趙建華 高殿榮

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

0 引言

流量控制閥能夠根據(jù)工作負(fù)載需要而靈活地調(diào)整輸出流量，設(shè)定后的輸出流量抗干擾能力強(qiáng)、剛度大，因此在靜壓支承中得到了廣泛的應(yīng)用。近年來，國內(nèi)外較多的學(xué)者對其進(jìn)行了研究。呂琳等［1］以精沖機(jī)滑塊的高精度導(dǎo)向?yàn)橐?，?jì)算了靜壓導(dǎo)軌承載能力及油膜剛度，研究了靜壓導(dǎo)軌油膜厚度的控制方式。左旭芬［2］根據(jù)數(shù)控凸輪磨床結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，確定了矩形靜壓導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)參數(shù)對與磨床性能的影響關(guān)系。羅恕燕等［3］對大型數(shù)控滾齒機(jī)工作臺的二級承載液體靜壓導(dǎo)軌副的動靜態(tài)性能進(jìn)行了定性和定量的計(jì)算。張亮等［4］建立了靜壓導(dǎo)軌自適應(yīng)供油系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對其進(jìn)行了動態(tài)仿真研究。李志紅等［5］以調(diào)速閥進(jìn)口節(jié)流調(diào)速系統(tǒng)為例，得到了液壓缸無桿腔壓力超調(diào)量的變化規(guī)律，并對理論推導(dǎo)和分析進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。劉恒麗等［6］利用功率鍵合圖法建立了鍵圖模型和數(shù)學(xué)模型，用MATLAB軟件進(jìn)行了仿真，對調(diào)速閥的性能進(jìn)行了分析。

流量控制閥-靜壓導(dǎo)軌支承系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，計(jì)算和分析都比較困難。國內(nèi)外很多學(xué)者都致力于靜壓支承系統(tǒng)的性能研究，但流量控制閥-靜壓導(dǎo)軌支承系統(tǒng)的動態(tài)特性的研究報(bào)道較少，因此筆者試圖采用線性化處理及Laplace變換的方法獲得導(dǎo)軌系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，對其進(jìn)行動態(tài)特性分析。

1 導(dǎo)軌系統(tǒng)的狀態(tài)分析

導(dǎo)軌系統(tǒng)主要包括對置靜壓油腔、流量控制閥、液壓泵及溢流閥等，如圖1所示。流量控制閥選用的是2FRM型二通流量控制閥，由旋鈕1、節(jié)流體2、節(jié)流口3、閥體4、彈簧5、壓力補(bǔ)償器6、節(jié)流孔7組成。節(jié)流口3為流量閥主要的壓力設(shè)定元件，壓力補(bǔ)償器6為流量閥的壓力自動調(diào)節(jié)元件。

圖1 導(dǎo)軌靜壓支承系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

導(dǎo)軌系統(tǒng)的對置油腔組由2個形式相同、尺寸相等的矩形油腔組成，如圖2所示。

1.1 導(dǎo)軌系統(tǒng)的初始狀態(tài)

導(dǎo)軌處于初始狀態(tài)時，導(dǎo)軌質(zhì)量為m，油腔尺寸確定，供油系統(tǒng)的泵壓為ps，油膜厚度為h0。

圖2 靜壓油腔的結(jié)構(gòu)示意圖

（1）導(dǎo)軌的運(yùn)動學(xué)分析。對初始狀態(tài)時的導(dǎo)軌進(jìn)行分析，建立力平衡方程：

式中，p1，0、p2，0分別為油腔1和油腔2的壓力；Ae，1、Ae，2分別為油腔1和油腔2的有效承載面積，Ai、Bi分別為矩形油腔的長和寬；ai、bi分別為在長、寬方向上的封油邊寬度。

（2）油腔的流量分析。導(dǎo)軌系統(tǒng)的流量可表示為

（3）流量控制閥的運(yùn)動學(xué)分析。流量控制閥中的壓力補(bǔ)償器處于平衡狀態(tài)，列出力平衡方程：

式中，F(xiàn)T，i為流量控制閥的彈簧力；pi＋2，0為壓力補(bǔ)償器的前部初始壓力；AF，i為壓力補(bǔ)償器的有效作用面積；FW，i為壓力補(bǔ)償器的穩(wěn)態(tài)液動力；Cv為流速系數(shù)；Cd為流量系數(shù)；di為壓力補(bǔ)償器的直徑；xi，0為壓力補(bǔ)償器的初始開口度；θ為壓力補(bǔ)償器的液流角，θ＝69°。

