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(上海師范大學 天體物理聯(lián)合研究中心, 上海 200234)

0 引 言

當今大量的天文學觀測如SNe Ia超新星、宇宙微波背景溫度的各向異性,星系團的X射線表面亮度,球狀星系團和年老的高紅移星系團的宇宙年齡等,發(fā)現(xiàn)宇宙中存在著一種具有排斥力的能量,占宇宙總能量的73%左右.由于這種能量不能被直接觀測到,所以稱為暗能量.目前暗能量宇宙學模型主要有宇宙學常數(shù)[1]、廣義的Chaplygin宇宙學[2]、Quintessence宇宙學[3]、Phantom宇宙學[4]、K-essence宇宙學[5]、Tachyon宇宙學[6]、全息暗能量宇宙學[7]等.但是這些暗能量宇宙學模型帶來了宇宙巧合問題,即現(xiàn)在宇宙中為什么暗能量密度和物質(zhì)密度的量級是相等的?而暗能量與暗物質(zhì)的相互作用的引入可以緩和這個問題[8].在文獻[9]中,首次提出了具有±號相互轉(zhuǎn)換的相互作用項,其中±號決定了能量轉(zhuǎn)移方向(“+”表示能量由暗能量遷移到暗物質(zhì);“-”表示能量由暗物質(zhì)遷移到暗能量).在文中將討論兩種具有不同的±號相互轉(zhuǎn)換的相互作用項的廣義Chaplygin宇宙模型,對模型中存在的解進行了完整分類,找到了一些穩(wěn)定的吸引子解緩解了宇宙巧合問題,同時也找到了一些異宿軌線解.

1 自洽系統(tǒng)

(1)

(2)

其中κ2=8πG,H是哈勃參量.能量守恒方程為:

(3)

(4)

其中Q是可變號的相互作用項,通常有3種形式:3βqHρg,3βqHρm,3βqH(ρg+ρm),β是一個無量綱量,q是減速參量.當宇宙從減速(q>0)到加速(q<0)時,Q就改變正負號,因此導致不一樣的宇宙演化.本研究考慮Q的前兩種形式,第三種形式比較復雜將在另一篇文章中作詳細討論.

引入3個無量綱參量

(5)

在Q=3βqHρg的情形下,方程(1)～(4)可以寫成自治系統(tǒng)方程組:

(6)

Ωg+Ωm=1 .

(7)

其中Ωg≡x和Ωm≡κ2ρm/3H2分別是GCG和暗物質(zhì)的密度參量.而GCG的態(tài)方程和聲速可以寫成如下形式:

(8)

(9)

在Q=3βqHρm的情形下,得到了自治系統(tǒng)方程組:

(10)

2 穩(wěn)定臨界點及其屬性

這一節(jié)中將討論自治系統(tǒng)方程組(6)和(10)中存在的穩(wěn)定臨界點及其屬性.臨界點(xc,yc)是通過求解下面的方程組得到:

(11)

對于動力系統(tǒng)(6),通過式(11)得到P1:(0,0)和P2:(1/(1-β),-1).因為x≡κ2ρg/3H2≥0,所以β要小于1才有物理意義.對于動力系統(tǒng)(10)得到臨界點P3:(1,0)和P4:(1,-1).

為了判定臨界點Pi(xc,yc)(i=1,2,3,4)的穩(wěn)定性,在Pi附近線性化動力學系統(tǒng),得到一階的擾動方程:

(12)

(13)

(14)

矩陣Ai的特征方程可以寫成:

λ2-(trAi)λ+detAi=0 .

(15)

在trAi-detAi平面上,根據(jù)(trAi)2-4detAi=0劃分的區(qū)域或曲線對應(yīng)于特征值的各種情況,即確定了臨界點Pi的性質(zhì).利用這個方法,得到了系統(tǒng)(6)和系統(tǒng)(10)中臨界點的性質(zhì),分別列入表1和表2,可以看出它們不同于文獻[2].

一個不穩(wěn)定臨界點的軌線與一個穩(wěn)定的臨界點的軌線重合,這一重合形成了異宿軌線解.通過臨界點穩(wěn)定性和數(shù)值計算的分析,發(fā)現(xiàn)了在系統(tǒng)(6)和(10)中存在異宿軌線解,如圖1(a)～(c)和圖2(a)～(b)所示.

