方建士 章定國

1)(南京理工大學(xué)理學(xué)院,南京 210094)

2)(南京工程學(xué)院材料工程學(xué)院,南京 211167)

(2012年4月13日收到;2012年9月16日收到修改稿)

1 引言

旋轉(zhuǎn)懸臂柔性梁的動力學(xué)建模和振動分析在航天器、機器人和高速旋轉(zhuǎn)機構(gòu)等工程技術(shù)領(lǐng)域具有獨特的理論和應(yīng)用價值,很多工程實例可以理想化為旋轉(zhuǎn)懸臂梁,比如渦輪葉片、直升機機翼和衛(wèi)星天線等.建立大范圍旋轉(zhuǎn)懸臂梁的動力學(xué)模型需要考慮結(jié)構(gòu)柔性在運動中所產(chǎn)生的重大影響,傳統(tǒng)的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)理論和方法由于無法捕捉到大范圍運動引起的動力剛化項,造成仿真結(jié)果的偏差甚至錯誤[1].1987年,Kane等[1]指出,傳統(tǒng)零次近似模型在計算高速旋轉(zhuǎn)機構(gòu)的動力學(xué)問題時會產(chǎn)生錯誤,并提出“動力剛化”的概念.隨后,眾多學(xué)者對動力剛化問題進行了大量研究,并在此基礎(chǔ)上對柔性體變形和其大位移運動之間的剛?cè)狁詈蠁栴}開展了廣泛而深入的研究[2,3],并逐漸形成了以計入橫向變形引起的縱向縮短的二階耦合變形量為主要方法的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模方法.這些動力學(xué)方程在結(jié)構(gòu)上都比傳統(tǒng)的零次耦合模型增加了由二階耦合變形量引入的關(guān)于廣義坐標(biāo)的一階或更高階的量,假如忽略更高階量而保留一階量的話,這樣的模型就成為一次近似耦合模型.理論分析和實驗都證明了一次近似耦合模型的合理性.深入研究表明,大范圍運動柔性梁還存在著“動力柔化”現(xiàn)象[4,5].但是,無論對于動力剛化還是對于動力柔化的研究大多數(shù)僅局限于旋轉(zhuǎn)外接懸臂梁系統(tǒng).

旋轉(zhuǎn)懸臂柔性梁的振動特性一直以來也是眾多學(xué)者所感興趣的研究方向,Southwell和Cough[6]利用Rayleigh能量理論對旋轉(zhuǎn)運動梁的固有頻率進行研究,推導(dǎo)出著名的Southwell方程.隨后,Putter和Manor[7]在Southwell方程的基礎(chǔ)上利用有限元并考慮剪力、旋轉(zhuǎn)慣性等對梁的固有頻率和振型進行研究;Yoo和Shin[8]采用達朗貝爾原理和假設(shè)模態(tài)法研究旋轉(zhuǎn)懸臂梁固有頻率和振型的數(shù)值解;和興鎖等[9]應(yīng)用Lagrange方程研究了考慮剪切效應(yīng)且做大范圍旋轉(zhuǎn)運動的Timoshenko梁的固有頻率;陳思佳和章定國[10]研究了剛體-變截面梁系統(tǒng)的動力學(xué)特性.但在高層次剛?cè)狁詈侠碚摶A(chǔ)上對旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的動力學(xué)特性的研究目前尚少見.

本文對固結(jié)在旋轉(zhuǎn)剛環(huán)上內(nèi)接柔性梁的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模及其動力學(xué)特性進行研究,在精確描述柔性梁非線性變形的基礎(chǔ)上,利用Hamilton變分原理和假設(shè)模態(tài)法,在計入柔性梁由于橫向變形而引起的軸向變形的二階耦合量的條件下,推導(dǎo)出系統(tǒng)的一次近似耦合動力學(xué)方程,進而給出一次近似簡化模型.基于一次近似簡化模型,分析在非慣性系下內(nèi)接懸臂梁的動力學(xué)響應(yīng),并與外接懸臂梁進行比較;研究了旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的穩(wěn)定性;分析了內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速的收斂性,得出相關(guān)結(jié)論.