（4）流量控制閥的流量分析。對流量控制閥中的節(jié)流口、壓力補(bǔ)償器處的流量進(jìn)行計(jì)算，列出控制閥流量qF，i，0的表達(dá)式：

式中，AJ，i為節(jié)流口的通流面積；ρ為油液密度。流量控制閥內(nèi)部有節(jié)流口與壓力補(bǔ)償器兩個節(jié)流位置，因此式中存在兩個流量計(jì)算公式。

（5）導(dǎo)軌系統(tǒng)的流量分析。導(dǎo)軌系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，流量控制閥與油腔的流量相等：

1.2 導(dǎo)軌系統(tǒng)的過渡狀態(tài)

導(dǎo)軌處于過渡狀態(tài)時，油腔壓力p、油膜厚度h、壓力補(bǔ)償器的開口度x、前部壓力pi＋2均隨著外載荷F的變化而變化。

（1）導(dǎo)軌的運(yùn)動學(xué)分析。在外載荷F的作用下，導(dǎo)軌在對置兩油腔連線方向上的位移與油膜的厚度變化值e相等。對過渡狀態(tài)時的導(dǎo)軌進(jìn)行分析，建立力平衡方程：

（2）油腔的流量分析。導(dǎo)軌在外載荷的作用下，對置兩油腔的油膜厚度分別為h1、h2，h1＝h0-e，h2＝h0＋e，則油腔的瞬時流量可表示為

（3）流量控制閥的運(yùn)動學(xué)分析。過渡狀態(tài)下，流量控制閥中壓力補(bǔ)償器的開口度為xi，列出力平衡方程：

其中，彈簧力FT，i與開口度x有關(guān)，調(diào)節(jié)過程中開口度變化較小，因此FT，i認(rèn)定為恒值。

FW，i的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

壓力補(bǔ)償器的瞬態(tài)液動力FS，i的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，Li為壓力補(bǔ)償器內(nèi)液體軸向流動距離。

（4）流量控制閥的流量分析。對流量控制閥的節(jié)流口、壓力補(bǔ)償器的流量進(jìn)行計(jì)算，流量控制閥的輸出流量為

流量控制閥內(nèi)部有節(jié)流口與壓力補(bǔ)償器兩個節(jié)流位置，因此式（12）中存在兩個流量計(jì)算公式。

（5）導(dǎo)軌系統(tǒng)的流量分析。導(dǎo)軌系統(tǒng)處于過渡狀態(tài)時，流量控制閥與油腔的瞬時流量不相同，流量關(guān)系為

式中，qJ，i為 油膜 厚度變 化而 排擠的 油液 流量；qR，i為 控 制閥與油腔的容積效應(yīng)流量。

由于油膜厚度變化而排擠的油液的擠壓面積為

油腔的擠壓流量為

油液中較容易混有未溶解的空氣，因此需考慮容積效應(yīng)［7］。容積效應(yīng)一般與油液的壓縮性有關(guān)，與流量控制閥出口到油腔之間的所有油液體積（一般稱為敏感油路體積Voa，i）有關(guān)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，τ為油液的壓縮性系數(shù)；E為油液的彈性模量。

2 導(dǎo)軌系統(tǒng)的線性化及傳遞函數(shù)推導(dǎo)

2.1 導(dǎo)軌系統(tǒng)的方程推導(dǎo)

（1）初始狀態(tài)。根據(jù)導(dǎo)軌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，只要確定導(dǎo)軌質(zhì)量m、油腔尺寸、油膜初始厚度hi，0、油腔初始流量qi，0，則油腔壓力pi，0、前部壓力pi＋2，0、初始開口度xi，0均可計(jì)算出。

根據(jù)式（5），pi＋2，0可由xi，0表示：

將式（4）、式（17）代入式（3）中，得到

將式（2）、式（5）、式（17）代入式（6）中，得到

（2）過渡狀態(tài)。根據(jù)靜壓導(dǎo)軌的設(shè)計(jì)，只要確定導(dǎo)軌質(zhì)量m、油腔尺寸、初始油膜厚度hi，0、油腔流量qi，0、外載荷F，則油腔壓力pi、油膜厚度hi、前部壓力pi＋2、開口度xi均可計(jì)算。

