孟范孔，邱志成

（華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510641）

柔性梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力和動(dòng)變形會(huì)引起結(jié)構(gòu)的疲勞與損傷。從而使結(jié)構(gòu)承受正常載荷以及環(huán)境作用的能力下降，引發(fā)突發(fā)性的災(zāi)難事故[1]。因此，需進(jìn)行損傷識(shí)別研究。

小波分析具有多分辨率的特點(diǎn)，在損傷識(shí)別領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。Rucka等[2]利用小波分析可以檢測(cè)信號(hào)奇異性的原理對(duì)梁、板的損傷進(jìn)行識(shí)別。Yan等[3]和丁幼亮等[4]利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的小波包能量譜建立損傷識(shí)別指標(biāo)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的有效方法，Liu等用BP網(wǎng)絡(luò)識(shí)別框架結(jié)構(gòu)的損傷[5]。米江等將改進(jìn)的BP網(wǎng)絡(luò)用于風(fēng)機(jī)故障分類(lèi)[6]。Ceravolo等[7]先用一個(gè)BP網(wǎng)絡(luò)確定簡(jiǎn)支梁損傷的程度，再根據(jù)特定的損傷程度確定第二個(gè)BP網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本，用于確定損傷位置。

本文用有限元法(FEM)建立柔性懸臂梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并求得狀態(tài)空間方程用于進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)仿真。用小波包對(duì)柔性懸臂梁無(wú)損傷和有損傷狀態(tài)下的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解，計(jì)算小波包節(jié)點(diǎn)子信號(hào)能量，建立損傷指標(biāo)。采用分步識(shí)別方法和改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行損傷位置和程度識(shí)別，并進(jìn)行了數(shù)值仿真研究。

1 有限元模型的建立

對(duì)梁裂縫進(jìn)行分析的模型有局部剛度降低模型、精細(xì)網(wǎng)格模型等[8]。文中用精細(xì)網(wǎng)格模型對(duì)梁的裂縫進(jìn)行分析。

用每節(jié)點(diǎn)三個(gè)自由度的四節(jié)點(diǎn)矩形板單元，對(duì)懸臂梁進(jìn)行離散化。懸臂梁經(jīng)網(wǎng)格劃分后共n個(gè)節(jié)點(diǎn)，激勵(lì)為作用在梁上一節(jié)點(diǎn)的z方向的集中力，輸出為柔性梁上一節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)。有限元法建立的動(dòng)力學(xué)方程為

式中M∈R3n×3n、C∈R3n×3n、K∈R3n×3n分別是整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，并且C=αM+βK，α，β為 阻 尼 系 數(shù) 。d∈R3n×1、∈R3n×1、¨∈R3n×1分別為整體節(jié)點(diǎn)位移向量、節(jié)點(diǎn)速度向量、節(jié)點(diǎn)加速度向量。u(t)為激勵(lì)力，F(xiàn)ext∈R3n×1是與激勵(lì)力作用位置有關(guān)的向量。

所要觀測(cè)節(jié)點(diǎn)的加速度輸出

式中T∈R1×3n為觀測(cè)矩陣。

式(1)、(2)經(jīng)模態(tài)坐標(biāo)變換d=Φg得

式中g(shù)為模態(tài)坐標(biāo)，Φ=M-1K為模態(tài)矩陣。

式(3)、(4)經(jīng)變換得

式中

式(5)、(6)表示為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間方程形式

式中X(t)為狀態(tài)向量，y(t)為加速度輸出，A、B、C、D分別為系統(tǒng)矩陣、控制矩陣、輸出矩陣和直接傳遞矩陣，u(t)為外部激勵(lì)力。并且

2 損傷識(shí)別算法

2.1 基于小波包分解的損傷指標(biāo)

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性會(huì)發(fā)生改變。用含不同頻率成分的信號(hào)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)時(shí)，損傷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)對(duì)某些頻率信號(hào)起著抑制作用，而對(duì)另外一些頻率信號(hào)起著增強(qiáng)作用。損傷結(jié)構(gòu)的輸出與無(wú)損傷結(jié)構(gòu)的輸出相比，相同頻帶內(nèi)信號(hào)的能量會(huì)有差異[3,4]。

用S0(t)表示結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)信號(hào)，則經(jīng)小波包分解后，S0(t)可以表示為[3]

式中i為小波包分解的層數(shù)，Si,j(t)是小波包分解樹(shù)節(jié)點(diǎn)[i，j]的系數(shù)重構(gòu)后的子頻帶信號(hào)。定義第j個(gè)子頻帶信號(hào)的能量為[3]

用小波包能量譜中各子頻帶能量相對(duì)于全部頻帶能量平均值的比值的變化來(lái)表征損傷。小波包能量譜中各子頻帶的能量比Rk為[4]

子頻帶的能量比表征了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性?；谖墨I(xiàn)[3]的思想，用各子頻帶能量比的相對(duì)變化率作為損傷指標(biāo)判斷結(jié)構(gòu)的損傷情況，即

