涂振坤，劉心報(bào)

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥 230009;2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009)

直覺(jué)判斷矩陣的直覺(jué)模糊數(shù)型權(quán)重研究

涂振坤1，2，劉心報(bào)1

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥 230009;2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009)

研究了確定直覺(jué)判斷矩陣的權(quán)重問(wèn)題,并對(duì)與權(quán)重的可靠性密切相關(guān)的直覺(jué)判斷矩陣的一致性問(wèn)題進(jìn)行了探討.從直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確度函數(shù)角度給出直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性的新定義,并導(dǎo)出加型一致性的等價(jià)條件.為了充分利用原直覺(jué)判斷矩陣的信息以及使決策符合一致性要求,根據(jù)加型一致性的等價(jià)條件運(yùn)用轉(zhuǎn)換函數(shù)將原直覺(jué)判斷矩轉(zhuǎn)換為兩個(gè)加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣,然后對(duì)這兩個(gè)加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣運(yùn)用行和歸一的方法分別求出原直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重的隸屬度和非隸屬度,從而得到直覺(jué)模糊數(shù)型權(quán)重,并利用直覺(jué)模糊數(shù)的排序方法進(jìn)行排序.最后討論了決策方法的優(yōu)良性質(zhì),并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了決策方法的有效性和實(shí)用性.

直覺(jué)判斷矩陣;直覺(jué)模糊數(shù)型權(quán)重;中轉(zhuǎn)法;一致性

0 引言

1965年Zadeh[1]針對(duì)事物的不確定性提出了模糊集理論.隸屬函數(shù)值只能是單一值,傳統(tǒng)的模糊集理論不能完整表達(dá)問(wèn)題的全部信息而受到制約和挑戰(zhàn)[2].Atanassov[3-4]提出同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度、猶豫度這3個(gè)方面信息來(lái)描述客觀世界的模糊性,提出了直覺(jué)模糊集理論.

在決策過(guò)程中,決策者往往不能直接給出屬性的權(quán)重,而是對(duì)屬性進(jìn)行兩兩比較并構(gòu)造判斷矩陣,然后按照一定的方法求得權(quán)重.關(guān)于確定實(shí)數(shù)型的判斷矩陣(互反判斷矩陣、模糊互補(bǔ)判斷矩陣等)權(quán)重的研究已經(jīng)比較成熟.由于決策者給出的判斷矩陣是否滿足人類(lèi)決策思維的一致性影響到所得權(quán)重的可靠性,因此人們往往將判斷矩陣滿足一定的一致性作為確定權(quán)重的前提條件.Satty[5]研究了互反判斷矩陣的一致性和可接受一致性.Tanino[6]給出了模糊互補(bǔ)判斷矩陣的有限制的極大-極小傳遞性、有限制的極大-極大傳遞性、加型傳遞性以及積型傳遞性的定義.隨后人們根據(jù)這些一致性提出了大量有關(guān)模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法[7-10]. Xu[7]對(duì)原始模糊互補(bǔ)判斷矩陣進(jìn)行數(shù)學(xué)變換得到加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣,然后利用加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣的特點(diǎn)求得原模糊互補(bǔ)判斷矩陣的排序向量.Xu[8]用排序的權(quán)值構(gòu)造加型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣來(lái)逼近實(shí)際模糊互補(bǔ)判斷矩陣,從而給出模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種最小方差法.Xu[9]將積型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣轉(zhuǎn)化為一致性互反矩陣,再利用一致性互反判斷矩陣的特征向量法求出排序向量,即得到原判斷矩陣的權(quán)重.Xu[10]用排序的權(quán)值構(gòu)造積型模糊一致性互補(bǔ)判斷矩陣來(lái)逼近實(shí)際模糊互補(bǔ)判斷矩陣,從而給出模糊互補(bǔ)判斷矩陣排序的一種最小偏差法.這些排序方法對(duì)于研究非實(shí)數(shù)型判斷矩陣的權(quán)重問(wèn)題有著重要的啟發(fā)意義.