圖1 系統(tǒng)(6)對應(yīng)的相圖

圖2 系統(tǒng)(10)對應(yīng)的相圖

序號P1P2αβ1鞍點匯焦點0.725<α<1-2α{4+α+2[3(1+α)]1/2} /(α-2)2<β<-{1+3α+[(1+α)(1+5α)]1/2}/α2鞍點匯結(jié)點-2β/[4+β(6+β)]< α<2β{β-4-2[3(1-β)]1/2}/(2+β)2β<-8.2753源結(jié)點匯結(jié)點0<α<0.75{-1-3α-[(1+α)(1+5α)]1/2}/α<β<-2α{2[3(1+α)] 1/2+4+α}/(α-2) 24源結(jié)點匯焦點2β{β-4-2[3(1-β)]1/2}/(2+β)2<α<-2β/[4+β(6+β)]且1.182×10-15<α<-2β/[4+β(6+β)]-8.275<β<-2.363×10-15且-0.536<β<-2.363×10-155鞍點匯焦點-2β/[4+β(6+β)]< α<2β{β-4+2[3(1-β)]1/2}/(2+β)2-0.536<β<-2.363×10-156鞍點匯結(jié)點2β{β-4+2[3(1-β)]1/2}/(2+β)2<α<1-0.202<β<1

表2 系統(tǒng)(10)中穩(wěn)定臨界點的屬性

3 數(shù)值計算結(jié)果

在本節(jié)中將用數(shù)值方法研究動力學系統(tǒng)(6)和(10),其中x和y的初始值的選取見表3.在圖3～6中,研究了系統(tǒng)(6)的數(shù)值演化,其中選取α=0.7和β=-0.01,并給出數(shù)值結(jié)果.從圖4中看到，不同的GCG態(tài)方程wg值,不管wg>-1(GCG的演化行為類似quintessence)或wg<-1(GCG的演化行為類似phantom),隨著時間的演化最后終都趨向某個值,β-1.當β=0時,wg=-1即GCG的演化行為類似宇宙學常數(shù).而β值的最終的選取將由以后的觀測確定.在圖5當中可以看到，不同的Ωg和Ωm的初始值對這兩個量的演化影響并不大.在圖6中,聲速根據(jù)表3依次取不同的初始值,隨著時間的演化,這些曲線單調(diào)趨近于某個值.在圖7～10中研究了系統(tǒng)(10)的數(shù)值演化,選取α=0.5和β=1.在圖8中看到，不管初始值wg>-1或wg<-1,隨著時間演化wg先不斷減小然后增大到wg>-1,最后又開始減少并趨向于wg=-1.也就是說,在這個GCG宇宙模型中,類似phantom行為和quintessence行為交替出現(xiàn),最終以類似宇宙學常數(shù)行為演化.在圖9中,Ωg和Ωm的演化與圖5相似.在圖10中,聲速隨時間的演化不同于圖6.取不同初始值的聲速首先隨時間不斷增大然后減少最后慢慢變大到趨于某個數(shù)值.

圖3 動力學系統(tǒng)(6)中x和y的相圖

圖4 動力學系統(tǒng)(6)中態(tài)方程wg隨時間的演化曲線(圖中從上到下的曲線對應(yīng)著表3中從右到左的x和y的值)

圖5 動力學系統(tǒng)(6)中不同的x和y的初始值(表3)所對應(yīng)的GCG密度參量Ωg(實線)和暗物質(zhì)的密度參量Ωm(虛線)隨時間的演化

圖6 動力學系統(tǒng)(6)中GCG的聲速隨時間的演化(圖中從上到下的曲線對應(yīng)著表3中從左到右的x和y的值)

x0.140.150.160.170.180.190.20y-0.19-0.18-0.17-0.16-0.15-0.14-0.13

圖7 動力學系統(tǒng)(10)中x和y的相圖

圖8 動力學系統(tǒng)(10)中態(tài)方程wg隨時間的演化 (圖中從上到下的曲線對應(yīng)著表3中從右到左的x和y的值)

圖9 動力學系統(tǒng)(10)中不同的x和y的初始值(表3) 所對應(yīng)的GCG密度參量Ωg(實線)和暗物質(zhì)的 密度參量Ωm(虛線)隨時間的演化.

圖10 動力學系統(tǒng)(10)中GCG的聲速隨時間的演化 (圖中從上到下的曲線對應(yīng)著表3中從左到右的x和y的值)

參考文獻:

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