權(quán)利娜

（陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西西安 710100）

一、課改背景介紹

教學(xué)改革是大學(xué)教育永恒的話題，不僅在中國(guó)而且在國(guó)外都是如此［1］。對(duì)于我國(guó)，從20世紀(jì)制訂的《面向二十一世紀(jì)高等工程教育教學(xué)內(nèi)容課程體系改革計(jì)劃》到現(xiàn)在進(jìn)行的教育質(zhì)量工程，都對(duì)教學(xué)改革提出了明確的要求，我院的高等代數(shù)課程在近些年也進(jìn)行了多次的改革嘗試。

高等代數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的三大基礎(chǔ)課程之一，它不僅廣泛應(yīng)用于概率統(tǒng)計(jì)、微分方程、控制理論等數(shù)學(xué)分支，而且其知識(shí)已經(jīng)滲透到自然科學(xué)的其他學(xué)科，如工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)與社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，不僅如此，這門(mén)課程對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，訓(xùn)練與提高學(xué)生的抽象思維能力與邏輯能力有很重要的作用。但多年來(lái)的教學(xué)也存在一些問(wèn)題，如教學(xué)個(gè)性不明顯、教學(xué)模式陳舊；教學(xué)內(nèi)容的安排受教材的影響較大，可以簡(jiǎn)的和可以放的內(nèi)容簡(jiǎn)不下來(lái)也放不下去；教學(xué)中的應(yīng)用性和實(shí)際計(jì)算不夠，更重要的是教學(xué)過(guò)程偏重理論教學(xué)，強(qiáng)調(diào)基本定義、定理及其證明，對(duì)其方法和應(yīng)用重視不夠。這樣以來(lái)，其弊端之一是學(xué)生看不到學(xué)習(xí)高等代數(shù)的用處，不知如何用所學(xué)的理論知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而產(chǎn)生了厭學(xué)和棄學(xué)的念頭；弊端之二是教學(xué)改革流于形式，沒(méi)有達(dá)到改革預(yù)期的目的，教學(xué)依舊按部就班。這印證了清華大學(xué)副校長(zhǎng)、教育部副部長(zhǎng)周遠(yuǎn)清同志說(shuō)的“沒(méi)有什么時(shí)候比現(xiàn)在對(duì)教學(xué)方法改革的要求更為迫切、更為強(qiáng)烈了，如果大家天天講創(chuàng)新、講創(chuàng)新力培養(yǎng)，而絲毫不去觸動(dòng)在人才培養(yǎng)中扼殺創(chuàng)新能力、創(chuàng)新知識(shí)的教學(xué)方法，那就等于自己騙自己?！保?］

從2011年開(kāi)始，我們?cè)诳偨Y(jié)以往教改利弊的基礎(chǔ)上提出了“倡導(dǎo)知識(shí)本體，基于能力培養(yǎng)的高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新研究”和“以社會(huì)需求為導(dǎo)向提升數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)學(xué)生實(shí)踐與應(yīng)用能力研究”的教改理念，申請(qǐng)了省級(jí)教學(xué)改革課題和院級(jí)教學(xué)改革課題，側(cè)重在包括高等代數(shù)課程在內(nèi)的兩門(mén)專(zhuān)業(yè)課中進(jìn)行課題研究，在這樣的新形勢(shì)下，如何進(jìn)行課程改革，使這門(mén)課程真正提升學(xué)生實(shí)踐、應(yīng)用和綜合能力，使學(xué)生能夠?qū)W以致用，是我們關(guān)注的重點(diǎn)。

