王 琰，宋力杰，黃令勇

（信息工程大學(xué) 測繪學(xué)院，河南 鄭州450052）

GPS衛(wèi)星在軌飛行時，受到地球非球形引力、N體攝動、固體潮、海洋潮、地球自轉(zhuǎn)效應(yīng)、太陽光壓、相對論效應(yīng)攝動等諸多攝動因素的影響［1］。實(shí)際任務(wù)對軌道的精度要求越高，所需考慮的攝動因素就越多，從理論上講，考慮的攝動因素越充分，計算得到的軌道精度越高，但同時也會增加模型的復(fù)雜度和計算的開銷。實(shí)際計算時，人們總是在精度許可的情況下，選擇影響最為顯著的幾項攝動參與計算。顯然，攝動力的選擇需要對各種攝動因素影響進(jìn)行定性和定量的精確分析。

本文首先介紹了地球非球形引力、N體攝動、潮汐作用力、太陽光壓、相對論效應(yīng)等GPS衛(wèi)星軌道的攝動模型［2］。然后，依據(jù)模型編寫了衛(wèi)星軌道積分計算軟件，地球非球形引力攝動計算采用EGM96模型，實(shí)際計算取到8階；計算N體攝動時，太陽、月球和行星的位置與速度可由美國宇航局噴氣推進(jìn)實(shí)驗室（JPL）提供的DE405文件中的星歷表數(shù)據(jù)計算而得；數(shù)值積分策略：用Runge－Kutta法進(jìn)行起步，待計算次數(shù)滿足Admas積分右函數(shù)個數(shù)時，改用Adams積分，并用Adams預(yù)報－修正法，提高積分的精度［3］。最后，取PRN09衛(wèi)星進(jìn)行計算實(shí)驗，分析了各種攝動力對GPS衛(wèi)星軌道的影響。

1 攝動力模型

1.1 N體攝動

衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，除了受地球引力的影響，還受到太陽、月球和其它行星引力的影響。將除了地球以外的其它天體稱為攝動天體，在考慮攝動天體的影響時，攝動天體的中心天體地球都看做質(zhì)點(diǎn)［2］。設(shè)→r為衛(wèi)星的位矢，→rj為第j個攝動天體的位矢，GMj為第j個攝動天體的引力常數(shù)，則攝動天體對衛(wèi)星產(chǎn)生的攝動加速度為

顯然，計算攝動天體的攝動力，需計算慣性系下攝動天體的坐標(biāo)。太陽、月球和行星的位置與速度可由美國宇航局噴氣推進(jìn)實(shí)驗室（JPL）提供的DE405文件中的星歷表數(shù)據(jù)計算而得。

1.2 地球非球形引力攝動

在地固系中，地球非球形引力位函數(shù)為［3］

式中：φ，λ為衛(wèi)星的地心緯度和經(jīng)度；r為地心距；ae為地球赤道半徑；Pmn（sinφ）為伴隨勒讓德多項式；GM為地心引力常數(shù)；Cnm，Snm是地球引力位系數(shù)（C00＝1）；N為位系數(shù)所取的最大階數(shù)。

在地固系中，衛(wèi)星所受的地球引力加速度為地球引力位的梯度，即

式中：x，y，z是衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)。根據(jù)復(fù)合導(dǎo)數(shù)法則

但式（2）～（4）都是地固系中的公式，實(shí)際計算時，需先將衛(wèi)星在慣性系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到地固系，再用式（3）地固系的坐標(biāo)計算，最后將回轉(zhuǎn)到慣性系中。設(shè)衛(wèi)星在慣性系的坐標(biāo)為x，y，z，在地固系坐標(biāo)為x′，y′，z′，則

式中：是慣性系下地球非球形加速度向量，E是地固系到慣性系的轉(zhuǎn)換矩陣。

1.3 潮汐作用力

日月引力作用于地球，使之產(chǎn)生形變（固體潮）或質(zhì)量移動（海潮），從而引起地球質(zhì)量分布的變化，這一變化將引起地球引力的變化?？梢詫⑦@種變化視為在不變的地球引力中附加一個小的攝動力—潮汐作用力。在5d的弧段中固體潮對GPS衛(wèi)星位置的影響可達(dá)1m，海潮的影響約為0.1m［3］。

鑒于其影響的量級較小，可以采用較簡單的數(shù)學(xué)模型。固體潮攝動附加位的簡化公式

式中：GMj是攝動體（日、月）的引力常數(shù)是攝動體在慣性系的位置矢量；θ是地心為頂點(diǎn)、攝動體與衛(wèi)星的張角。

固體潮附加攝動

式中，k2＝0.3，是勒夫數(shù)。

1.4 太陽光壓

由于導(dǎo)航衛(wèi)星的現(xiàn)狀和姿態(tài)控制策略不同，適合各類導(dǎo)航衛(wèi)星的光壓模型也不盡相同［4］。根據(jù)文獻(xiàn)［4］，對于GPS衛(wèi)星，Bern大學(xué)建立的BERNE9參數(shù)模型能夠很好地應(yīng)用于衛(wèi)星精密定軌。其模型加速度計算公式如下：

其中：

1.5 相對論效應(yīng)攝動

廣義相對論相應(yīng)包括3項：Schwarzschild項、測地歲差項、Lense－Thirring歲差項。Schwarzschild項是主項，后兩項比前一項小兩個量級，可以暫時不考慮［3］。僅考慮Schwarzschild項的相對論效應(yīng)加速度公式

