舒奇泉，賈 鑫

（1、裝備學(xué)院研究生院，北京101416；2、裝備學(xué)院光電裝備系，北京101416）

0 引言

現(xiàn)代雷達(dá)信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，頻率越來(lái)越高，前端采樣受Nyquist采樣定理限制，硬件實(shí)現(xiàn)越來(lái)越困難。壓縮感知理論（CS）［1-2］指出，對(duì)于稀疏信號(hào)，可以突破Nyquist限制，以較小的采樣率得到較少的采樣值并精確重構(gòu)信號(hào)。這樣，采樣率的要求由信號(hào)的信息量大小確定，而不是簡(jiǎn)單地由信號(hào)頻率確定。在現(xiàn)有硬件的基礎(chǔ)上，引入壓縮感知理論，可以以較小的采樣率采集模擬LFM 信號(hào)，經(jīng)過(guò)數(shù)字化重構(gòu)，得到數(shù)字信號(hào)以進(jìn)行其他處理。經(jīng)過(guò)研究分析，壓縮感知理論對(duì)信號(hào)處理有良好的性能，對(duì)模擬信號(hào)的處理也可以實(shí)現(xiàn)。Matlab 仿真分析表明，基于壓縮感知的模擬LFM 信號(hào)采集系統(tǒng)突破了前端采樣Nyquist極限，具有較小的采樣率和較好的重構(gòu)精度。

本文首先分析了壓縮感知基本原理和實(shí)現(xiàn)方式，然后通過(guò)理論推導(dǎo)分析基于壓縮感知的模擬信號(hào)處理方法，最后通過(guò)Matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 基本原理分析

LFM 信號(hào)因其大時(shí)寬帶寬積的優(yōu)良特性在雷達(dá)領(lǐng)域受到廣泛的應(yīng)用［3］。典型的LFM 信號(hào)為：

式中，T 為脈沖寬度，f0為起始頻率，B 為信號(hào)帶寬，K＝B／T 為調(diào)頻斜率。傳統(tǒng)采樣時(shí)，對(duì)模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)下變頻、濾波等操作后再經(jīng)過(guò)ADC 可以轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)。依據(jù)Nyquist采樣定理，對(duì)LFM 模擬信號(hào)采樣時(shí)，ADC采樣率fs至少為2B，才能無(wú)失真恢復(fù)信號(hào)。

2006年，Candes等公開(kāi)發(fā)表了多篇關(guān)于壓縮感知基本理論的論文，為該理論奠定了基礎(chǔ)［1-2］。其數(shù)學(xué)描述如下：

設(shè)一維離散時(shí)間信號(hào)X 為RN空間的N×1維列向量，其分量為X（n）（n＝1，2，…，N）。把X 表示成為RN空間 上 的 一 組N×1 維 基 向 量的 線 性 組合，系數(shù)為αi（i＝1，2，…，N），其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，Ψ 為基向量構(gòu)成的矩陣，α 為系數(shù)組成的N×1維列向量，它與X 是同一個(gè)信號(hào)的等價(jià)表示方式。設(shè)計(jì)一個(gè)平穩(wěn)的、與變換基Ψ 不相關(guān)的觀測(cè)矩陣Φ（M×N），對(duì)原始信號(hào)X 進(jìn)行觀測(cè)，得到觀測(cè)值Y 為ΦX，即Φψα，定義CS信息算子ACS為Φψ，則觀測(cè)值Y 等于ACSα，為信號(hào)X 通過(guò)ACS進(jìn)行非自適應(yīng)觀測(cè)的結(jié)果，且Y 的維數(shù)為M。信號(hào)重構(gòu)時(shí)，要從得到的維度為M的觀測(cè)值中求解維數(shù)為N 的X，M＜N，通常意義上無(wú)法求解。理論證明，在滿足限制等距性（RIP）［4］的條件下，可以利用線性規(guī)劃求出最優(yōu)解。利用0-范數(shù)意義下的優(yōu)化問(wèn)題求解X：

RIP準(zhǔn)則數(shù)學(xué)定義為：

理論指出，要應(yīng)用壓縮感知，信號(hào)要具有稀疏性，或者在某個(gè)確定的域里面稀疏。信號(hào)稀疏性可定義為：

滿足式（5）的系數(shù)向量α 在某種意義下是稀疏的。常見(jiàn)自然信號(hào)往往不是標(biāo)準(zhǔn)的稀疏信號(hào)，需要用變換基進(jìn)行稀疏表示。為了能夠更好地稀疏表示信號(hào)，文獻(xiàn)［5］提出了基于正交基字典的稀疏表示方法。即在由多個(gè)正交基構(gòu)成的樹(shù)形正交基字典中自適應(yīng)地尋找信號(hào)的最優(yōu)正交基，對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換以得到信號(hào)的最稀疏表示。