二、以往教學(xué)中存在的問(wèn)題

1.對(duì)人才培養(yǎng)方案認(rèn)識(shí)不足

我院以及各系對(duì)不同層次、不同專(zhuān)業(yè)的課程都做了詳細(xì)的人才培養(yǎng)方案，可是教師一般關(guān)心較多的是每一次人才培養(yǎng)方案改動(dòng)中課時(shí)的變化，很少關(guān)心方案中增添了那些與時(shí)俱進(jìn)的內(nèi)容，這就形成了教師只是一味的教學(xué)，而對(duì)于人才培養(yǎng)方案、人才培養(yǎng)規(guī)格、學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、素質(zhì)結(jié)構(gòu)等問(wèn)題認(rèn)識(shí)的不夠清楚，導(dǎo)致了對(duì)于本門(mén)課程沒(méi)有一個(gè)很好的定位，使得教學(xué)與人才培養(yǎng)方案嚴(yán)重脫節(jié)的現(xiàn)象，結(jié)果學(xué)生的素質(zhì)、實(shí)踐和應(yīng)用能力沒(méi)有達(dá)到方案的預(yù)期效果。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單浮躁，缺乏教學(xué)反思和教學(xué)研究

以往的教學(xué)中，教學(xué)設(shè)計(jì)的不足表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）教學(xué)設(shè)計(jì)偏重習(xí)題的演算，而忽略了數(shù)學(xué)思想的滲透，教師花大量的時(shí)間用于習(xí)題的推導(dǎo)和演算，把大部分精力放在了定性分析上，缺乏物理規(guī)律、數(shù)學(xué)模型的闡述，例如對(duì)于行列式，往往花大量的時(shí)間講解它的定義、性質(zhì)和計(jì)算，而實(shí)際上行列式在當(dāng)今高等代數(shù)的應(yīng)用中已被矩陣?yán)碚撍?，逐漸淡化了；（2）教學(xué)大多照本宣科，缺乏巧妙的設(shè)計(jì)，缺乏應(yīng)用性強(qiáng)的知識(shí)題材，缺乏與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，造成了現(xiàn)代教育理念與內(nèi)容脫節(jié)，知識(shí)的實(shí)踐與應(yīng)用不夠的局面；（3）教學(xué)手段單一，仍然堅(jiān)持“以教師為中心、以教材為中心、以課堂為中心”的傳統(tǒng)套路，使得知識(shí)與學(xué)生的全面發(fā)展的根本目的相分離，把有問(wèn)題要問(wèn)的學(xué)生教成了不思考問(wèn)題的學(xué)生，整個(gè)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生是在被動(dòng)的接受。老師講得辛苦，學(xué)生聽(tīng)得痛苦，教學(xué)效果差，在概念、定理、公式和解題中學(xué)生很難提高實(shí)踐和應(yīng)用等方面的能力。同時(shí)缺乏教學(xué)反思和教學(xué)研究。葉瀾教授說(shuō)得好：“一個(gè)教師寫(xiě)一輩子教案不一定成為名師，如果一個(gè)教師寫(xiě)三年反思，卻有可能成為名師”，我們的教師很少做到在教學(xué)前、教學(xué)中、教學(xué)后進(jìn)行認(rèn)真的反思。所謂沒(méi)有反思，就沒(méi)有進(jìn)步。所以我們的教學(xué)變成了幾十年如一日的機(jī)械的重復(fù)的過(guò)程。

三、高等代數(shù)課程的教學(xué)改革實(shí)踐

1.思考高等代數(shù)課程的定位，明確課程教學(xué)目的

高等代數(shù)課程作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，它的基本性體現(xiàn)在工具性、服務(wù)性和素質(zhì)性。我們把這門(mén)課程作為解決實(shí)際問(wèn)題的工具，注重培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力和運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的實(shí)際動(dòng)手能力等；同時(shí)本門(mén)課程是為后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課程服務(wù)的，我們著重對(duì)于一些與別的課程有聯(lián)系的內(nèi)容給予拓寬，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)不斷的融入新的、寬口徑的知識(shí)，使學(xué)生能夠盡可能的多掌握一些知識(shí)；另外，我們注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，突出數(shù)學(xué)的人文精神教學(xué)，在教學(xué)中滲透高等代數(shù)、線性代數(shù)發(fā)展史的同時(shí)穿插一些數(shù)學(xué)家小傳，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展史上所做的貢獻(xiàn)以及一些數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，加強(qiáng)科學(xué)精神與人文精神的教育的同時(shí)，提升學(xué)生邏輯思維、空間想象和創(chuàng)新等素質(zhì)。正如李大潛院士所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的教學(xué)，不僅要使學(xué)生學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而且應(yīng)該在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，讓他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，知道數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的熏陶中茁壯成長(zhǎng)?！?/p>