式中：β，γ是相對論效應(yīng)的第一、第二參數(shù)，取值均為1，也可以作為待估參數(shù)。

2 計算結(jié)果與分析

為了分析各種攝動對GPS衛(wèi)星定軌的影響大小，本文收集了2011－10－27的IGS精密SP3星歷，運(yùn)用以上的模型對該天的GPS軌道進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析。

取PRN09衛(wèi)星進(jìn)行計算實(shí)驗，數(shù)據(jù)過程如下：

第1步：將SP3文件中PRN09星的坐標(biāo)從ITRF坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到CGRS坐標(biāo)系，共得到96個歷元的三維坐標(biāo)值。

第2步：以衛(wèi)星的初始坐標(biāo)、初始速度和太陽光壓參數(shù)（BERNE9參數(shù)），共15個參數(shù)作為軌道參數(shù)，以96點(diǎn)CGRS坐標(biāo)作為虛擬的觀測值，用最小二乘法求解衛(wèi)星軌道參數(shù)。求解過程中，衛(wèi)星的初始坐標(biāo)和初始速度的近似值用二體問題解算，光壓參數(shù)的初始值設(shè)為零。解算出軌道參數(shù)之后，再將其作為參數(shù)近似值，重新平差計算，直至參數(shù)的變化小于設(shè)定值為止（初始坐標(biāo)變化量小于0.01mm）。為了比較不同攝動力的影響，此步計算中可選擇不同動力學(xué)模型。

第3步：用求出的軌道參數(shù)數(shù)值積分，求得各歷元的軌道坐標(biāo)值。

第4步：將積分所得坐標(biāo)值與SP3文件中轉(zhuǎn)換而得的坐標(biāo)值取差，以差值作為攝動影響。

用幾何軌道平滑得到的動力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 用幾何軌道平滑得到的動力學(xué)參數(shù)

為了分析每一項攝動的影響，下面首先加入非球形引力、日月引力、太陽光壓、固體潮、相對論效應(yīng)這幾種攝動力，用解算出的動力學(xué)參數(shù)數(shù)值積分，求得各數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，與SP3文件的坐標(biāo)值（轉(zhuǎn)換到CGRS）比較，然后，依次不加入某項攝動，看軌道的變化情況。

1）當(dāng)本文建立的攝動全部加入之后，積分1d的軌道與SP3比較如圖1所示。

圖1 所有攝動全部加入后積分1d得到的軌道與SP3比較

2）由于固體潮、相對論效應(yīng)這兩種攝動對軌道的影響不大，為了分析其對軌道的影響，下面不加入這兩種攝動，看積分軌道與SP3的比較，見圖2。

圖2 不加入固體潮、相對論效應(yīng)攝動積分1d得到軌道與SP3比較

3）不加入非球形引力攝動，積分1d的軌道與SP3相比，見圖3。

圖3 不加入非球形引力攝動積分1d得到的軌道與SP3比較

4）不加入太陽光壓攝動，積分1d的軌道與SP3相比，圖形如圖4所示。

圖4 不加入太陽光壓攝動積分1d得到的軌道與SP3比較

5）不加入日月引力，積分1d的軌道與SP3比較如圖5所示。

圖5 不加入日月引力攝動積分1d得到的軌道與SP3比較

3 結(jié) 論

1）當(dāng)本文建立的所有攝動全部加入，積分1d的軌道與SP3星歷比，X，Y，Z坐標(biāo)分量的差值絕對值的均值均小于1cm，而點(diǎn)位之差最大才1.4cm，這說明，對于厘米級的GPS精密定軌，我們已經(jīng)建立了GPS衛(wèi)星軌道準(zhǔn)確的攝動力模型。

2）不加入固體潮、相對論效應(yīng)這兩種攝動，使積分軌道的點(diǎn)位之差由1.4cm增大到了4.5cm，在精密定軌中還是需要考慮這兩項攝動的。

3）不加入非球形引力攝動，使積分1d的軌道點(diǎn)位之差最大達(dá)到了1 000m以上，可以看出該項攝動對軌道的影響是非常大的。

4）不加太陽光壓攝動，使積分1d的軌道點(diǎn)位之差最大達(dá)到了120m，從圖上可以看出光壓攝動對軌道在每個坐標(biāo)軸上都有周期性的影響。

5）最后，不加入日月引力攝動，使積分1d的軌道由1.4cm到了6 000m以上，這表明該項攝動對軌道的影響是非常大的。

本文也對其他衛(wèi)星進(jìn)行了計算，計算的結(jié)果與PRN09衛(wèi)星的情況相同。

［1］蔣方華，李俊峰，寶音賀西.高精度衛(wèi)星軌道攝動模型［C］.全國第十三屆空間及運(yùn)動體控制技術(shù)學(xué)術(shù)年會論文集，湖北，2008：188－193.

［2］李濟(jì)生.人造衛(wèi)星精密軌道確定［M］.北京：解放軍出版社，1995.

［3］許其鳳.空間大地測量學(xué)［M］.北京：解放軍出版社，2001.

［4］陳俊平，王解先.GPS定軌中的太陽輻射壓模型［J］.天文學(xué)報，2006，47（3）：310－319.

［5］IERS Conventions.IERS Conventions Centre［OL］.http://www.iers.org/iers/publications/tn/tn32/，2003.

［6］李智，徐冬梅，解海東.GPS衛(wèi)星受攝運(yùn)動模型研究［J］.全球定位系統(tǒng)，1999，24（1）：11－15.

［7］陳憲冬，黃丁發(fā).GPS衛(wèi)星定軌中的攝動力影響分析［J］.測繪科學(xué)，2006，31（6）：72－73.