式中ERVk為小波包分解第k個(gè)子頻帶的能量比相對(duì)變化率；Ruk和Rdk分別為結(jié)構(gòu)在無(wú)損傷和有損傷狀態(tài)下第k個(gè)子頻帶的能量比。

2.2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損傷識(shí)別

用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行損傷識(shí)別。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)BP算法存在收斂速度慢、容易陷入局部最小等問(wèn)題，所以采用加入動(dòng)量項(xiàng)和學(xué)習(xí)率自適應(yīng)調(diào)整相結(jié)合的方法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)[6]。

加入動(dòng)量項(xiàng)后下一次迭代時(shí)的參數(shù)值為

式中W為需要調(diào)整的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，ΔW為網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的修正量，t表示迭代次數(shù)，α為動(dòng)量因子。

自適應(yīng)調(diào)整學(xué)習(xí)率算法為

式中，η為學(xué)習(xí)率，E為全部訓(xùn)練樣本的均方誤差。設(shè)定最大學(xué)習(xí)率為0.8，最小學(xué)習(xí)率為0.01。

3 數(shù)值算例分析

3.1 問(wèn)題描述

以柔性懸臂梁為研究對(duì)象進(jìn)行數(shù)值仿真。其物理參數(shù)如下：長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為0.656 m，0.165 m和0.002 m；密度為1 865 kg/m3；楊氏模量為34.64 GPa；泊松比為0.33。

圖1懸臂梁示意圖Fig.1 Schematic diagram of cantilever beam

圖1 所示為懸臂梁模型示意圖，裂縫與固定端的距離為L(zhǎng)c，裂縫深度為h，裂縫寬度為L(zhǎng)r=0.001 m。算例中集中力的作用位置坐標(biāo)為xa=0.075 m，ya=0.080 m。輸出加速度響應(yīng)的位置坐標(biāo)為xs=0.630 m，ys=0.080 m。本算例進(jìn)行單損傷的損傷位置和損傷程度識(shí)別研究?？赡艿膿p傷位置有三處，即裂縫與固定端的距離Lc分別為0.115 m、0.215 m和0.315 m。對(duì)每個(gè)損傷位置分別考慮14種不同的損傷程度，即裂縫深度h分別為0.010 m、0.015 m、……、0.070 m、0.075 m。分別對(duì)所選取的三個(gè)損傷位置（每個(gè)損傷位置14種損傷程度）的42種損傷情況進(jìn)行分析。選擇其中6種損傷情況作為測(cè)試樣本，其余損傷情況作為訓(xùn)練樣本。測(cè)試樣本如表1所示。

如圖1所示，網(wǎng)格劃分時(shí)，對(duì)于x方向，裂縫所在的位置，網(wǎng)格局部加密。裂縫處為一列單元，在裂縫兩側(cè)各有一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)t的過(guò)渡區(qū)域。過(guò)渡區(qū)域內(nèi)有五列單元，其x方向尺寸由裂縫處向兩側(cè)分別為0.001 m、0.003 m、0.005 m、0.011 m和0.020 m。其余部分均勻劃分為23列單元。對(duì)于y方向，每個(gè)單元的尺寸均為0.005 m。經(jīng)網(wǎng)格劃分，x方向單元個(gè)數(shù)為34，y方向單元個(gè)數(shù)為33。

模態(tài)變換矩陣取前兩階，將求得的狀態(tài)空間方程離散化用于進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)仿真，計(jì)算柔性梁在方波激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)。方波激勵(lì)的頻率為5 Hz，幅值為10 N。采樣頻率為200 Hz，仿真時(shí)間為10 s。

表2所示完好柔性懸臂梁的前兩階模態(tài)頻率。利用模型編程計(jì)算值和ANSYS軟件分析比較可知，用Matlab計(jì)算結(jié)果滿足精度要求。

3.2 損傷指標(biāo)的計(jì)算

用Db 8小波基函數(shù)對(duì)獲得的加速度響應(yīng)進(jìn)行6層小波包分解，得到64個(gè)子頻帶信號(hào)。經(jīng)計(jì)算，全部樣本的加速度響應(yīng)信號(hào)經(jīng)小波包分解后，前32個(gè)子頻帶信號(hào)的能量占全部64個(gè)頻帶信號(hào)總能量的98%以上。前32個(gè)子頻帶的信號(hào)能夠表征加速度響應(yīng)信號(hào)的主要信息。所以選取前32個(gè)子頻帶信號(hào)建立損傷指標(biāo)。

表1 測(cè)試樣本Tab.1 Testing samples

表2 完好梁模態(tài)頻率Tab.2 Natural frequencies of undamaged beam

圖2 測(cè)試樣本2的損傷指標(biāo)Fig.2 Damage index of test sample 2

測(cè)試樣本2的損傷指標(biāo)如圖2所示。從圖中可以看出，第1、11、15、27四個(gè)子頻帶的能量比相對(duì)變化率發(fā)生顯著的變化。相對(duì)變化率分別為-252.28%、-111.65%、-111.20%、-98.42%。對(duì)于不同的損傷情況，小波包分解子頻帶能量比的相對(duì)變化率是不同的。