近年來(lái),關(guān)于非實(shí)數(shù)型的判斷矩陣(如區(qū)間互反判斷矩陣、區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣、直覺(jué)判斷矩陣等)權(quán)重問(wèn)題的研究也取得了一些進(jìn)展.本文研究的是直覺(jué)判斷矩陣的權(quán)重確定問(wèn)題,而文獻(xiàn)[2,11-12]指出直覺(jué)判斷矩陣等價(jià)于區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣,因此下面介紹區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣與直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重確定方法的已有研究成果[13-31].Xu[13]對(duì)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣進(jìn)行行和歸一化求得區(qū)間數(shù)型權(quán)重,并利用區(qū)間數(shù)比較的可能度矩陣得到了判斷矩陣的排序向量.Xu[14]利用均值互補(bǔ)判斷矩陣的排序向量以及隨機(jī)誤差公式求出原矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重,用可能度矩陣得到了實(shí)數(shù)型排序向量.Gong[15]利用一致性區(qū)間互反判斷矩陣的排序向量得到一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重向量,并運(yùn)用偏差的思想建立了非線性規(guī)劃模型，求得一般情況下區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重向量.Liu[16]運(yùn)用凸組合方法將區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣轉(zhuǎn)化為一族實(shí)模糊互補(bǔ)判斷矩陣,在后者滿足弱傳遞性情況下,將這族矩陣的可靠權(quán)重集成為區(qū)間數(shù)型權(quán)重.Liu[19]給出了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣與區(qū)間互反判斷矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系,基于可接受一致性區(qū)間互反判斷矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重求解公式得到了可接受一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重. Xu[20]定義了加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的概念,在區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣具有加型一致性情況下運(yùn)用權(quán)重可行域的思想求得區(qū)間數(shù)型權(quán)重,并針對(duì)不一致的情況利用加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣逼近實(shí)際區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣,并使得偏差最小化而得到線性規(guī)劃模型,從而求得區(qū)間數(shù)型權(quán)重.Wang[21]在加型一致性互補(bǔ)判斷矩陣等價(jià)條件的基礎(chǔ)上給出了加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的新定義；并討論了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣在具有加型一致性情況下運(yùn)用權(quán)重可行域是區(qū)間的思想建立了線性規(guī)劃模型以求得區(qū)間數(shù)型權(quán)重；而在不一致的情況下構(gòu)造加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣逼近實(shí)際區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解構(gòu)造得到的加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的區(qū)間數(shù)型權(quán)重.Lan[22]將積型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣轉(zhuǎn)換為加型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣,并集成后者的加型一致性信息后再轉(zhuǎn)換為積型一致性信息,最后設(shè)計(jì)算法得到積型一致性區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣權(quán)重.Wang[23]基于正區(qū)間數(shù)的運(yùn)算規(guī)則給出區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣具有加型一致性、積型一致性及弱傳遞性的新定義,并構(gòu)造出區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣與其權(quán)重之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換函數(shù). 而且在特定轉(zhuǎn)換函數(shù)情況下,發(fā)現(xiàn)用權(quán)重得到的區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣具有加型一致性、積型一致性,并且用它們逼近實(shí)際區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣從而得到目標(biāo)規(guī)劃模型以求解區(qū)間數(shù)型權(quán)重向量.文獻(xiàn)[25-31]討論了直覺(jué)模糊環(huán)境下多屬性決策問(wèn)題.Li[25]利用線性規(guī)劃模型得到屬性的實(shí)數(shù)型權(quán)重,并采用TOPSIS思想給出決策方法.Xu[26]針對(duì)屬性值為直覺(jué)模糊數(shù)且決策者對(duì)決策方案的偏好為直覺(jué)判斷矩陣的多屬性決策問(wèn)題,分別利用所有方案的綜合得分值構(gòu)造出加型一致性與積型一致性互補(bǔ)判斷矩陣,根據(jù)它們與決策者的直覺(jué)判斷矩陣是否吻合建立相應(yīng)的線性規(guī)劃模型,求解屬性的區(qū)間數(shù)型權(quán)重.Chen[27]運(yùn)用多種得分函數(shù)計(jì)算備選方案與正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的分離度,從而得到相應(yīng)的貼近度,同時(shí)將考慮權(quán)重偏差最小化和貼近度加權(quán)和最大化的多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的問(wèn)題,并建立模型求得屬性的最優(yōu)權(quán)重及各方案的貼近度.Gong[28]利用直覺(jué)判斷矩陣與區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系及區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的積型一致性的概念給出由權(quán)重表述的積型一致性直覺(jué)判斷矩陣的定義；并針對(duì)個(gè)體和群體的情況,根據(jù)偏差的思想分別建立了目標(biāo)規(guī)劃模型以求得直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重. Xu[30-31]在屬性權(quán)重未知條件下,基于信息理論和直覺(jué)模糊數(shù)(區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù))的相離度的概念,運(yùn)用權(quán)重向量的選擇應(yīng)使得所有屬性對(duì)所有方案的總偏差最大的思想建立了線性規(guī)劃模型以求得個(gè)體直覺(jué)判斷矩陣(區(qū)間直覺(jué)判斷矩陣)的實(shí)數(shù)型權(quán)重向量.從以上文獻(xiàn)可以看出確定區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣(直覺(jué)判斷矩陣)的權(quán)重方法主要可以分為以下幾類(lèi)方法.第一類(lèi)是直接建立權(quán)重向量與判斷矩陣元素之間關(guān)系的方法.首先在區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣(直覺(jué)判斷矩陣)是加型(積型)一致的條件下,分析出權(quán)重向量與判斷矩陣元素之間的關(guān)系,即權(quán)重向量應(yīng)滿足的條件.然后根據(jù)決策者給出的矩陣不一定滿足一致性,所以權(quán)重向量與判斷矩陣元素之間的這種關(guān)系看成近似關(guān)系,即它們之間存在偏差.根據(jù)偏差最小化思想,建立模型以求出權(quán)重向量. 第二類(lèi)是利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的方法.例如運(yùn)用凸組合方法將區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣轉(zhuǎn)化為一族實(shí)模糊互補(bǔ)判斷矩陣,然后將這族矩陣的可靠權(quán)重集成為區(qū)間數(shù)型權(quán)重.

