相中啟，簡(jiǎn)輝華

(1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，中國(guó)武漢 430079;2.新余學(xué)院電氣與電子工程學(xué)院，中國(guó)新余 338004)

設(shè)b ≥2 是一整數(shù)，D={d0，…，db－1}?R 是數(shù)字集，則數(shù)字對(duì)(b，D)定義了一迭代函數(shù)系統(tǒng)

φi(x)=b－1(x+di)，0 ≤i ≤b－1.

這些映射顯然是壓縮映射，因此存在唯一的非空緊集T=T(b，D)使得［1－2］.該集合方程的一個(gè)等價(jià)形式為

更確切地，我們可以將T 中的元素表示成關(guān)于基b 及數(shù)字集D 的基數(shù)展式，即

如果T· ≠?，我們稱(chēng)T=T(b，D)是自相似tile，D 為自相似tile 數(shù)字集.這個(gè)條件等價(jià)于，也等價(jià)于T 的Lebesgue 測(cè)度m(T)＞0［3］.

設(shè)T=T(b，D)是自相似tile，則L2(T)中的內(nèi)積規(guī)定為

對(duì)于數(shù)字集的研究，我們最關(guān)心的是那些可以生成自相似tile 的數(shù)字集，最簡(jiǎn)單的形式由Bandt 給出［4］:若D 是模b 完全剩余系，則T(b，D)是自相似tile.我們稱(chēng)這樣的數(shù)字集為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字集.特別地，如果b 是素?cái)?shù)，Kenyon 在文［5］中給出如下結(jié)論:

T(b，D)是自相似tile 當(dāng)且僅當(dāng)D 是模b 完全剩余系.

對(duì)于D 不是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字集的情形，最重要的是積形式的數(shù)字集，這一形式的數(shù)字集由Odlyzko 引入［6］，用于研究實(shí)數(shù)關(guān)于基b 的基數(shù)展式，而后Lagarias 與汪洋在文［7］中給出其正式定義:

如果D=ε0+bl1ε1+…+blkεk，其中ε=ε0⊕ε1⊕…⊕εk是模b 完全剩余系，0 ∈εi(0 ≤i ≤k)，0 ≤l1≤l2≤…≤lk，則稱(chēng)D 為積形式數(shù)字集.再者，如果ε={0，1，2，…，b－1}，那么稱(chēng)D 為嚴(yán)格積形式數(shù)字集.

他們證明了:如果D 是積形式的數(shù)字集，則T(b，D)是自相似tile.

Kenyon 給出了一個(gè)研究自相似tile 數(shù)字集的重要工具，稱(chēng)為Kenyon 準(zhǔn)則.該準(zhǔn)則已被廣泛應(yīng)用于研究自相似tile 數(shù)字集及相關(guān)課題［7－9］.何興綱與劉家成［9］推廣了Protasov［10］關(guān)于最小切集的定義，建立了緊集的概念，受此啟發(fā)，本文給出了一種研究自相似tile 數(shù)字集的新方法.

1 自復(fù)制tiling 集

設(shè)T 是T=T(b，D)的tiling 集，若T=bT+D，則稱(chēng)T 是自復(fù)制的.劉家成和饒輝［8］加強(qiáng)了Kenyon 在文［11］中的結(jié)果，得到:

定理1［8］設(shè)0 ∈D ?Z 且D 中的元素互素.如果T=T(b，D)是自相似tile，則

(1)存在唯一的自復(fù)制tiling 集T 具有性質(zhì):0 ∈T ?Z，存在m ≥0 使得T=T+bm.

(2)若S ?Z 是周期的且S=bS+D，則(T，S)是一tiling 對(duì)且S=T.

注1上述結(jié)果中唯一性的獲得需要假定0 ∈T 或者T ?Z，如果無(wú)此假設(shè)，則自復(fù)制tiling 集可能不唯一.例如，b=3，D={0，1，2}，則T=［0，1］，因此Z 與均是T 的自復(fù)制tiling 集.

引理1［5］設(shè)D={d0，…，db－1}?Z+，則D 是自相似tile 數(shù)字集的充分必要條件是對(duì)任意整數(shù)m ≠0，存在k ≥1 使得，其中.

定理2設(shè)T=T(b，D)是自相似tile，T 是其唯一的自復(fù)制tiling 集，則{eλ:eλ(x)=e2πiλx，λ ∈T}是L2(T)中的規(guī)范正交集.

