詹銅霞 徐秀斌 郭曉梅

(浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，浙江 金華321004)

0 引言

設(shè)D是Rn的一個開凸子集,令H是D?Rn到Rn的非線性算子,求解非線性方程

H(x)=0

(1)

的近似解是一個重要的問題.目前,在H是Fréchet可導(dǎo)的情況下,牛頓法是求解非線性方程(1)的最有效方法之一,其迭代式為:

xn+1=xn-H′(xn)-1H(xn),n=0,1,2,... .

(2)

然而,當(dāng)H不可導(dǎo)時,牛頓迭代法就不能用來求非線性方程(1)的近似解.在許多不可微方程的研究中,有兩類重要的方法:一類是用差商來替代導(dǎo)數(shù)H′,如弦割法[1]:

xn+1=xn-[xn,xn-1;H]-1H(xn),n=0,1,2,... .

(3)

還有一類是用B-次微分來替代導(dǎo)數(shù)H′[2-6],Qi和Sun在文獻(xiàn)[2]中構(gòu)造了廣義牛頓法:

xn+1=xn-Vn-1H(xn),n=0,1,2,... ,

(4)

其中Vn∈?BH(xn).

在研究過程中人們發(fā)現(xiàn),當(dāng)H分解為可導(dǎo)部分F和不可導(dǎo)部分G,即

H(x)=F(x)+G(x)=0

(5)

時,會得到更好的收斂結(jié)果[7,8].Catinas在文獻(xiàn)[9]中,構(gòu)造了新的迭代法:

xn+1=xn-(F′(xn)+[xn,xn-1;G])-1H(xn),n=0,1,2,... .

(6)

受文獻(xiàn)[9]的啟發(fā),本文構(gòu)造迭代法:

xn+1=xn-(F′(xn)+Vn)-1H(xn),n=0,1,2,... ,

(7)

其中Vn∈?BG(xn),來求非線性方程(5)的解.當(dāng)F為零時,方法(7)就是方法(4),當(dāng)G為零時，方法(7)就是牛頓法.另外,當(dāng)H為某些特殊的函數(shù)時,如非線性方程組:

從計算量上看,計算Vn比[xn,xn-1;G]少.

1 預(yù)備知識

? B-次微分[3]:根據(jù)Rademacher理論,G的局部連續(xù)性意味著G是幾乎處處可導(dǎo).令DF為G的可導(dǎo)點集,則?BG(x)={limxi→xG′(xi),xi∈DF}就叫做G在點x處的B-次微分.

2 局部收斂性

為了得到算法(7)的局部收斂性,需要下面的假設(shè):

設(shè)x*∈D是H的一個解,即H(x*)=0.

(II)G在x*處滿足假設(shè)A1;

注:在ω1是非減函數(shù)的情況下,條件(V)中h總是存在,如h(t)=1.我們也可以考慮h(t)=supz>0ω1(tz)/ω1(z).

定理1 設(shè)F是Fréchet可導(dǎo),G是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)但不可導(dǎo).假設(shè)(I)-(V)成立,令r:=sup{t∈(0,r1):β[Tω1(t)+λ1+ω1(t)+ω2(t)]<1},則對于任意的x0∈B(x*,r),算法(7)產(chǎn)生的序列{xn}?B(x*,r)且收斂到方程H(x)=0的解x*.

此次改革，優(yōu)化了部門內(nèi)設(shè)機構(gòu)設(shè)置，完成了中央下達(dá)的人員編制精簡20%的任務(wù)。同時還進(jìn)一步規(guī)范了部門機關(guān)黨務(wù)與干部人事管理機構(gòu)設(shè)置的中央紀(jì)委監(jiān)察部派駐紀(jì)檢監(jiān)察機構(gòu)設(shè)置。

證明對n=0,1,2,...,令Ln=F′(xn)+Vn,其中Vn∈?BG(xn).由(I),(III),(IV)和ω1,ω2的非減性,得到

-[G(x0)-G(x*)-V0(x0-x*)]}.

所以,從(II),(III)和(V),得到

這意味著x1∈B(x*,r).

假設(shè)下面的論斷對n成立:

(in)xn∈B(x*,r);

所以xn+1∈B(x*,r).由數(shù)學(xué)歸納法知論斷(in),(iin),(iiin)對所有的n都成立.從而算法(7)產(chǎn)生的序列{xn}?B(x*,r)且收斂到x*.定理證畢.

定理2 設(shè)F是Fréchet可導(dǎo),G是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)但不可導(dǎo).假設(shè)(I),(III)-(V)成立,令R:=sup{t∈(0,r2):β[Tω1(t)+λ2tp+ω1(t)+ω2(t)]<1},且G在點x*處滿足假設(shè)A2,則對于任意的x0∈B(x*,R),算法(7)產(chǎn)生的序列{xn}?B(x*,R)且超線性收斂到方程H(x)=0的解x*.

證明與定理1的證明類似,易得:

所以{xn}?B(x*,R)且超線性收斂到x*.定理證畢.

參考文獻(xiàn):

[1]Hernández M A,Rubio M J.A new type of recurrence relations for the secant method[J].International journal of computer mathematics,1999,72(4): 477-490.

[2] Qi L,Sun J.A nonsmooth version of Newton's method[J].Mathematical programming,1993,58(1-3): 353-367.

[3] Qi L.Convergence analysis of some algorithms for solving nonsmooth equations[J].Mathematics of operations research,1993,18(1): 227-244.

[7] Hernández M A,Rubio M J.The Secant method for nondifferentiable operators[J].Applied mathematics letters,2002,15(4): 395-399.

[8] Hernández M A,Rubio M J.A modification of Newton's method for nondifferentiable equations[J].Journal of computational and applied mathematics,2004,164: 409-417.

[9] Catinas E.On some iterative methods for solving nonlinear equations[J].Revue d'analyse Numerique et de theorie de l'approximation,1994,23(1): 47-53.