雖然人們對(duì)于直覺(jué)判斷矩陣(區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣)的權(quán)重研究取得了一定的進(jìn)展,但是還存在以下兩個(gè)方面的問(wèn)題:第一,雖然研究者給出了種種直覺(jué)判斷矩陣(區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣)的加型(積型)一致性的新定義[20-21,23,26,28-29],但是缺乏直接從直覺(jué)模糊數(shù)的角度給出定義的研究.第二,已有的研究大多數(shù)給出的權(quán)重的表達(dá)方式是區(qū)間數(shù)并利用區(qū)間數(shù)比較大小方法給出排序結(jié)果,但是缺乏直接將直覺(jué)模糊數(shù)作為權(quán)重的表達(dá)方式并利用直覺(jué)模糊數(shù)比較大小方法給出排序的研究.本文從直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確度函數(shù)角度給出直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性的新定義,并導(dǎo)出加型一致性的等價(jià)條件,然后根據(jù)加型一致性的等價(jià)條件運(yùn)用中轉(zhuǎn)的方法得到原矩陣的直覺(jué)模糊數(shù)型權(quán)重,并利用直覺(jué)模糊數(shù)的排序方法進(jìn)行排序.最后討論了決策方法的優(yōu)良性質(zhì),并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了決策方法的有效性和實(shí)用性.

1 基本概念

定義1.2[6,11]設(shè)Y={y1,y2,…,yn}為方案集,決策者對(duì)n個(gè)方案進(jìn)行比較得到判斷矩陣B=(bij)n×n,其中,bij表示決策者對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)偏愛(ài)yi的程度, 若B滿足:

0≤bij≤1,bij+bji=1,i,j=1,2,…,n,

稱(chēng)B為模糊互補(bǔ)判斷矩陣.

定義1.3[6,32]設(shè)B=(bij)n×n為模糊互補(bǔ)判斷矩陣,若對(duì)任意i,j,k=1,2,…,n,qik≥0.5,qkj≥0.5,有qij≥0.5, 則稱(chēng)B滿足傳遞性.