2.對(duì)教學(xué)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)

教學(xué)內(nèi)容的編排次序要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理和知識(shí)體系綜合考慮，課本順序不一定是最佳選擇，尤其是各院校學(xué)生之間有很大的差異。例如，由于傳統(tǒng)的矩陣的秩的定義離不開(kāi)行列式，故矩陣的秩、逆矩陣等一般放在行列式后面講，但是行列式的傳統(tǒng)定義對(duì)于初學(xué)者比較難接受，所以在教學(xué)中我們嘗試先由線性方程組引入，然后講矩陣、矩陣的線性變換、簡(jiǎn)單的矩陣分塊計(jì)算、可逆矩陣等，根據(jù)矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型的唯一性，由矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形中“1”的數(shù)目定義矩陣的秩，然后介紹向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩等，接著完成線性方程組的解的理論，最后再介紹行列式就相對(duì)比較簡(jiǎn)單了。另外，教材中對(duì)于線性方程組解法的完備性不夠全面，一般只給出線性方程組有解的判定、解的個(gè)數(shù)以及解的結(jié)構(gòu)和解法，但對(duì)于無(wú)解的線性方程組則不作交代。事實(shí)上，無(wú)解的線性方程組可以有最小二乘解，這在實(shí)際問(wèn)題中常常會(huì)遇到（如實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立起來(lái)的線性方程組可能無(wú)解），所以我們?cè)谥v解時(shí)會(huì)給學(xué)生補(bǔ)充此部分內(nèi)容，這樣不僅完備了線性方程組各種情形解的處理，而且對(duì)于實(shí)際是很有用的。

3.突出實(shí)踐、應(yīng)用相結(jié)合的能力培養(yǎng)宗旨，加深理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

由于課程本身的抽象，許多概念學(xué)生不知道如何去應(yīng)用，為了探索教學(xué)和實(shí)踐的結(jié)合，為了提高學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)的能力，我們?cè)谝胍恍┲匾拍钊缇仃嚒⒕€性方程、向量空間等時(shí)結(jié)合常見(jiàn)的工程技術(shù)或經(jīng)濟(jì)管理上的實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生理解概念的應(yīng)用背景，其次會(huì)選擇一些與內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行講授。例如在講行列式定義時(shí)引入了聯(lián)合收入模型；講矩陣定義時(shí)引入了交通網(wǎng)絡(luò)模型；講矩陣運(yùn)算的應(yīng)用時(shí)引入了投入產(chǎn)出的線性代數(shù)模型；講矩陣特征值的應(yīng)用時(shí)引入了Leslie人口模型和常微分方程中的常系數(shù)線性方程組解法的介紹等。又如在講解映射、單射、滿射和雙射的概念時(shí)，為了讓學(xué)生更好的理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，我們用圖示來(lái)幫助學(xué)生形象的理解和掌握（見(jiàn)圖1-圖6）。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

首先，圖1不構(gòu)成映射，因?yàn)榘凑沼成涞亩x原像集中的一個(gè)元素沒(méi)有找到像，所以對(duì)于原像集而言重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)元素不能剩（但沒(méi)說(shuō)唯一或是不唯一，即原像在和像對(duì)應(yīng)時(shí)可以一對(duì)一，也可以多對(duì)一）；圖2也不構(gòu)成映射，因?yàn)榘凑沼成涞亩x，在像集中要有唯一的一個(gè)元素和原像對(duì)應(yīng)，所以對(duì)于像集而言重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)唯一對(duì)應(yīng)（但沒(méi)說(shuō)剩或是不剩，即像可以剩也可以不剩），根據(jù)以上的分析圖3圖4圖5圖6均為映射，即映射分為多對(duì)一和一對(duì)一兩種情形。

