印凡成，陳瑞冰，黃健元

(河海大學(xué) a.理學(xué)院;b.公共管理學(xué)院，南京 210098)

投資者將資金投放于有價(jià)證券市場都希望在一定的風(fēng)險(xiǎn)水平下獲得較高的預(yù)期收益率，或預(yù)期收益率不低于某一期望值時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)能最小。一般情況下，有價(jià)證券的預(yù)期收益率越高，投資風(fēng)險(xiǎn)也就越大。但采用恰當(dāng)?shù)耐顿Y策略可以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)際上，證券組合投資就是一種降低投資風(fēng)險(xiǎn)的有效途徑。1952年，馬科維茲(Markowtz，H.M.)［1］提出均值 - 方差模型，奠定了現(xiàn)代證券投資組合理論的基礎(chǔ)。該模型用方差度量風(fēng)險(xiǎn)，但是當(dāng)投資者對(duì)于收益、風(fēng)險(xiǎn)理解不對(duì)稱以及證券收益率不服從正態(tài)分布時(shí)，直接用方差度量風(fēng)險(xiǎn)會(huì)有很大的誤差。隨后很多學(xué)者提出了改進(jìn)模型，其中一個(gè)主要途徑是用新的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)代替方差建立模型，如:Young［2］提出的以投資組合最小順序統(tǒng)計(jì)量作為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的投資組合模型;Cai等［3］以投資組合各項(xiàng)資產(chǎn)收益中最大期望絕對(duì)偏差度量風(fēng)險(xiǎn)的投資組合模型。近年來VaR方法得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。國際上，三十人小組、美國證券交易委員會(huì)以及歐盟銀行監(jiān)管部門等［4］都將 VaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量的標(biāo)準(zhǔn)。在國內(nèi)，VaR方法也引起了金融機(jī)構(gòu)和學(xué)者的關(guān)注。2002年，Alexander等［5］研究了允許賣空情況下的以VaR為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的“均值-VaR”模型投資組合有效前沿。2005年，郭丹等［6］研究了機(jī)會(huì)約束下的均值-VaR組合投資問題。2008年，李宏杰［7］考慮證券投資組合過程中的交易費(fèi)用，建立機(jī)會(huì)約束下的含資本結(jié)構(gòu)因子和交易成本的均值-VaR模型。2010年，陳德秀、王建國［8］對(duì)均值-VaR分析下資產(chǎn)定價(jià)模型進(jìn)行了拓展。經(jīng)濟(jì)全球化使得金融市場上風(fēng)險(xiǎn)與日俱增，采用新的更恰當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)金融風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行監(jiān)管，已成為各金融機(jī)構(gòu)和金融當(dāng)局的當(dāng)務(wù)之急。

本文從證券投資組合理論的風(fēng)險(xiǎn)度量著手，基于熵可以作為不確定性度量指標(biāo)，把熵作為VaR度量風(fēng)險(xiǎn)的一種有效補(bǔ)償，以VaR和叉熵的線性組合為最小目標(biāo)函數(shù)，預(yù)期收益率作為約束條件，并根據(jù)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的具體厭惡程度對(duì)模型中各種備選證券的投資比例做出限定，構(gòu)建考慮交易成本、不允許賣空的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型，并利用實(shí)際數(shù)據(jù)求得該模型的最優(yōu)解及各資產(chǎn)的分配比例，證實(shí)該模型在我國金融風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)管中確實(shí)行之有效。

1 模型構(gòu)建

假設(shè)有一種無風(fēng)險(xiǎn)證券和n種風(fēng)險(xiǎn)證券可供投資者選擇，投資分為m期，第i種風(fēng)險(xiǎn)證券在t時(shí)的收益率為rti(t=1，2，…，m;i=1，2，…，n)，收益率的數(shù)學(xué)期望為ri(i=1，2，…，n)，則 ri=第i種風(fēng)險(xiǎn)證券的方差為(i=1，2，…，n)，第i種和第j種風(fēng)險(xiǎn)證券的協(xié)方差為σij，因此(rtj-rj)。假設(shè)每筆風(fēng)險(xiǎn)交易都有c倍的交易成本，無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率為。各風(fēng)險(xiǎn)證券占總投資的比重分別為xi(i=1，2，…，n)，無風(fēng)險(xiǎn)證券的投資比例為x0，顯然各資產(chǎn)的投資比例之和要等于1，即可作為模型的一個(gè)約束條件。不允許賣空時(shí)有xi≥0(i=0，1，…，n)。投資者為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)又可獲得滿意的收益，通常將無風(fēng)險(xiǎn)證券的投資比例設(shè)定在某一固定范圍內(nèi)，本研究設(shè)a≤x0≤b，其中0≤a≤b≤1。各風(fēng)險(xiǎn)證券的投資比例xi(i=1，2，…，n)的具體波動(dòng)范圍可根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度進(jìn)行設(shè)定，本研究假設(shè)ai≤xi≤bi(i=1，2，…，n)，其中 ai、bi為常數(shù)，且滿足0≤ai≤bi≤1。對(duì)各證券投資比例xi的限定也是模型的約束條件，則投資組合的預(yù)期收益率和收益率的方差分別為

VaR指在正常的市場條件和給定的的置信水平α下，一定時(shí)期Δt內(nèi)，投資組合最大的可能損失，數(shù)學(xué)表達(dá)式為:P(rp＜-VaR)≤1-α，其中α為置信水平，VaR為置信水平α下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值。

通常情況下，投資組合的收益率并不服從正態(tài)分布，可應(yīng)用Bertsimas和Popescu的結(jié)論給出計(jì)算VaR值的嚴(yán)格形式［9］:，其中α∈(1/2，1]為置信水平。將投資組合的預(yù)期收益率和收益率的方差代入可得VaR的具體表達(dá)形式