定義1.4[6,32]設(shè)B=(bij)n×n為模糊互補(bǔ)判斷矩陣,若B滿足:

(bik-0.5)+(bkj-0.5)=(bij-0.5)，

i,j,k=1,2,…,n,

稱(chēng)B滿足加型一致性.

顯然,由定義可知B若滿足加型一致性則必然滿足傳遞性.

定義1.5[4,2,33]設(shè)X是一個(gè)非空集合,稱(chēng)A={〈x,uA(x),vA(x)〉|x∈X}為直覺(jué)模糊集,其中，uA和vA分別表示X中元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度,且?x∈X,有0≤uA(x)+vA(x)≤1.

根據(jù)直覺(jué)模糊集的定義,直覺(jué)模糊集的基本組成部分為元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度組成的序?qū)?稱(chēng)之為直覺(jué)模糊數(shù). 直覺(jué)模糊數(shù)一般記為α=(uα,vα),其中,0≤uα+vα≤1.

定義1.6[2,33]設(shè)直覺(jué)模糊數(shù)為α=(uα,vα),稱(chēng)s(α)=uα-vα為α的得分,稱(chēng)h(α)=uα+vα為α的精確度. 得分函數(shù)出發(fā)點(diǎn)是:隸屬度比非隸屬度具有越多的優(yōu)勢(shì),越滿足決策者要求.而精確度函數(shù)出發(fā)點(diǎn)是:確定的信息越多,越滿足決策者要求.

關(guān)于直覺(jué)模糊數(shù)的排序方法很多,主要介紹以下方法:

定義1.7[2,33]設(shè)α1=(uα1,vα1),α2=(uα2,vα2)為直覺(jué)模糊數(shù),若s(α1)h(α2),稱(chēng)α1大于α2,記為α1>α2.

定義1.8[2,33]設(shè)Y={y1,y2,…,yn}為方案集,決策者對(duì)n個(gè)方案進(jìn)行比較得到判斷矩陣Q=(qij)n×n,其中,qij=(uij,vij), 0≤uij≤1,0≤vij≤1,i,j=1,2,…,n.uij表示決策者對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)偏愛(ài)yi的程度,vij表示決策者對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)偏愛(ài)yj的程度, 1-uij-vij表示決策者對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)猶豫的程度,若uij∈[0,1],vij∈[0,1],uij+vij≤1,uij=vji,vij=uji,uii=vii=0.5，i,j=1,2,…,n,稱(chēng)Q為直覺(jué)判斷矩陣.

定義1.9[2,33]設(shè)Q=(qij)n×n為直覺(jué)判斷矩陣,若對(duì)任意的i,j,k=1,2,…,n,當(dāng)qik≥(0.5,0.5),qkj≥(0.5,0.5)時(shí),必有qij≥(0.5,0.5),則稱(chēng)Q滿足傳遞性.

2 直覺(jué)判斷矩陣加型一致性的新定義及其等價(jià)條件

為了方便起見(jiàn),首先對(duì)Chen和Tan定義的直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形.設(shè)直覺(jué)模糊數(shù)為α=(uα,vα),令

即

模糊互補(bǔ)判斷矩陣B=(bij)n×n滿足加型一致性的條件是

(bik-0.5)+(bkj-0.5)=(bij-0.5)，

i,j,k=1,2,…,n.

上式可以理解為:任意的i,j,k=1,2,…,n,決策者對(duì)方案yi和yk進(jìn)行比較時(shí)yi的“得分”(bik-0.5)與對(duì)方案yk和yj進(jìn)行比較時(shí)yk的“得分”(bkj-0.5)之和等于對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)yi的“得分”(bij-0.5).受此啟發(fā),我們認(rèn)為決策者給出的直覺(jué)判斷矩陣在得分方面滿足加型傳遞性應(yīng)該是加型一致性直覺(jué)判斷矩陣的一個(gè)必要條件. 設(shè)Q=(qij)n×n,其中,qij=(uij,vij),i,j=1,2,…,n，則Q在得分方面滿足加型傳遞性可以表示為

即

化簡(jiǎn)得

(1)

直覺(jué)判斷矩陣不僅蘊(yùn)含著直覺(jué)模糊數(shù)的得分信息，還包含有精確度方面的信息,因此,在精確度方面,直覺(jué)判斷矩陣滿足某種傳遞性也應(yīng)該是加型一致性直覺(jué)判斷矩陣的一個(gè)必要條件. 而加型一致性模糊互補(bǔ)判斷矩陣B=(bij)n×n在精確度方面其實(shí)滿足等式:

因此,我們要求直覺(jué)判斷矩陣在精確度方面滿足如下條件:

h((uik,vik))+h((ukj,vkj))=h((uij,vij))+1,

i,j,k=1,2,…,n.