另外在是映射的情況下進(jìn)一步討論映射，對(duì)于單射而言強(qiáng)調(diào)一個(gè)原像對(duì)應(yīng)一個(gè)像，其重點(diǎn)是為了排除映射中多對(duì)一的情形，但并沒(méi)有說(shuō)像?；蚴遣皇?；對(duì)于滿射而言強(qiáng)調(diào)每一像都能找到原像和它是對(duì)應(yīng)的，其重點(diǎn)是為了說(shuō)明像不能剩，但沒(méi)說(shuō)必須是一對(duì)一的情形，即多對(duì)一的情形也可以。因此，單射可以是滿射如圖5也可以不是滿射如圖3；滿射可以是單射如圖5也可以不是單射如圖4。

在以上的映射中即是單射也是滿射的映射稱(chēng)為雙射，例如圖5。當(dāng)然也存在即不是單射也不是滿射的映射，例如圖6。

根據(jù)以上的分析，映射之間的概念可以用如下的集合來(lái)表示（如圖7）：

這樣基于知識(shí)本體的教學(xué)不僅讓學(xué)生得到了建立數(shù)學(xué)模型及解決實(shí)際問(wèn)題的初步訓(xùn)練，提高了應(yīng)用能力，同時(shí)在了解了抽象知識(shí)在實(shí)際生產(chǎn)生活中投影的同時(shí)刺激了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐與應(yīng)用相結(jié)合的能力起到了積極的推動(dòng)作用。

4.重視現(xiàn)代教育軟件的應(yīng)用，既增強(qiáng)了知識(shí)的建構(gòu)又提高了效率

在高等代數(shù)課程教學(xué)中，我們也順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展增加了計(jì)算軟件使用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程。在實(shí)驗(yàn)課上我們不給學(xué)生講太多、太繁的理論，只要他們會(huì)實(shí)際操作即可，我們不僅限于對(duì)Matlab軟件的介紹，更重要的是圍繞教學(xué)內(nèi)容教給學(xué)生如何使用Matlab軟件，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的便利和高效。例如矩陣與每一章節(jié)有著密不可分的聯(lián)系，而矩陣?yán)碚撆c計(jì)算機(jī)又聯(lián)系廣泛，矩陣的求逆、特征值和特征向量、矩陣的對(duì)角化等這些在實(shí)際計(jì)算中較麻煩的內(nèi)容經(jīng)計(jì)算機(jī)代勞后就變的簡(jiǎn)單多了。有了計(jì)算機(jī)的幫助我們的時(shí)間被節(jié)省下來(lái)了，我們把重點(diǎn)放在了矩陣?yán)碚摵椭匾椒ǖ慕榻B上，這樣學(xué)生不僅學(xué)到了理論知識(shí)也會(huì)用現(xiàn)代教育技術(shù)解決問(wèn)題了，這是我們改革的一大進(jìn)步。