2 柔性懸臂梁的變形描述

本文采用等截面的Euler-Bernoulli梁模型,做旋轉(zhuǎn)運動的平面柔性梁如圖1所示.圖1中O-X Y為慣性坐標(biāo)系;o-xy為浮動坐標(biāo)系,固連在未變形的柔性梁上,r0為浮動坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的矢徑,r1為未變形時梁軸線上任意一點p0點在浮動坐標(biāo)系下的矢徑,u為p0點變形位移矢量,則p點相對于慣性坐標(biāo)系的矢徑可寫成

式中A為浮動坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的方向余弦矩陣.將(1)式對時間求導(dǎo),得在慣性坐標(biāo)系下p點的速度矢量

式中,

設(shè)x為 p0點在浮動坐標(biāo)系下的縱向坐標(biāo),則有r1=(x 0)T.根據(jù)彈性梁的變形理論,考慮完全幾何非線性變形,梁上p點的變形位移u為

式中,w1(x,t)為軸線的軸向伸長量,w2(x,t)為橫向彎曲變形量,是橫向彎曲引起的縱向變形量,稱為耦合變形量.該耦合變形量在傳統(tǒng)的零次近似方法中是不考慮的,但在某些條件下它會對系統(tǒng)的動力學(xué)特性產(chǎn)生重要影響.

圖1 做大范圍運動的柔性梁

采用假設(shè)模態(tài)法來描述柔性梁的變形,表示為

其中,?1(x)和?2(x)分別為梁的軸向和橫向振動模態(tài)函數(shù)行向量,B1(t)和B2(t)分別為梁的軸向和橫向振動模態(tài)坐標(biāo)列陣.

3 旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程

考慮如圖2所示的旋轉(zhuǎn)剛環(huán)內(nèi)接懸臂梁的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng),剛環(huán)上受到外驅(qū)動力矩M(t)的作用,過剛環(huán)圓心建立慣性坐標(biāo)系O-X Y,在柔性梁上建立浮動坐標(biāo)系o-xy,其中o為柔性梁和剛環(huán)的連接處,x軸沿未變形時梁的軸線通過轉(zhuǎn)軸O.剛環(huán)繞轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為Joh,半徑為a,均質(zhì)柔性梁的長度為L,單位長度質(zhì)量為ρA0,梁的抗彎剛度為E I,拉壓剛度為E A0.

圖2 旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁系統(tǒng)

上述旋轉(zhuǎn)剛環(huán)內(nèi)接柔性梁系統(tǒng)的動能可寫成

由于考慮系統(tǒng)在水平面內(nèi)運動,所以系統(tǒng)勢能只有彈性變形能,可寫成

根據(jù)Hamilton變分原理

其中δT和δV分別為系統(tǒng)動能和勢能的變分,δWF為作用在剛環(huán)上的外驅(qū)動力矩M(t)所做虛功,可表示為δWF=M(t)δθ.

(1)式中的r0=(?a cosθ ?a sinθ)T.在(5)式展開時,考慮到變形耦合項wc是橫向彎曲變形量w2的二階小量,故可以做適當(dāng)簡化,舍去與wc相關(guān)的一些高階量.根據(jù)(7)式,可得系統(tǒng)的一次近似耦合動力學(xué)方程

其中

需要指出的是,在傳統(tǒng)零次近似模型中由于直接套用了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的小變形假設(shè),認(rèn)為縱向和橫向變形間沒有耦合,因此在所建立的動力學(xué)方程中并不包含式(9),(13)和(14)式中的下劃線項.(13)式中的下劃線項稱為附加剛度項,傳統(tǒng)的零次近似模型在處理大范圍運動為高速時產(chǎn)生失效正是由于忽略了附加剛度項所導(dǎo)致的.

(9)—(15)式中相關(guān)的部分常值系數(shù)和矩陣為

其中 Ri∈ R1×n,S ∈ Rn×n,K 2∈ Rn×n.