即

(2)

提出加型一致性直覺(jué)判斷矩陣要滿足條件式(2)的原因在于兩個(gè)方面:一方面是直覺(jué)判斷矩陣在得分方面滿足加型傳遞性啟發(fā)我們認(rèn)為其在精確度方面也要滿足加型傳遞性; 另外一方面是我們找到的條件必須滿足:當(dāng)加型一致性直覺(jué)判斷矩陣退化為加型一致性模糊互補(bǔ)判斷矩陣時(shí)滿足該條件.

下面我們分析式(2)的意義.從式(2)可以看出:當(dāng)(uik+vik)增大, (ukj+vkj)也增大時(shí),必有(uij+vij)也增大. 即當(dāng)決策者對(duì)方案yi和yk進(jìn)行比較時(shí)給出判斷的精確度(uik+vik)增大, 并且對(duì)方案yk和yj進(jìn)行比較時(shí)給出判斷的精確度(ukj+vkj)也增大時(shí),決策者對(duì)方案yi和yj進(jìn)行比較時(shí)給出判斷的精確度(uij+vij)也應(yīng)增大. 同理,當(dāng)(uik+vik)減小, (ukj+vkj)也減小時(shí),必有(uij+vij)也減小.這與實(shí)際情況是相符合的.因此,式(2)利用加型一致性表示出了決策者在對(duì)方案兩兩比較給出判斷時(shí)必須滿足精確度(確定性的信息)方面的傳遞性.

因此,我們將同時(shí)滿足條件(1)和(2)的直覺(jué)判斷矩陣稱(chēng)之為加型一致性直覺(jué)判斷矩陣.

定義2.1設(shè)直覺(jué)判斷矩陣Q=(qij)n×n,其中,qij=(uij,vij),i,j=1,2,…,n，若Q滿足:

(uik-vik)+(ukj-vkj)=(uij-vij),

(uik+vik)+(ukj+vkj)=(uij+vij)+1,

i,j,k=1,2,…,n,

則稱(chēng)為直覺(jué)判斷矩陣Q滿足加型一致性.

下面我們研究加型一致性直覺(jué)判斷矩陣是否滿足傳遞性.根據(jù)直覺(jué)模糊數(shù)的排序函數(shù)即定義1.7知:

(3)

由直覺(jué)判斷矩陣Q滿足加型一致性的定義和式(3)可以得到如下定理.

定理2.1設(shè)直覺(jué)判斷矩陣Q=(qij)n×n,其中,qij=(uij,vij),i,j=1,2,…,n.若Q滿足加型一致性,則Q滿足傳遞性.

證明任意的i,j,k=1,2，…，n,當(dāng)qik≥(0.5,0.5),qkj≥(0.5,0.5)時(shí),下證qij≥(0.5,0.5).

若qik>(0.5,0.5),qkj≥(0.5,0.5),則uik-vik>0,ukj-vkj≥0.根據(jù)Q滿足加型一致性, 故由式(1)知uij-vij>0,再由式(3)知qij≥(0.5,0.5).

同理可證: 若qik≥(0.5,0.5),qkj>(0.5,0.5),則qij≥(0.5,0.5).

若qik=(0.5,0.5),qkj=(0.5,0.5),則根據(jù)Q滿足加型一致性, 故由式(1)知uij-vij=0,又由式(2)知uij+vij=1,因此,uij=vij=0.5.再由式(3)知qij≥(0.5,0.5).

□

下面我們對(duì)直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性定義做進(jìn)一步的分析.