常說的熵即信息熵，表示信息傳輸?shù)钠骄淮_定性，數(shù)學(xué)表達(dá)式為Sn(p1，p2，…，pn)=最小叉熵原理可表達(dá)為如下數(shù)學(xué)規(guī)劃問題［10］:

其中:p=(p1，p2，…，pn)為待求概率分布向量;q=(q1，q2，…，qn)為已知概率分布向量qi＞0，i=1，2，…，n);fj(j=1，2，…，m)為各階統(tǒng)計(jì)矩函數(shù);E(·)表示各階統(tǒng)計(jì)矩的數(shù)學(xué)期望值;D(p，q)為叉熵函數(shù)，表示待求概率分布p到已知概率分布q的單向距離。

在一定的期望收益水平p下，即投資組合的期望收益率rp不低于p，也就是rp≥p，將前面給出的投資組合期望收益率的表達(dá)式代入上式可以得到模型的一個(gè)約束條件，即

下面對(duì)目標(biāo)函數(shù)給出進(jìn)一步說明:基于熵可以作為不確定性度量指標(biāo)，本文把熵作為VaR度量風(fēng)險(xiǎn)的一種有效補(bǔ)償，以收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下嚴(yán)格形式的VaR和叉熵函數(shù)的線性組合來度量風(fēng)險(xiǎn)，即目標(biāo)函數(shù)為

將VaR具體形式代入，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

其中0≤λ≤1為調(diào)節(jié)參數(shù)，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好決定。

如果僅考慮投資組合的期望收益率在既定水平下投資風(fēng)險(xiǎn)最小，則由上面的分析可知，在收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下構(gòu)建考慮交易成本、不允許賣空的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型如下:

該模型的意義在于:通過確定適當(dāng)?shù)慕M合證券的投資比例，可以使得證券組合投資的預(yù)期收益率和投資風(fēng)險(xiǎn)都達(dá)到投資者的要求。這一結(jié)論不僅對(duì)于一般散戶投資者的投資決策具有一定的指導(dǎo)意義，而且對(duì)于大規(guī)模的投資決策尤其機(jī)構(gòu)投資者也有著非常重要的意義。

2 實(shí)例分析

設(shè)某投資者選擇 A、B、C、D、E五只股票和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券F進(jìn)行投資。其中無風(fēng)險(xiǎn)證券F的日收益率r0=0.25%，投資比例設(shè)定在10%≤x0≤45%。B股票的投資比例為0.5%≤x2≤5%，D股票的投資比例為0.3%≤x4≤2.5%，其他3只股票的投資比例不做限制。調(diào)節(jié)參數(shù)取λ=0.01，另設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)交易費(fèi)用率c=0.007 5，設(shè)收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下的均值-VaR-熵模型的置信水平為95%。已知A、B、C、D、E五只股票2010年5月至10月101個(gè)交易日的日收盤價(jià)，可計(jì)算5只股票各自的日收益率均值和方差，如表1所示，5只股票日收益率的協(xié)方差如表2所示。

表1 5只股票2010年5月至10月日收益率均值及方差

表2 5只股票2010年5月至10月日收益率協(xié)方差

由表1可知五只股票日收益率均值的最大值為3.53%，最小值為1.67%，而無風(fēng)險(xiǎn)證券F的日收益率為0.25%，低于5只股票日收益率均值的最小值，由投資比例的非負(fù)性和歸一性［11］可知min{ r0，rmin}≤p≤rmax，即:0.25%≤p≤3.53%。

此處投資者能接受的投資組合最小期望收益率p取值為2.0%時(shí)，將數(shù)據(jù)代入前面建立的均值-VaR-熵模型，用Matlab軟件編程進(jìn)行求解非線性最優(yōu)化問題，可得具體投資比例，見表3。

表3 收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下均值-VaR模型求解結(jié)果

也就是說，在滿足收益要求及投資限制條件下，各證券投資比例為:當(dāng)X=(0.282 8，0.043 3，0.102 6，0.025 0，0.446 3，0.100 0)T時(shí)，模型目標(biāo)函數(shù)取得最小值，也就是最小風(fēng)險(xiǎn)M=0.376 5。由模型的最優(yōu)投資組合的求解可知，投資者會(huì)權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)和收益，在滿足預(yù)期收益的前提下選擇使得投資風(fēng)險(xiǎn)最小的組合來投資。此處的均值-VaR-熵模型考慮了投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，相對(duì)均值-方差模型來說更具有現(xiàn)實(shí)意義。

3 結(jié)束語

無論機(jī)構(gòu)還是個(gè)人投資者進(jìn)行投資時(shí)，都應(yīng)充分考慮可選擇的投資工具及風(fēng)險(xiǎn)收益特征，盡量采取多元化投資來保證收益或規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，并注重投資組合的科學(xué)性、合理性及有效性。不同于Markowitz的均值-方差模型，本文從證券投資組合理論的風(fēng)險(xiǎn)度量著手，基于熵可以作為不確定性度量指標(biāo)，把熵作為VaR度量風(fēng)險(xiǎn)的一種有效補(bǔ)償，以VaR和叉熵函數(shù)的線性組合為最小目標(biāo)函數(shù)，預(yù)期收益率作為約束條件，并根據(jù)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的具體厭惡程度對(duì)模型中各種備選證券的投資比例做出限定，構(gòu)建考慮交易成本、引入無風(fēng)險(xiǎn)證券投資、不允許賣空、收益率服從非正態(tài)分布的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型，并利用實(shí)際數(shù)據(jù)求得該模型的最優(yōu)解及各資產(chǎn)的分配比例，是將VaR方法和熵函數(shù)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)金融市場風(fēng)險(xiǎn)管理中的一次有益嘗試。

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