在研究非慣性系下的動力學(xué)問題時,系統(tǒng)大范圍運動往往是已知的,不用求解.這種情況下的柔性梁動力學(xué)模型可由(8)式忽略大范圍運動方程而得到.忽略(8)式的第一行和第二行,可得內(nèi)接柔性梁的一次近似簡化模型

若忽略(19)式中的下劃線項,即可轉(zhuǎn)化為零次近似簡化模型.

4 內(nèi)接懸臂柔性梁的動力特性分析

由于柔性梁的縱向變形量級比橫向變形小很多,忽略縱向變形不會對橫向變形的動力特性造成很大影響.由(19)式可得一次近似簡化模型下的柔性梁的橫向自由振動微分方程

對(20)式進行無量綱化處理,引入無量綱變量和參數(shù)

其中T?=(ρA0L4/E I)1/2,δ稱為系統(tǒng)徑長比.(20)式可寫成

式中

其中

引入關(guān)于無量綱時間量?的調(diào)和函數(shù)

其中j為虛數(shù)單位,ω為無量綱固有頻率,Θ為常數(shù)列陣

將(25)式代入(21)式可得特征值問題

其中M和KC為對稱矩陣,表示為

4.1 內(nèi)接懸臂梁的動力柔化現(xiàn)象

眾多研究表明,旋轉(zhuǎn)外接懸臂柔性梁的一次近似簡化模型存在“動力剛化”效應(yīng)[2?4],即采用該模型進行動力學(xué)仿真,其結(jié)果不會出現(xiàn)發(fā)散,而且隨著角速度增大,其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率也增大.為了研究旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的動力學(xué)特性,取圖2所示旋轉(zhuǎn)剛環(huán)內(nèi)接懸臂梁旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的參數(shù):懸臂梁長度L=10 m,線密度ρA0=1.2 kg/m,截面抗彎剛度E I=14000 N·m2,E A0=686000 Pa·m2. 假定旋轉(zhuǎn)剛環(huán)由靜止開始做大范圍運動,大范圍運動角速度規(guī)律取為

其中,T=15 s,柔性梁在T=15 s時達到角速度ω0;ω0的取值為ω0==γ/T?.

圖3為系統(tǒng)徑長比δ=0.2,模態(tài)截斷數(shù)Nf=3時,內(nèi)接懸臂梁與外接懸臂梁的一次近似簡化模型在不同角速度時梁末端橫向變形位移uy的響應(yīng)時程.從圖3(a)中可以看出,不論角速度多大,外接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結(jié)果始終收斂;而在角速度不大的情況下(即γ=9),內(nèi)接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結(jié)果已經(jīng)發(fā)散.圖3(b)為15 s≤t≤20 s時間域內(nèi)的響應(yīng)放大圖.盡管在γ=8時,內(nèi)接懸臂梁的一次近似簡化模型仿真結(jié)果仍然收斂,但是其末端的響應(yīng)較外接懸臂梁在相同角速度時的響應(yīng)急劇增大,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率降低,這表明此時的內(nèi)接懸臂梁已經(jīng)出現(xiàn)動力柔化現(xiàn)象.圖3(b)中的小圖為虛線方框部分的放大圖,從中可以發(fā)現(xiàn),外接懸臂梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率隨著角速度的增大而增大,這表明外接懸臂梁完全剛化.

圖3 一次近似簡化模型的梁末端y方向的變形位移 (a)全局響應(yīng)時程;(b)15 s≤t≤20 s時間域內(nèi)的響應(yīng)放大圖

4.2 內(nèi)接懸臂梁的穩(wěn)定性分析

文獻[8,9]對旋轉(zhuǎn)外接懸臂梁的固有頻率進行了分析,發(fā)現(xiàn)外接懸臂梁橫向彎曲振動的第一階固有頻率始終隨角速度的增大而增大,從動力學(xué)響應(yīng)角度可以解釋為外接懸臂梁的橫向彎曲振動始終穩(wěn)定,即存在顯著的動力剛化效應(yīng).求解(26)式所示的特征值問題,即可對內(nèi)接懸臂梁一次近似簡化模型進行頻率分析.在實際系統(tǒng)中無論是對其建模還是控制,第一階頻率和振型都是最重要的,梁的橫向彎曲振動模態(tài)只取一階(即Nf=1),則梁的橫向彎曲振動頻率可表示為