證令，對(duì)T 上的特征函數(shù)XT作Fourier 變換，則對(duì)任意k ≥1 有

對(duì)任意λ，γ ∈T，λ ≠γ，由引理1 知，存在k ≥1 使得，因此

如果D 是模b 完全剩余系，Lagarias 等［12］證明了T(b，D)有格tiling.該結(jié)論中的假設(shè)條件不能減弱，事實(shí)上即使D 是嚴(yán)格積形式，T(b，D)也可能沒(méi)有格tiling.例如，若b=4，則D={0，1，8，9}={0，1}+4{0，2}.因此D 是嚴(yán)格積形式，且ε0={0，1}，ε1={0，2}，ε={0，1，2，3}.易見(jiàn)T(b，D)=［0，1］∪［2，3］，因此T(b，D)沒(méi)有格tiling，但有2 個(gè)不同的周期tilings，即

T={j+4Z:j=0，1}，T'={j+4Z:j=0，3}.

定理3設(shè)D={d0，…，db－1}是嚴(yán)格積形式.如果b 是素?cái)?shù)，則T(b，D)有格tiling T，并且T 是自復(fù)制的.

證由嚴(yán)格積形式的定義，?ej∈ε 有唯一分解

ej=ej，0+ej，1+…+ej，k，ej，i∈εi，0 ≤i ≤k.

由于?dj∈D 也有唯一分解:dj=ej，0+bl1ej，1+…+blkej，k，因此有

注意到blkEi=Ei+Ai，lk，其中，若k=0，則規(guī)定Ai，lk={0}.于是

T(b，D)=E0+(E1+A1，l1)+…+(Ek+Ak，lk)=(E0+E1+…+Ek)+(A1，l1+…+Ak，lk)=T(b，ε)+(A1，l1+…+Ak，lk)=［0，1］+(A1，l1+…+Ak，lk).

因?yàn)閎 是素?cái)?shù)，則或者D={0，1，…，b－1}，此時(shí)T(b，D)=［0，1］有格tiling T=Z，且T=bT+D，即T 是自復(fù)制的;或者存在m，1 ≤m ≤k，使得D=blm{0，1，…，b－1}.所以

T(b，D)=［0，1］+Am，lm=blm［0，1］.

由于T(b，D)+blm(［0，1］+Z)=blmR=R，因此T(b，D)有格tiling T=blmZ.易見(jiàn)bT+D=blm(bZ+{0，1，…，b－1})=blmZ=T，所以T 是自復(fù)制的.

2 C－緊集

設(shè)C={c0，c1，…，cm}?Z.令φj(x)=b－1(x+cj).利用壓縮映射系統(tǒng)來(lái)定義樹(shù)結(jié)構(gòu):令α0=0，αk=φjk(αk－1)=b－1(αk－1+cjk)，cjk∈C 表示第k 次迭代的衍生物.我們稱(chēng)這樣的αk為一個(gè)C－狀態(tài).易見(jiàn)αk=b－kcj1+…+b－1cjk.令表示所有的

對(duì)一有限序列{cj0，cj1，…，cjk}，令α0=0，αk=b－kcj1+…+b－1cjk，1 ≤k ≤n，稱(chēng)相應(yīng)的有限狀態(tài)列γ=為一條從0 到αn的路徑，無(wú)窮路徑可類(lèi)似定義.

定義1設(shè)C={c0，c1，…，cm}?Z.令P 表示所有包含無(wú)窮多個(gè)不同狀態(tài)的路徑的集合，若滿足

(1)0 ?N;

引理2設(shè)D={d0，…，db－1}是自相似tile 數(shù)字集，則對(duì)任意非零整數(shù)

證由定理2 知

對(duì)任意整數(shù)m ≠0，令r=bkm，則對(duì)所有的)，由(3)式，.因?yàn)門(mén) 是自相似tile，故XT是有緊支撐的L1函數(shù)，由Riemann-Lebesgue 引理知，

定理4設(shè)D{d0，…，db－1}?Z，則D 是自相似tile 數(shù)字集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的數(shù)字集C={0=c0，c1，…，cm}?Z，m ≥1，存在緊集N 使得?a ∈N，PD(e2πia)=0.

證先證必要性.設(shè)D 是自相似tile 數(shù)字集，XT是自相似tile T=T(b，D)上的特征函數(shù)，則

對(duì)任意給定的數(shù)字集C={0=c0，c1，…，cm}?Z，m ≥1，任意路徑，考慮那些使得0 ≠vk=bkαk∈Z 的αk，則vk=cj1+…+bk－1cjk.由的整周期性，對(duì)所有的l ≤k，

由引理2 知

再證充分性.設(shè)存在緊集N 使得?a ∈N，PD(e2πia)=0.假設(shè)D 不是自相似tile 數(shù)字集，則由引理1 知存在整數(shù)m ≠0，使得任意，其中只有某個(gè)ci=m(1 ≤i ≤n)，其余均為零.定義無(wú)窮路徑，其中αk=b－kcj1+…+b－1cjk且α0=0.由緊集的定義知，至少存在一點(diǎn)αl∈N，因此PD(e2πiαl)=0，矛盾.于是充分性得證.

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