2 基于壓縮感知的模擬信號(hào)處理

以上壓縮感知處理方法均是矩陣運(yùn)算，難以硬件實(shí)現(xiàn)。為此，有學(xué)者提出了新的信號(hào)處理結(jié)構(gòu)：寬帶調(diào)制轉(zhuǎn)換器（MWC）［6-7］，把壓縮感知理論應(yīng)用到模擬信號(hào)處理領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)在采樣的同時(shí)壓縮數(shù)據(jù)，不但可以降低采樣率，也可以減少數(shù)據(jù)量，降低采樣系統(tǒng)的存儲(chǔ)要求，因此受到了極大關(guān)注。

2.1 MWC系統(tǒng)采樣

MWC系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖如圖1所示。輸入的模擬信號(hào)最大頻率為fmax，共含有N個(gè)寬度不超過(guò)B 的子頻帶。系統(tǒng)前端由不同的m個(gè)信道輸入信號(hào)，每個(gè)信道中的信號(hào)x（t）與周期為T 的波形p（t）相乘，再分別經(jīng)過(guò)截止頻率為1／（2T）的低通濾波器進(jìn)行濾波，然后以1／T 的速率進(jìn)行低速采樣，得到各個(gè)頻段內(nèi)的采樣值，用于信號(hào)的重建。

圖1 MWC系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框圖

混合函數(shù)p（t）具有周期性，每個(gè)周期內(nèi)以伯努利分布隨機(jī)取值M個(gè)±1，M 即代表了降采樣率。時(shí)域模型可以表示為：

式中，αik為｛1 -1｝ 。同時(shí)，可以得到周期函數(shù)pi（t）的傅里葉變換Pi（t）為：

式中，cil表示混合信號(hào)的傅里葉系數(shù)：

信號(hào)與混合函數(shù)相乘再通過(guò)傳遞函數(shù)為H（f）的理想低通濾波器，然后以fs為采樣率進(jìn)行低速采樣得到輸出yi（n），其DTFT 分別可以表示為：

式中，L0的選取標(biāo)準(zhǔn)為：

考慮式（9）的矩陣形式，可以寫(xiě)為：

式中，y（f）和z（f）分別為m 維和L（即2L0＋1）維的向量，向量元素為：

而矩陣A 為維m×L，元素為系數(shù)cil：

觀察式（2）與式（11）可知，其形式相同，可利用壓縮感知理論解出式（11），重構(gòu)出原信號(hào)。

2.2 MWC系統(tǒng)信號(hào)重構(gòu)

從得到的采樣值中恢復(fù)原信號(hào)，MWC 重構(gòu)模塊結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 MWC系統(tǒng)重構(gòu)模塊

由于得到的是連續(xù)采樣值，需要轉(zhuǎn)化為離散矩陣形式便于計(jì)算，此過(guò)程由連續(xù)到有限（CTF）模塊［6］完成，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 CTF模塊結(jié)構(gòu)示意圖

CTF首先建立測(cè)量值的框架V。在采樣時(shí)間nTs時(shí)，得到采樣值向量為y（n）＝［y1（n），y2（n），…，ym（n）］T，以此構(gòu)造矩陣Q，表達(dá)式為：

在實(shí)際采樣中，一般只需要n＝2m 即可。然后對(duì)矩陣進(jìn)行分解Q＝VVH，得到框架V。

此時(shí)可以利用OMP 等稀疏重構(gòu)算法求解V＝AU，得到最稀疏矩陣~U，進(jìn)一步得到信號(hào)支撐集S：

由S 求得AS，即取出A 中對(duì)應(yīng)S 所在的列構(gòu)成新矩陣。在（12）式中，對(duì)zi（f）做IDTFT得到zi（n），則：

式中 h （t） ＝sinc（ πt ／Ts），經(jīng) 過(guò) 調(diào) 制 得 到 重 構(gòu) 模 擬信號(hào)：

研究表明，WMC適用于高頻率、多個(gè)窄帶的頻域稀疏信號(hào)［8］。文獻(xiàn)［9］指出了MWC 可以處理的信號(hào)有通信信號(hào)（包括跳頻信號(hào)、載頻未知且在較大范圍內(nèi)隨機(jī)出現(xiàn)的信號(hào)）、音頻信號(hào)、緩慢變化的Chirp信號(hào)（雷達(dá)信號(hào)、地震波信號(hào)）、平滑信號(hào)（只需要少量的傅里葉系數(shù)進(jìn)行表示）、分段平滑信號(hào)等。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