其中,KC=γ2(?2)+2,M=22.此時,KC∈R1,M∈R1.若?2＞0,則梁的橫向彎曲振動頻率將隨角速度的增大而增大,表明此種情況下的內(nèi)接懸臂梁的橫向彎曲振動始終穩(wěn)定.若?2＜0,則梁的橫向彎曲振動頻率將隨角速度的增大而減小,內(nèi)接懸臂梁的橫向彎曲振動處于有條件穩(wěn)定.以上兩種情況可以說明旋轉(zhuǎn)內(nèi)接懸臂梁的一次近似簡化模型既可以存在動力剛化現(xiàn)象,也可以存在動力柔化現(xiàn)象.根據(jù)?2＜0,可解得內(nèi)接懸臂梁的橫向彎曲振動失穩(wěn)的臨界徑長比δc為

當(dāng)系統(tǒng)徑長比δ＜δc時,內(nèi)接懸臂梁對于任何轉(zhuǎn)速無條件穩(wěn)定;當(dāng)系統(tǒng)徑長比δ＞δc時,內(nèi)接懸臂梁處于有條件穩(wěn)定,而穩(wěn)定的條件為進一步表示為

文獻[11]利用絕對坐標(biāo)法給出一階模態(tài)下內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界徑長比δc=1/9,當(dāng)δ＞1/9時,內(nèi)接懸臂梁處于有條件穩(wěn)定,即當(dāng)γ2＜λ=72/(9δ?1),系統(tǒng)仍然穩(wěn)定.需要指出的是,應(yīng)用本文方法所得出的臨界徑長比與文獻[11]的臨界徑長比在大小上稍有差別,這種差別主要源于兩者動力學(xué)建模方法上的差異,但兩文都得出了在某個臨界徑長比下動力學(xué)方程解出現(xiàn)分岔的結(jié)論.圖4為Nf=1時,臨界參數(shù)λ隨徑長比δ的變化曲線.由圖4可以看出,臨界參數(shù)λ隨徑長比δ的增大而減小,且本文所得結(jié)果與文獻[11]的結(jié)果符合得較好.當(dāng)δ=1時,本文的臨界參數(shù)λ=8.97424,而文獻[11]的臨界參數(shù)λ=9.然而,采用一階模態(tài)計算所得內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速的計算精度值得懷疑.

圖4 臨界參數(shù)λ的變化曲線

4.3 內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速的收斂性分析

通常情況下,內(nèi)接懸臂梁的系統(tǒng)徑長比δ＞δc,因此考慮內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速無疑更具現(xiàn)實意義.當(dāng)系統(tǒng)徑長比δ=0.2＞δc,內(nèi)接懸臂梁處于有條件穩(wěn)定,由(31)式計算可得,其失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速γc=10.114815.圖5為δ=0.2,模態(tài)截斷數(shù)分別取1,2,3和10時,內(nèi)接懸臂梁橫向彎曲振動第一階無量綱固有頻率ω隨角速度γ的變化軌跡.由圖5可看出,四種情況的第一階無量綱固有頻率都隨無量綱角速度γ的增大而減小,且γ達到一定值時,第一階無量綱固有頻率都將降為零,其中Nf=1時,第一階無量綱固有頻率變?yōu)榱闼鶎?yīng)的無量綱角速度γ≈10.115,而此角速度與(31)式計算所得的失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速γc正好符合.圖6為δ=0.2,模態(tài)截斷數(shù)Nf=1時,內(nèi)接懸臂梁的一次近似簡化模型在不同角速度時梁末端y方向變形位移的響應(yīng)時程.由圖6可看出,當(dāng)γ=10.115時,內(nèi)接懸臂梁末端橫向變形位移的仿真結(jié)果已經(jīng)發(fā)散,這說明內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速就等于第一階無量綱固有頻率由正變?yōu)榱銜r的角速度.