3.3 損傷模式的識(shí)別

用分步識(shí)別方法進(jìn)行裂縫損傷識(shí)別。先識(shí)別損傷發(fā)生的位置，然后識(shí)別損傷的程度。因此建立兩個(gè)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。分別為用于識(shí)別裂縫發(fā)生位置的損傷位置網(wǎng)絡(luò)(Damage Location Network)和識(shí)別裂縫損傷程度的損傷程度網(wǎng)絡(luò)(Damage Extent Network)。

損傷位置網(wǎng)絡(luò)輸入層、隱含層、輸出層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為32、24和3。期望輸出為[1 0 0]、[0 1 0]、[0 0 1]，分別代表裂縫發(fā)生的位置為115 mm、215 mm和315 mm。1表示該位置發(fā)生損傷，0表示該位置沒(méi)有損傷。損傷位置網(wǎng)絡(luò)隱含層和輸出層的作用函數(shù)為均為Sigmoid函數(shù)。損傷程度網(wǎng)絡(luò)輸入層、隱含層、輸出層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為32、12和1。期望輸出為裂縫損傷的程度。損傷程度網(wǎng)絡(luò)隱含層作用函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，輸出層作用函數(shù)為純線性函數(shù)。兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)是經(jīng)過(guò)試驗(yàn)確定的。

將損傷指標(biāo)數(shù)據(jù)歸一化處理，分別用改進(jìn)的BP算法(Improved BP，IBP)和標(biāo)準(zhǔn)BP算法(BP)對(duì)兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。損傷位置網(wǎng)絡(luò)的初始學(xué)習(xí)率為0.01，動(dòng)量因子為0.05，層間連接權(quán)值和閾值的隨機(jī)初始化范圍為(-1，1)。誤差性能指標(biāo)為0.01，最大訓(xùn)練次數(shù)為10000。損傷程度網(wǎng)絡(luò)的初始學(xué)習(xí)率為0.01，動(dòng)量因子為0.5，層間連接權(quán)值和閾值的初始化范圍為(-0.1，0.1)。誤差性能指標(biāo)為1×10-6，最大訓(xùn)練次數(shù)為10 000。用標(biāo)準(zhǔn)BP算法進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)的學(xué)習(xí)率為固定值0.01。

圖3、圖4分別為損傷位置網(wǎng)絡(luò)和損傷程度網(wǎng)絡(luò)的誤差曲線。由圖3、圖4可以看出，用改進(jìn)BP算法進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)的誤差收斂速度比用標(biāo)準(zhǔn)BP算法快。損傷位置網(wǎng)絡(luò)用標(biāo)準(zhǔn)BP算法訓(xùn)練10 000次后的均方誤差為0.184 1，而用改進(jìn)BP算法訓(xùn)練9 360次后達(dá)到目標(biāo)誤差0.01。損傷程度網(wǎng)絡(luò)用標(biāo)準(zhǔn)BP算法和改進(jìn)BP算法訓(xùn)練10 000次后的均方誤差分別為3.237 4×10-4、1.785 8×10-5。

測(cè)試樣本的損傷位置、損傷程度識(shí)別結(jié)果分別如表3、表4所示。由表4可以看出，損傷位置網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值較為接近，由網(wǎng)絡(luò)輸出的最大值可以判斷損傷發(fā)生的位置。由表4可以看出，損傷程度網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的最大相對(duì)誤差是-5.5%，識(shí)別結(jié)果滿足精度要求。所以，利用分步識(shí)別方法，可以對(duì)損傷位置和損傷程度進(jìn)行識(shí)別，并且BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較好的泛化能力。

圖3 損傷位置網(wǎng)絡(luò)誤差曲線Fig.3 Error curve of damage location network

圖4 損傷程度網(wǎng)絡(luò)誤差曲線Fig.4 Error curve of damage extent network

表3 損傷位置識(shí)別結(jié)果Tab.3 Identification results of damage location

表4 損傷程度識(shí)別結(jié)果Tab.4 Identification results of damage extent

4 結(jié) 語(yǔ)

柔性梁發(fā)生裂縫損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性發(fā)生改變。利用小波包分析可以對(duì)梁的裂縫損傷信息進(jìn)行提取?；谛〔ò芰孔V建立的子頻帶能量比相對(duì)變化率損傷指標(biāo)對(duì)梁的裂縫損傷敏感。改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度快。采用分步識(shí)別方法和改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以精確的識(shí)別出損傷位置和損傷程度。使用小波包分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，用低頻振動(dòng)響應(yīng)就可以實(shí)現(xiàn)柔性懸臂梁裂縫損傷位置和程度的識(shí)別。

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