根據(jù)式（12），pi＋2可由xi表示：

將式（10）、式（11）、式（20）代入式（9）中，得到

將式（20）代入式（12）中，得到

將式（15）、式（16）、式（22）代入式（13）中，得到

2.2 導(dǎo)軌系統(tǒng)的線性化

導(dǎo)軌系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)為油膜厚度變化值e、油腔壓力pi、壓力補(bǔ)償器開口度xi，因此基于這些參數(shù)對方程進(jìn)行變換。

式（7）減去式（1），得到

式（21）減去式（18），得到

式（23）減去式（19），得到

式（25）為非線性微分方程，對其進(jìn)行求解非常困難，因此有必要對其進(jìn)行線性化處理。

在實(shí)際應(yīng)用中，導(dǎo)軌系統(tǒng)的油腔壓力pi、壓力補(bǔ)償器開口度xi變化很小，因此將式（25）中的某部分設(shè)定為常數(shù)值：

將式（25）變換成Taylor級數(shù)的形式，去掉高階項(xiàng)，得到導(dǎo)軌系統(tǒng)的線性化方程：

同理，將式（26）變換成Taylor級數(shù)的形式，去掉高階項(xiàng)，得到導(dǎo)軌系統(tǒng)的線性化方程：

2.3 導(dǎo)軌系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)

對式（24）進(jìn)行Laplace變換［8］，得到

代入邊界條件，e（0＋）＝0，e（1）（0＋）＝0，則式（30）可簡化為

同理，對式（28）、式（29）進(jìn)行 Laplace變換，代入 邊 界 條 件，Δxi（0＋）＝ 0，Δx（1）i（0＋）＝0，Δpi（0＋）＝0，e（0＋）＝0。

將式（28）、式（29）代入式（31）中，得到

根據(jù)式（31）、式（32），計(jì)算出油膜厚度變化值e，油腔壓力pi壓力補(bǔ)償器的開口度xi：

3 導(dǎo)軌系統(tǒng)的動態(tài)特性分析

3.1 導(dǎo)軌系統(tǒng)的參數(shù)

導(dǎo)軌系統(tǒng)主要由導(dǎo)軌、油腔、流量控制閥、液壓泵、溢流閥等組成。導(dǎo)軌的參數(shù)如表1所示。

表1 靜壓導(dǎo)軌的參數(shù)

導(dǎo)軌系統(tǒng)有10對相同尺寸的對置靜壓油腔（即B1＝B2，b1＝b2，A1＝A2，a1＝a2），參數(shù)如表2所示。

表2 對置油腔的參數(shù)

流量控制閥（2FRM型二通流量控制閥）的數(shù)量為20，其參數(shù)如表3所示。

表3 流量控制閥的參數(shù)

外載荷信號為階躍載荷F1（kN）、脈沖載荷F2（kN），其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

式中，t為時間變量；T＝3。

3.2 導(dǎo)軌傳遞函數(shù)的簡化

根據(jù)式（33），采用表1～表3中的導(dǎo)軌系統(tǒng)的工作參數(shù)，利用MATLAB軟件計(jì)算出傳遞函數(shù)中各系數(shù)的數(shù)值，Γ0＝6.6460×10-8，Γ1＝2.6131 × 10-11，Γ2＝ 3.4828 × 10-14，Γ3＝3.7639×10-18，Γ4＝ 3.4077 × 10-21，Γ5＝-7.0699×10-25，Γ6＝ 2.5000 × 10-29，Ψ0＝11.4599，Ψ1＝0.2273，Ψ2＝3.4853×10-4，Ψ3＝4.2313 × 10-7，Ψ4＝ 1.3933 × 10-10，Ψ5＝7.0386×10-14，Ψ6＝ -3.8054×10-18，Ψ7＝-3.7540×10-22，Ψ8＝1.5000×10-26。

