚和筋板的側(cè)面積，然后求出其體積，結(jié)果如下:

通過(guò)靈敏度分析得到設(shè)計(jì)變量對(duì)床身體積即是對(duì)床身重量的靈敏度值。

表4 各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)床身質(zhì)量靈敏度值

通過(guò)表4 可以看出各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)床身重量的靈敏度X3＞X1＞X2＞X4。

3.2 各設(shè)計(jì)變量對(duì)床身最大變形量的靈敏度分析

本文通過(guò)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，運(yùn)用ABAQUS 軟件獲取仿真數(shù)據(jù)，通過(guò)多元線性回歸得到設(shè)計(jì)變量與床身最大變形量之間的函數(shù)關(guān)系式從而分析各設(shè)計(jì)變量的靈敏度。

(1)基于Excel 和python 的模型建立

安排L25(45)正交試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)需要做25 次，如果建25 個(gè)模型工作會(huì)很繁瑣，Solidworks 中尺寸可以通過(guò)Excel 表格進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，見(jiàn)圖5。

圖5 Excel 驅(qū)動(dòng)Solidworks

在Excel 中建立設(shè)計(jì)變量與驅(qū)動(dòng)尺寸的關(guān)系，然后插入一個(gè)按鈕，按鈕添加宏如下:

將Excel 表格添加到Solidworks 的設(shè)計(jì)活頁(yè)夾中，將設(shè)計(jì)變量值輸入到Excel 中然后點(diǎn)擊更新按鈕就會(huì)生成新的模型。

將生成的模型導(dǎo)入ABAQUS 中進(jìn)行分析，對(duì)于重復(fù)的步驟，如定義材料，定義分析步等可以通過(guò)錄制宏來(lái)得到python 語(yǔ)言代碼執(zhí)行繁瑣的操作。如定義材料部分的python 語(yǔ)言代碼如下:

(2)基于ABAQUS 的仿真結(jié)果及分析

將正交試驗(yàn)得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最大應(yīng)力S(MPa)和最大變形U(μm)整理如表5 所示。

表5 正交試驗(yàn)結(jié)果

(續(xù)表)

對(duì)結(jié)果做線性回歸分析，回歸方程的形式為:

運(yùn)用Matlab 多元線性回歸分析函數(shù)regress 進(jìn)行回歸分析計(jì)算。結(jié)果方程為:

決定系數(shù)R2= 0.99，顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F =546.4，剩余方差P ＜0.0001。從結(jié)果中可以看到F檢驗(yàn)的P 值接近于0，F(xiàn)0.05=2.8661 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于F =546.4;決定系數(shù)R2=0.99 接近于1，說(shuō)明回歸方程是有意義的。

表6 各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)床身最大變形量靈敏度值

通過(guò)表6 看出設(shè)計(jì)變量對(duì)床身最大變形量的靈敏度X1＞X3＞X4＞X2。

綜合考慮各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)床身重量和最大變形量的靈敏度，選取優(yōu)化參數(shù)為X1(床身承重壁厚)和X3(普通筋板厚度)。

4 床身結(jié)構(gòu)參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化

響應(yīng)曲面設(shè)計(jì)方法［6］(RSM)是利用合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到數(shù)據(jù)，采用多元回歸方程來(lái)擬合因素與響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)對(duì)回歸方程的分析來(lái)尋求最優(yōu)工藝參數(shù)，是解決多變量問(wèn)題的一種統(tǒng)計(jì)方法。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集

采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)(CCD)來(lái)安排實(shí)驗(yàn)。按要求選取中心點(diǎn)、軸向點(diǎn)和立方點(diǎn)，取變量值x1(cm)(承重壁厚度)、x2(cm)(普通筋板厚度)安排實(shí)驗(yàn)，讀取最大變形量u(μm)和質(zhì)量m(t)，得到結(jié)果如表7 所示。

表7 中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果表

4.2 擬合響應(yīng)面模型函數(shù)

響應(yīng)面函數(shù)最常用的是二次函數(shù)，形式如:

二次響應(yīng)面模型有較高的精度能滿足工程實(shí)際的需要。運(yùn)用Matlab 對(duì)表7 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行二次回歸分析，得到設(shè)計(jì)變量與床身重量和床身最大變形量的二次響應(yīng)面模型，并進(jìn)行有效性檢驗(yàn)。

床身最大變形量的響應(yīng)面模型

F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F =971.66 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于F0.01 =10.92 所以模型是有效的。

床身重量的響應(yīng)面模型:

F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F =370.15 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于F0.01 =10.92 所以模型是有效的。

4.3 床身多目標(biāo)優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)

將床身重量和最大變形量同時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，數(shù)學(xué)描述如下

采用理想點(diǎn)法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，首先運(yùn)用Matlab 分別求取u(x)和m(x)的最優(yōu)解U =1.7097和M=4.6568 即理想點(diǎn)，然后構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)如下:

再求取評(píng)價(jià)函數(shù)f(x)最優(yōu)解，得到x1=5.72 和x2=2.14。取x1=5.7cm 和x2=2.2cm 建模分析，結(jié)果如表8 所示。

表8 優(yōu)化后的床身有限元分析結(jié)果

從結(jié)果可以看出優(yōu)化后的新型床身最大變形量有所減小，與原型床身對(duì)比床身重量降低了7%，達(dá)到了廠家保持最大變形量不增大而降低床身重量的要求。

5 總結(jié)

本文運(yùn)用ABAQUS 有限元分析軟件，對(duì)1.25 立式磨床的床身進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，通過(guò)靈敏度分析確定靈敏的設(shè)計(jì)變量，采用理想點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)對(duì)床身重量和最大變形量響應(yīng)面模型的多目標(biāo)優(yōu)化，經(jīng)實(shí)際生產(chǎn)證明，符合廠家要求，在保證低成本的情況下，設(shè)計(jì)是有效合理的。說(shuō)明這種方法是可行的，可以很好地指導(dǎo)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化，有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，亦可推廣到其他工程優(yōu)化領(lǐng)域。

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