根據(jù)定義2.1,加型一致性直覺(jué)判斷矩陣Q應(yīng)滿足方程組:

(4)

顯然,上面的方程組等價(jià)于

于是我們得到如下結(jié)論:

定理2.2設(shè)直覺(jué)判斷矩陣Q=(qij)n×n,其中,qij=(uij,vij),i,j=1,2,…,n,則Q滿足加型一致性當(dāng)且僅當(dāng)Q滿足如下方程組:

(5)

定理2.2給出了直覺(jué)判斷矩陣Q滿足加型一致性的等價(jià)條件.實(shí)際上,方程組(5)表示意義是:直覺(jué)判斷矩陣Q的所有元素在隸屬度和非隸屬度方面均要滿足加型傳遞性.

3 直覺(jué)判斷矩陣排序的中轉(zhuǎn)法及其性質(zhì)

設(shè)決策者給出的直覺(jué)判斷矩陣為Q=(qij)n×n,其中，qij=(uij,vij),i,j=1,2,…,n.為了方便起見(jiàn),記U=(uij)n×n, 記V=(vij)n×n. 在現(xiàn)實(shí)決策過(guò)程中,由于主觀和客觀的原因,決策者給出的直覺(jué)判斷矩陣Q往往不滿足加型一致性,即往往不滿足

定理3.1直覺(jué)判斷矩陣為Q=((uij,vij))n×n,通過(guò)中轉(zhuǎn)法求得矩陣U=(uij)n×n和V=(vij)n×n的排序向量分別為{uj,j=1,2,…,n},{vj,j=1,2,…,n},則

i=1,2,…,n,

證明①

同理可得

i=1,2,…,n.

故ui>0,i=1,2,…,n.

同理可得vi>0,i=1,2,…,n.

由

知,當(dāng)n≥3時(shí),

當(dāng)n=2時(shí),

同理可得u2+v2=1.因此,

uj+vj≤1,j=1,2,…,n.

□

以上求直覺(jué)判斷矩陣的直覺(jué)模糊數(shù)型排序向量的方法稱(chēng)為直覺(jué)判斷矩陣排序中轉(zhuǎn)法.

由于模糊互補(bǔ)判斷矩陣的中轉(zhuǎn)法具有強(qiáng)條件下保序性、置換不變性等很多優(yōu)良的性質(zhì),下面主要研究我們討論的直覺(jué)判斷矩陣排序中轉(zhuǎn)法是否也具有類(lèi)似的性質(zhì).

定理3.2直覺(jué)判斷矩陣排序中轉(zhuǎn)法是強(qiáng)條件下保序的.

假設(shè)(uij,vij)≥(ulj,vlj),j=1,2,…,n,下面證明(ui,vi)≥(ul,vl).

由定理3.1結(jié)果可知:

記∧={j|uij-vij>ulj-vlj,j=1,2,…,n}.

另外,若(uij,vij)=(ulj,vlj),j=1,2,…,n,顯然有(ui,vi)=(ul,vl).

□

定理3.2的結(jié)果說(shuō)明:本文給出的求解直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重向量的中轉(zhuǎn)法及運(yùn)用直覺(jué)模糊數(shù)的排序規(guī)則對(duì)方案進(jìn)行排序是合理的.

類(lèi)似于模糊互補(bǔ)判斷矩陣是序傳遞的定義,我們給出直覺(jué)判斷矩陣為序傳遞的定義.

定義3.1直覺(jué)判斷矩陣Q=((uij,vij))n×n稱(chēng)為序傳遞的,若(uij,vij)≥(0.5,0.5),則任意k=1,2,…,n,有(uik,vik)≥(ujk,vjk);若(uij,vij)=(0.5,0.5),則任意k=1,2,…,n,有(uik,vik)≥(ujk,vjk),或者任意k=1,2,…,n,有(uik,vik)≤(ujk,vjk).

由定義3.1和定理3.2直接得到下述結(jié)論.

(ui,vi)≥(uj,vj)；

當(dāng)(uij,vij)=(0.5,0.5)時(shí),必有(ui,vi)≥(uj,vj),或者(ui,vi)≤(uj,vj).

最后根據(jù)定理3.1得到的uj和vj,j=1,2,…,n的表達(dá)式很容易得到以下結(jié)論.

