康東升,張微微,吳 紅

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院,武漢 430074)

1 問題的引入

本文研究下列橢圓方程:

(1)

則J∈C1(H×H,R).我們稱(u0,v0)∈H×H是方程組(1)的解，如果：

u0,v0≠0,〈J′(u0,v0),(φ,?)〉=0,

?(φ,?)∈H×H.

研究方程組(1)涉及到Hardy不等式[1]:

(2)

Uμ(x)是徑向對稱函數(shù)，Uμ(x)=

Sη,α,β(μ):=

近年來帶有Hardy項和臨界Sobolev指數(shù)的方程受到關注,參見文[1]，[2]，[3]，[5]-[8]及其參考文獻,但上述文獻主要是研究單個橢圓方程,關于橢圓方程組的結果很少.本文主要研究方程組(1)當ai(1≤i≤3)取值范圍較大時,非平凡解的存在性.

在本文中我們做以下假設：

(H3)a2≠0,并且存在常數(shù)θ1,θ2∈R+,k,k′∈N+,滿足：

Λk(μ)≤a1-θ1|a2|,a1+θ2|a2|<Λk+1(μ),

Λk′(μ)≤a3-(θ1)-1|a2|,a3+(θ2)-1|a2|<

Λk′+1(μ).

定義二次型

Q(u,v):=(u,v)A(u,v)T=a1u2+2a2uv+a3v2.

如果(H2)成立，則有：

λ1(u2+v2)≤Q(u,v)≤λ2(u2+v2),?(u,v)∈H×H.

(3)

在條件(H3)下有：

(4)

注意(3)式和(4)式系數(shù)區(qū)域不同,在(H2)和(H3)中條件a2≠0用來排除方程組(1)的半平凡解.

記d*:=max{|x|2,x∈?Ω},

其中τmin≥0是f(τ)的最小值點.

本文的主要結果如下.

2 解的存在性

(ii)Sη,α,β(μ)=f(τmin)S(μ)=f(τmin)S(0)=Sη,α,β(0),?μ∈(-∞,0].

設ei(x)為對應于λi(μ)的特征函數(shù)，i∈N,k∈N,H(k)表示由對應于特征值λ1(μ),λ2(μ),…，λk(μ)的L2范數(shù)單位化的特征函數(shù)張成的空間，取m∈N足夠大使得B2/m(0)?Ω. 定義：

設μ<0且ξ∈Ω,取m∈N足夠大使得B2/m(ξ)?Ω{0}. 定義：

引理4 設-∞<μ<0,則：

證明(i)參見文獻[3]中引理1的證明.

(ii)當μ≤0時，ei∈L∞(Ω).證明方法與文獻[7]中引理2.3相同.

(5)

(6)

(7)

同樣地，當ξ∈Ω,m∈N充分大，定義：

由引理5的證明過程，可以得到下面的引理6.證明略去.

引理6[8]設m充分大，ε=o(m-1)，則：

對于ρ>0，定義下面的符號:

Bρ={(u,v)∈H×H|‖(u,v)‖<ρ},

?Bρ={(u,v)∈H×H|‖(u,v)‖=ρ}.

(i)存在σ>0,δ>0,ρ>0,使得：

(ii)存在R>ρ,使得：

(8)

引理8 假設(H1),(H2)成立，且μ<0，則

(i)存在常數(shù)σ>0,δ>0,ρ>0,滿足：

J(u,v)≥

所以當ρ和σ充分小時，結論成立.

(9)

所以有:

對任意r≥0，

由引理6和(8)式，存在R1滿足:

因此，

定義

由環(huán)繞定理[9]，我們得到J的一個(PS)c序列，由引理1，當ε充分小時就有：

(10)

在ε足夠小成立. 相反地，假設：

(11)

(12)

這里

(13)

(14)

(15)

(16)

另一方面，

(17)

J(τmvm,τmτminvm)≤

(18)

從(10)和(18)式，得：

和(12)式矛盾.因此當ε足夠小時，

由環(huán)繞定理[9]和引理1，方程組(1)有解(u,v)∈H×H. 定理1證畢.

C‖(u,v)‖2*≥C‖(u,v)‖2-C‖(u,v)‖2*.

所以當ρ和σ充分小時，結論成立.

(19)

剩下的證明與文[8]中引理5相似,這里略去.

由引理9和環(huán)繞定理[9]，我們得到J的一個(PS)c序列，由引理1，我們只需要驗證當ε足夠小時下式成立：

(20)

由(H3)和(4)式可以得到：

a1u2+2a2uv+a3v2≥(u2+v2)min{a1-θ1|a2|,a3-(θ1)-1|a2|}.

(21)

由 (18)和(21)式可知當m足夠大時(20)式成立，從而結論成立.

[1] Hardy G,Littlewood J,Polya G.Inequalities[M].Cambridge: Cambridge University Press,1988: 239-243.

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[8]康東升，吳 紅，張微微.帶有多重臨界指數(shù)的橢圓方程組的非平凡解[J].中南民族大學學報：自然科學版,2013(1): 92-96.

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