流量控制閥調(diào)節(jié)下的閉式靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在6個零點(diǎn)、8個極點(diǎn)，表達(dá)式復(fù)雜、分析困難。由于Γ6、Γ5、Γ4、Γ3、Γ2、Γ1、Ψ8、Ψ7、Ψ6、Ψ5、Ψ4、Ψ3相對于Γ0、Ψ1、Ψ0小若干個數(shù)量級，使得系統(tǒng)中相應(yīng)極點(diǎn)在s平面左半部遠(yuǎn)離虛軸，留數(shù)非常小，衰減指數(shù)非常大，對系統(tǒng)的影響較?。?］。

閉式靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）非常復(fù)雜，在實(shí)際的工程設(shè)計(jì)、調(diào)試及維護(hù)過程中，設(shè)計(jì)人員很難以此為依據(jù)，對導(dǎo)軌系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)分析。因此需抓住主要矛盾，忽略次要因素，進(jìn)行化簡，真正為工程設(shè)計(jì)人員提供理論依據(jù)，被工程設(shè)計(jì)人員靈活應(yīng)用。

因此對導(dǎo)軌系統(tǒng)進(jìn)行簡化，用慣性環(huán)節(jié)代替：

3.3 影響導(dǎo)軌動態(tài)性能的參數(shù)

根據(jù)式（35）可知，導(dǎo)軌的動態(tài)性能與油液參數(shù)ρ、μ，油腔參數(shù)Ae、Ab、B，油膜厚度h0，油壓參數(shù)ps、p0，流量控制閥參數(shù)d、AF、AJ、x0有關(guān)。

導(dǎo)軌系統(tǒng)的較多參數(shù)均對動態(tài)性能有重要影響。在實(shí)際設(shè)計(jì)、維護(hù)中，能夠調(diào)整且對動態(tài)性能有影響的參數(shù)有油膜厚度h0、油腔壓力p0、流量控制閥初始開口度x0及油液動力黏度η。

為了直觀描述各參數(shù)對導(dǎo)軌動態(tài)性能的影響，依次改變動力黏度μ、初始開口度x0，繪制動態(tài)性能與動力黏度、初始開口度之間的關(guān)系。

初始開口度x0的變化范圍如表4所示。油液牌號為VG15，工作溫度為10℃～50℃，黏溫特性（動力黏度η和運(yùn)動黏度ν的變化范圍如表5所示。

表4 初始開口度的變化范圍

表5 油液的黏溫特性表

動力黏度η（10-3Pa·s）40.32 29.18 18.08 12.02 8.46

3.4 導(dǎo)軌動態(tài)性能的時域分析

3.4.1 時域內(nèi)油溫對動態(tài)性能的影響

令油溫由10℃變化至50℃，繪制了不同溫度下油膜厚度及油腔壓力的階躍響應(yīng)曲線，如圖3、圖4所示。

圖3 油膜的階躍響應(yīng)曲線

圖4 油腔壓力變化的階躍響應(yīng)曲線

由圖3看出，油溫為10℃時（對應(yīng)的油液的動力黏度為40.32×10-3Pa·s），響應(yīng)時間為0.02s，油膜的穩(wěn)態(tài)變化值 Δh＝1.23μm；油溫升高至50℃時（對應(yīng)的油液的動力黏度降至8.46×10-3Pa·s），響應(yīng)時間為0.1s，油膜的穩(wěn)態(tài)變化值Δh＝5.80μm。隨著油溫逐漸升高，動力黏度μ逐漸降低，油膜的響應(yīng)時間延長，穩(wěn)態(tài)變化值Δh增大。

圖4所示為不同溫度下油腔壓力的階躍響應(yīng)曲線。由圖4看出，當(dāng)油液溫度為10℃時（對應(yīng)的油液的動力黏度為40.32×10-3Pa·s），響應(yīng)時間為0.03s，油腔壓力的穩(wěn)態(tài)變化值Δp＝5.169kPa；油溫升高至50℃時（對應(yīng)的油液的動力黏度降至8.46×10-3Pa·s），響應(yīng)時間為0.1s，油腔壓力Δp＝5.168kPa。