圖7

5.在反思中調(diào)整，在調(diào)整中創(chuàng)新

古人云：“吾日三省吾身?！弊鋈魏问虑槎夹枰獣r(shí)常不斷的反思、反省，教學(xué)作為一種需要不斷改進(jìn)的藝術(shù)，自然也不例外。對(duì)于高等代數(shù)課程要針對(duì)不同對(duì)象的“瘦身”與“平民化”是我們?cè)谝恢狈此嫉囊稽c(diǎn)。目前，就我院數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，有一部分是專(zhuān)科學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)相對(duì)弱一些，而我們又想要更多的人懂得和應(yīng)用高等代數(shù)，我們就對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)“瘦身”和“平民化”，對(duì)講解的內(nèi)容通俗化、簡(jiǎn)單化，一般設(shè)計(jì)的內(nèi)容有矩陣及其運(yùn)算、逆矩陣、矩陣的秩、解一般的線性方程組、行列式的計(jì)算。有時(shí)會(huì)根據(jù)學(xué)生的不同情況加一些特征值和特征向量、向量空間的簡(jiǎn)單內(nèi)容，使其對(duì)這些較抽象的理論有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。另外，在高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，一般學(xué)生的計(jì)算能力明顯強(qiáng)于論證問(wèn)題的能力，這反映了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力較差的特點(diǎn)。為了培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)造性思維的能力，經(jīng)過(guò)不斷反思我們從兩方面入手：一是充分利用有限的教學(xué)實(shí)踐引導(dǎo)學(xué)生深入理解教材，例如在講解矩陣的特征值和特征向量的關(guān)系時(shí)，我把矩陣比作一棵樹(shù)，特征值是樹(shù)枝，特征向量是樹(shù)葉。顯然，樹(shù)枝長(zhǎng)在樹(shù)上，樹(shù)葉長(zhǎng)在樹(shù)枝上，一片樹(shù)葉只能長(zhǎng)在一根樹(shù)枝上，但一根樹(shù)枝上可以生長(zhǎng)多片樹(shù)葉。也就是說(shuō)，特征值是屬于一個(gè)矩陣的，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，但一個(gè)特征值可以有多個(gè)特征向量。二是精心編寫(xiě)不同類(lèi)型的練習(xí)題，有知識(shí)能力層次、理解能力層次、簡(jiǎn)單應(yīng)用能力層次、綜合應(yīng)用能力層次和發(fā)展性應(yīng)用能力層次等，題型兼顧了基礎(chǔ)性、針對(duì)性、典型性、復(fù)雜性和開(kāi)拓性等。對(duì)于習(xí)題側(cè)重解題思路和邏輯推理，對(duì)一題多解的題目，要求學(xué)生尋求最優(yōu)解以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。

四、高等代數(shù)課程教學(xué)改革的體會(huì)和啟示

本次教學(xué)改革更多的關(guān)注了數(shù)學(xué)本身的“改造”，由以往對(duì)教學(xué)的方法改革轉(zhuǎn)變到了對(duì)教學(xué)實(shí)質(zhì)內(nèi)容的改革，這種改革不僅有利于學(xué)生對(duì)整個(gè)知識(shí)的認(rèn)識(shí)、把握和重新組合，更有利于學(xué)生實(shí)踐和應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高。通過(guò)研究我們得出這樣的結(jié)論，即教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該將目標(biāo)導(dǎo)向放在第一位，明確在課堂中必須尊重知識(shí)本身，從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，遵循一定的方法，通過(guò)正確的思維方式還原知識(shí)本質(zhì)，才能達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目標(biāo)。通過(guò)教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)仍存在一些問(wèn)題需要改進(jìn)，例如教材中概念的講解較刻板和抽象，教材次序和邏輯安排較凌亂，練習(xí)題的安排較少且缺乏與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，這些都影響學(xué)生思維水平的提高，學(xué)生往往不知道知識(shí)該如何應(yīng)用。我們計(jì)劃在今后的教學(xué)中不斷的鉆研教材，挖掘教材中的開(kāi)放性因素，設(shè)計(jì)變式教學(xué)，通過(guò)具體的“概念變式”、“過(guò)程變式”和“練習(xí)題變式”體現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)性、系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性。

通過(guò)教改我們清楚地認(rèn)識(shí)到，教學(xué)不應(yīng)是日復(fù)一日，年復(fù)一年的機(jī)械地重復(fù)，而是應(yīng)該一遍一遍不斷地挖掘知識(shí)的本質(zhì)和聯(lián)系，尋求知識(shí)更好的表征方式，即便是對(duì)任何一本經(jīng)典的教材和任意一屆基礎(chǔ)較好的學(xué)生我們也要與時(shí)俱進(jìn)的進(jìn)行教改。只有不斷的改革和研究，才會(huì)有知識(shí)的創(chuàng)新和學(xué)生能力的根本提高。

［1］WILSON R.The Remaking of Math［J］.The Chronicle of Higher Education，2000，XLV（18）：14-16.

［2］浩歌.教學(xué)方法改到何時(shí)突破重圍［J］.中國(guó)高等教育，2009（6）：1.