圖5 橫向彎曲振動第一階固有頻率曲線

表1 內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速

圖6 梁末端y方向的變形位移

從圖5中還可以發(fā)現(xiàn),隨著所取模態(tài)截斷數(shù)的增加,內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速不斷減小且收斂,而且收斂速度很快.表1為內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速與模態(tài)截斷數(shù)之間的收斂關(guān)系.由表1可以看出,隨著模態(tài)截斷數(shù)的增加,不同系統(tǒng)徑長比的內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速都在降低.當(dāng)δ=0.2時,Nf由1變?yōu)?時,兩者臨界轉(zhuǎn)速相差約14%,而Nf由2變?yōu)?時,兩者臨界轉(zhuǎn)速相差已只有1.6%,可見收斂速度很快.同時還可以發(fā)現(xiàn),隨著系統(tǒng)徑長比的增大,內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速對模態(tài)截斷數(shù)的依賴性降低.

5 結(jié)論

本文以旋轉(zhuǎn)剛環(huán)和內(nèi)接懸臂柔性梁組成的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)為對象,推導(dǎo)出系統(tǒng)的剛?cè)狁詈弦淮谓岂詈蟿恿W(xué)方程,并對其動力學(xué)特性進行研究.研究發(fā)現(xiàn),與外接懸臂梁的一次近似簡化模型存在完全動力剛化效應(yīng)不同,內(nèi)接懸臂梁的一次近似簡化模型既可以存在動力剛化效應(yīng),又可以存在動力柔化效應(yīng),這主要依賴于系統(tǒng)的徑長比;當(dāng)系統(tǒng)徑長比小于某個臨界值時,大位移運動就產(chǎn)生動力剛化效應(yīng),而當(dāng)系統(tǒng)徑長比大于臨界值時,大位移運動就產(chǎn)生動力柔化效應(yīng),這表明內(nèi)接懸臂柔性梁系統(tǒng)動力學(xué)存在分岔行為.本文給出了Nf=1時,內(nèi)接懸臂梁無條件穩(wěn)定的臨界徑長比δc以及失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速的計算方法;若第一階無量綱固有頻率隨轉(zhuǎn)速增大而減小,則該內(nèi)接懸臂梁處于有條件穩(wěn)定,且失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速γc等于第一階無量綱固有頻率由正變?yōu)榱銜r的角速度;隨著模態(tài)截斷數(shù)的增加,內(nèi)接懸臂梁失穩(wěn)的臨界轉(zhuǎn)速減小且有收斂值.

[1]Kane T R,Ryan R R,Banerjee A K 1987 J.Guid.Contr.Dyn.10 2

[2]Zhang D J,Huston R L 1996 Mech.Struct.Mach.24 3

[3]Liu JY,Hong JZ 2004 J.Sound Vib.278 1147

[4]Wu S B,Zhang D G 2011 J.Vib.Eng.24 1(in Chinese)[吳勝寶,章定國2011振動工程學(xué)報24 1]

[5]He X S,Yan Y H,Deng F Y 2012 Acta Phys.Sin.61 024501(in Chinese)[和興鎖,閆業(yè)毫,鄧峰巖2012物理學(xué)報61 024501]

[6]Southwell R,Gough F 1921 British A.R.C.Rep.Memo.766

[7]Putter S,Manor H 1978 J.Sound Vib.56 175

[8]Yoo H H,Shin S H 1998 J.Sound Vib.212 5

[9]He X S,Song M,Deng F Y 2011 Acta Phys.Sin.60 044501(in Chinese)[和興鎖,宋明,鄧峰巖2011物理學(xué)報60 044501]

[10]Chen S J,Zhang D G 2011 Chin.J.Theo.Appl.Mech.43 4(in Chinese)[陳思佳,章定國2011力學(xué)學(xué)報43 4]

[11]Xiao S F,Chen B 1997 Sci.China A 29 10(in Chinese)[肖世富,陳濱1997中國科學(xué)(A輯)29 10]