定理3.4直覺(jué)判斷矩陣排序中轉(zhuǎn)法具有置換不變性.

4 實(shí)例分析

利用定理3.1的結(jié)果計(jì)算直覺(jué)判斷矩陣R的權(quán)重為

故

5 結(jié)論

本文主要研究了兩個(gè)方面的問(wèn)題.一方面是關(guān)于直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性定義的問(wèn)題.雖然已經(jīng)有一些學(xué)者從不同的角度對(duì)直覺(jué)判斷矩陣加型一致性給出了定義(如權(quán)重范圍的角度[2,26]),但是沒(méi)有從直覺(jué)模糊數(shù)本身具有的特點(diǎn)給出直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性定義,因此我們從直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確度函數(shù)角度給出了直覺(jué)判斷矩陣的加型一致性的新定義. 另一方面是關(guān)于確定直覺(jué)判斷矩陣的權(quán)重問(wèn)題.本文根據(jù)推導(dǎo)出的加型一致性等價(jià)條件運(yùn)用轉(zhuǎn)換函數(shù)將實(shí)際決策者給出的直覺(jué)判斷矩陣轉(zhuǎn)換為兩個(gè)加型一致性模糊互補(bǔ)判斷矩陣,然后對(duì)這兩個(gè)矩陣運(yùn)用行和歸一的方法分別求出原直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重的隸屬度和非隸屬度,并利用直覺(jué)模糊數(shù)的排序方法進(jìn)行排序.因此它是一種中轉(zhuǎn)的方法,其特點(diǎn)是:得到的直覺(jué)判斷矩陣權(quán)重結(jié)果明確、易于求解,而且具有很多優(yōu)良的性質(zhì).直覺(jué)判斷矩陣的權(quán)重確定方法可以應(yīng)用到基于偏好信息的決策理論和方法中(如不確定性多目標(biāo)決策的交互滿意法),具有一定的應(yīng)用價(jià)值.當(dāng)然我們只是對(duì)直覺(jué)判斷矩陣的權(quán)重研究作了初步探索,與其相關(guān)的問(wèn)題還值得進(jìn)一步研究.例如，現(xiàn)代技術(shù)(特別是物聯(lián)網(wǎng)技術(shù))迅速發(fā)展為人們提供了動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)的決策數(shù)據(jù)，基于動(dòng)態(tài)直覺(jué)模糊判斷矩陣的決策和評(píng)估方法值得進(jìn)一步思考.

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Deriving intuitionistic fuzzy number priority weights from intuitionistic judgment matrix

TU Zhenkun1,2, LIU Xinbao1

(1.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;2.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The problem of the weights of intuitionistic judgment matrix (IGM) was discussed, and the consistency of IGM, which is related to the reliability of the weights, was explored. From the perspectives of the score function and accuracy function of intuitionistic fuzzy value, a new definition of additive consistency of IGM was given, and an equivalent condition for additive consistency was achieved. To make full use of the information of the original IGM and make the decision meet the consistency, the original IGM was converted into two additive consistency fuzzy judgment matrices, which was achieved by the transformation function arising from the equivalent condition. The membership degree and the non-membership degree of the original IGM’s weights were respectively achieved by normalizing rank aggregation to the two additive consistency fuzzy judgment matrices. Thus the intuitionistic fuzzy number priority weights of the IGM were obtained, and ranked with a sequencing rule for intuitionistic fuzzy values. The excellent properties of the proposed method were discussed, and its validity and practicability were illustrated in an example.

intuitionistic judgment matrix; intuitionistic fuzzy number priority weight; middle translation method; consistency

0253-2778(2013)05-0420-09

C934

A

10.3969/j.issn.0253-2778.2013.05.010

Tu Zhenkun, Liu Xinbao. Deriving the intuitionistic fuzzy number priority weights from intuitionistic judgment matrix[J]. Journal of University of Science and Technology of China, 2013,43(5):420-428.

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2012-11-26；

2013-03-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(71231004，71171071)資助.

涂振坤(通訊作者),男,1978年生,博士生/講師. 研究方向:模糊決策. E-mail:zhenkuntu@126.com