孟立平，王國(guó)興

（蘭州商學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州730020）

發(fā)散思維，就是求異思維，它是一種創(chuàng)造性思維［1］.它的思維方式就是從已知信息出發(fā)，從多角度、多層次去思考，從而產(chǎn)生新的、獨(dú)特的結(jié)論和解決問(wèn)題的途徑.它包括橫向發(fā)散、縱向發(fā)散、求異發(fā)散和窮舉發(fā)散.它的特點(diǎn)是多向性、變通性、流暢性和獨(dú)特性，即思考問(wèn)題時(shí)注重多思路、多方案，解決問(wèn)題時(shí)注重多途徑、多方式.它要求善于聯(lián)想、思路寬闊，要求分解組合，引申推導(dǎo)、靈活變通.

對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，從不同的方向、不同的層次橫向拓展、逆向深入，采用探索、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、分解等方法得到最佳的解法和方案.只有通過(guò)發(fā)散思維，才能獲得可供分析，綜合的信息，以便對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面、深入的研究.在探索中掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，深刻的理解知識(shí)、鞏固知識(shí)和靈活的運(yùn)用知識(shí).

發(fā)散思維在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的典型體現(xiàn)就是“一題多解”和“一題多變”，發(fā)散思維貫穿著高等數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面.本文結(jié)合題例，討論“一題多解”和“一題多變”，探討在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)問(wèn)題.

1 一題多解［2］

例題1 設(shè)f（x）在［0，1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f″（x）＜0，求證:

分析2 考慮到題目涉及定積分，于是想到對(duì)f（x）的原函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)式.

分析3 將積分上限常量看成變量，構(gòu)造輔助函數(shù)兩次使用Lagrange 定理來(lái)證明.

所以F（x）在［0，1］上單調(diào)遞減，F(xiàn)（1）≤F（0），即:.

2 一題多變

2.1 將例題1 中的積分區(qū)間推廣為［a，b］的情形

例題2 設(shè)f（x）在［a，b］上具有二階導(dǎo)數(shù)且f″（x）≤0，求證:.

由定積分的性質(zhì)可得:

因?yàn)镕（x）在［a，b］單調(diào)遞減，所以F（b）≤F（a），即:.

2.2 將被積函數(shù)f（x）變成f（xn）的情形

例題3 設(shè)f（x）在［0，1］上具有二階導(dǎo)數(shù)且f″（x）＜0，求證.

兩邊積分得:

證畢.

2.3 將區(qū)間變?yōu)椋?，a］，被積函數(shù)變?yōu)閒（u（t））的情形

例題4 設(shè)f（x）在［0，a］上具有二階導(dǎo)數(shù)且f″（x）≥0，u（t）為任意連續(xù)函數(shù)，求證:.

證明 由題設(shè)知，f（u（t））在區(qū)間［0，a］連續(xù)，兩端的定積分均存在，將區(qū)間［0，a］n 等分，令:

則:

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述問(wèn)題的討論可以看出，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，所體現(xiàn)出的發(fā)散思維的最大特征是發(fā)散性、可變性、變通性、獨(dú)特性.高等數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)質(zhì)就是創(chuàng)新，而發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的重要成分，所以，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

培養(yǎng)發(fā)散思維的方法很多，一題多解是一種重要的方法，通過(guò)一道習(xí)題抓一類問(wèn)題，讓思維從多個(gè)角度，多個(gè)方面、以各種觀點(diǎn)去分析、去思考，擴(kuò)充思維領(lǐng)域、培養(yǎng)思維機(jī)遇，從多渠道求異途同歸的解題新方法;一題多變是另一種重要方法，它使知識(shí)縱向深入，橫向擴(kuò)散，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

發(fā)散思維是一種求異式、展開(kāi)式思維，思維從一點(diǎn)出發(fā)，可以沿著不同的方向展開(kāi)，我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授指出:“數(shù)學(xué)中的新思想、新概念和新方法往往來(lái)源于發(fā)散思維.”他總結(jié)概括出了數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力公式:創(chuàng)造能力= 知識(shí)量× 發(fā)散思維能力.可見(jiàn)發(fā)散思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用.

［1］宋枚，王愛(ài)云，馬軍英.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，3（1）:81－83.

［2］閻溯，柳森，董芳馳，等.從一道試題談一題多解與多變［J］.高等教育研究，2002，5（4）:44－46.

［3］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上、下）［M］.第3 版.北京:高等教育出版社，1992.