Matlab仿真設(shè)置參數(shù)如下：LFM 信號(hào)帶寬B＝60MHz，脈沖寬度T＝-2μs，調(diào)頻斜率K＝3×1013，分別設(shè)置不同的初始頻率和噪聲環(huán)境，使用MWC 系統(tǒng)直接進(jìn)行采樣，單個(gè)通道采樣率fs＝50MHz，得到測(cè)量值然后用OMP算法重構(gòu)信號(hào)。

3.1 初始頻率為0的無(wú)噪聲信號(hào)重構(gòu)

圖4、5分別表示了在初始頻率設(shè)置為0 的情況下，重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)在時(shí)域、頻域（經(jīng)過(guò)放大）的對(duì)比。可以看出，重構(gòu)誤差都比較小，實(shí)現(xiàn)了以低于Nyquist采樣率對(duì)LFM 信號(hào)的采樣。

圖4 初始頻率為0時(shí)信號(hào)重構(gòu)時(shí)域?qū)Ρ?/p>

圖5 初始頻率為0時(shí)信號(hào)重構(gòu)頻域?qū)Ρ?/p>

3.2 初始頻率為2GHz的無(wú)噪聲信號(hào)重構(gòu)

圖6、7 分別表示了在初始頻率設(shè)置為2GHz的情況下，重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)在時(shí)域（局部）、頻域（經(jīng)過(guò)放大）的對(duì)比。此時(shí)，頻率范圍為2～2.06GHz，仍然使用單個(gè)通道50MHz的采樣頻率直接進(jìn)行采樣，仿真結(jié)果可以看出，重構(gòu)相對(duì)誤差也比較小。頻域?qū)Ρ纫舱f(shuō)明了采樣的有效性。這表明，利用壓縮感知原理，可以實(shí)現(xiàn)以較小的采樣率對(duì)高頻率的LFM 信號(hào)直接進(jìn)行采樣并準(zhǔn)確重構(gòu)原信號(hào)。

圖6 初始頻率為2GHz時(shí)信號(hào)重構(gòu)時(shí)域?qū)Ρ?/p>

圖7 初始頻率為2GHz時(shí)信號(hào)重構(gòu)頻域?qū)Ρ?/p>

3.3 初始頻率為0的含噪聲信號(hào)重構(gòu)

加入隨機(jī)噪聲，設(shè)置輸入信噪比為15dB，初始頻率設(shè)置為0，仿真結(jié)果如圖8、9所示?？梢钥闯?，時(shí)域重構(gòu)信號(hào)相對(duì)原信號(hào)誤差較小，波形上要明顯優(yōu)于含噪聲信號(hào)，計(jì)算其信噪比可以得出SNR＝15.769dB，比原含噪聲信號(hào)有所提高，說(shuō)明MWC 系統(tǒng)有一定的噪聲抑制功能，具有魯棒性。

圖8 含噪聲LFM 信號(hào)重構(gòu)時(shí)域?qū)Ρ?/p>

在硬件實(shí)現(xiàn)上，高速隨機(jī)序列的產(chǎn)生可以使用線性移位寄存器，現(xiàn)行硬件可以產(chǎn)生頻率高達(dá)80Gb／s的隨機(jī)序列［10］，完全滿足采樣的頻率要求。隨后使用常規(guī)的模擬濾波器和低速ADC 就可以完成高頻率信號(hào)的低速采樣。綜合可見(jiàn)，基于壓縮感知的模擬LFM信號(hào)采集理論可行，硬件上也可以實(shí)現(xiàn)。

圖9 含噪聲LFM 信號(hào)重構(gòu)頻域?qū)Ρ?/p>

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)壓縮感知基本原理，通過(guò)理論分析與仿真研究，驗(yàn)證了壓縮感知理論應(yīng)用到模擬信號(hào)處理中的可行性和優(yōu)越性。針對(duì)現(xiàn)代雷達(dá)LFM 信號(hào)帶寬越來(lái)越寬、常規(guī)采樣受Nyquist采樣定理限制使得硬件實(shí)現(xiàn)困難的問(wèn)題，應(yīng)用壓縮感知原理，以較低的采樣率實(shí)現(xiàn)信號(hào)的數(shù)字化采集和壓縮，從而突破了Nyquist極限。分析和仿真表明，基于壓縮感知的模擬LFM 信號(hào)采集系統(tǒng)具有較好的性能和可實(shí)現(xiàn)性。下一步，需要研究在大帶寬、頻率快速變化的情況下，提高壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的性能。同時(shí)，需要改進(jìn)MWC系統(tǒng)，減少通道數(shù)，簡(jiǎn)化硬件實(shí)現(xiàn)。■

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