隨著溫度逐漸升高，油液動力黏度μ降低，油膜變化值Δh依次增大。動力黏度μ與油膜變化值Δh相互影響，如下式所示：

但二者相互影響，相互作用，反而使得對油腔壓力的影響很小，基本可以忽略，因此油腔壓力的穩(wěn)態(tài)值基本保持恒定，如圖4中曲線所示。

3.4.2 時域內(nèi)初始開口度對動態(tài)性能的影響

調(diào)整流量控制閥的初始開口度x0，繪制了不同初始開口度下油膜厚度的脈沖響應(yīng)曲線，如圖5所示。

圖5 油膜變化值的脈沖響應(yīng)曲線

由圖5看出，當(dāng)初始開口度x0＝1.8mm時，響應(yīng)時間為0.1s，油膜穩(wěn)態(tài)變化值Δh＝3μm；初始開口度為2.2mm時，響應(yīng)時間為0.1s，油膜穩(wěn)態(tài)變化值Δh＝5μm。

根據(jù)導(dǎo)軌油膜的數(shù)學(xué)模型（式（36）），在本范例中流量控制閥初始開口度x0的變化范圍內(nèi)，開口度x0逐漸增大時，φ1增大，增益系數(shù)J0逐漸增大，因此油膜變化值Δh逐漸增大。

如圖5所示，逐漸增大對置兩油腔的流量控制閥初始開口度x0，初始狀態(tài)下導(dǎo)軌上下油腔油膜越接近等間隙狀態(tài)，油腔液阻的變化越小，因此油膜變化值Δh隨控制閥初始開口度x0增大而增大。

3.5 導(dǎo)軌動態(tài)性能的頻域分析

3.5.1 頻域內(nèi)油溫對動態(tài)性能的影響

令油溫由10℃變化至50℃，繪制了不同溫度下導(dǎo)軌的幅頻、相頻特性曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 不同溫度下導(dǎo)軌的幅頻曲線

從圖6、圖7看出，隨著油溫升高，導(dǎo)軌的幅值在100～102Hz范圍內(nèi)逐漸變小，在102～105Hz范圍內(nèi)變化不大；相角在100～103Hz范圍內(nèi)逐漸增大，穩(wěn)定性變好，在103～105Hz范圍內(nèi)變化不大。

圖7 不同溫度下導(dǎo)軌的相頻曲線

隨著油溫的升高，動力黏度μ逐漸減小，導(dǎo)軌系統(tǒng)出現(xiàn)幅值減小、相角增大的趨勢。

3.5.2 頻域內(nèi)初始開口度對動態(tài)性能的影響

調(diào)整流量控制閥的初始開口度x0，繪制了不同初始開口度下導(dǎo)軌的幅頻、相頻曲線，如圖8、圖9所示。

圖8 不同初始開口度下導(dǎo)軌的幅頻曲線

圖9 不同初始開口度下導(dǎo)軌的相頻曲線

從圖8、圖9看出，隨著流量控制閥的初始開口度x0逐漸增大，導(dǎo)軌的幅值在100～103Hz范圍內(nèi)變大，在103～105Hz范圍內(nèi)變小，但變化程度很??；相角在100～102Hz范圍內(nèi)變化不大，在102～104Hz范圍內(nèi)減小。

4 結(jié)論

（1）液體靜壓導(dǎo)軌系統(tǒng)可簡化為慣性環(huán)節(jié)，列出了傳遞函數(shù)與各參數(shù)的表達(dá)式。對動態(tài)性能有較大影響的參數(shù)有油膜厚度h0、油腔壓力p0、流量控制閥初始開口度x0及油液動力黏度μ。

（2）隨著油溫升高，動力黏度降低，油膜厚度變化值增大，但油腔壓力基本恒定；導(dǎo)軌幅值變小，相角變大。因此在油液的工作溫度范圍內(nèi)，油溫越低，導(dǎo)軌的動態(tài)性能越好。

（3）在本文流量控制閥開口度的調(diào)節(jié)范圍內(nèi)，開口度增大，油膜厚度變化值變大；導(dǎo)軌幅值出現(xiàn)先增大后減小，相角變小的趨勢。

（4）綜合考慮油溫、流量控制閥開口度對導(dǎo)軌動態(tài)性能的影響，在實(shí)際設(shè)計(jì)、維護(hù)過程中，油溫越低，導(dǎo)軌的動態(tài)性能越好；改變流量控制閥的初始開口度，可以很好地調(diào)整導(dǎo)軌的動態(tài)特性。

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