張偉中 張 斌 伍曉紅 孫 清

1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州，310053 2.河南省電力勘測設(shè)計(jì)院，鄭州，450007 3.西安交通大學(xué)，西安，710049

0 引言

時滯系統(tǒng)普遍存在于自然和工程實(shí)際中，從自然界到人類社會，從自然科學(xué)、工程技術(shù)到社會科學(xué)，時滯現(xiàn)象無處不在［1-12］。在精密儀表、數(shù)控機(jī)床等自動化產(chǎn)品結(jié)構(gòu)涉及的振動主動控制領(lǐng)域也不可避免地存在著時滯現(xiàn)象，傳感器信號的采集和傳輸、控制器的計(jì)算、作動器的作動過程等，都會導(dǎo)致作用于結(jié)構(gòu)的控制力產(chǎn)生時滯［13-14］。時滯的存在使受控系統(tǒng)成為無限維系統(tǒng)，增加了其動力特性的復(fù)雜性，而且時滯反饋系統(tǒng)具有超越特征方程和無限多特征值，給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了難度，因此數(shù)值方法成為了分析時滯控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具。精細(xì)積分方法是為解決結(jié)構(gòu)動力學(xué)計(jì)算而提出的，該算法簡單且計(jì)算精度很高，近年來在計(jì)算動力學(xué)問題、最優(yōu)控制問題以及偏微分方程中得到應(yīng)用［15-16］。但是對于時滯受控系統(tǒng)，當(dāng)控制力與系統(tǒng)的位移和速度相關(guān)時，需要對荷載向量逐步進(jìn)行賦值，故應(yīng)用精細(xì)積分方法時須先對其進(jìn)行修正。本文對精細(xì)積分方法進(jìn)行改進(jìn)，計(jì)算含時滯受控系統(tǒng)的動力學(xué)方程，得到了在不同時滯量下系統(tǒng)的響應(yīng)。

1 含時滯振動控制系統(tǒng)的動力學(xué)方程

含雙時滯受控系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下：

2 時滯受控系統(tǒng)動力響應(yīng)的精細(xì)積分方法

首先進(jìn)行變量代換，引入一對對偶變量，令

則式（1）可以表示為

令

則式（5）為非齊次微分方程，先求解其齊次解，齊次方程形式如下：

設(shè)時間步長為τ，則

令v0＝v（0），v1＝v（τ），v2＝v（2τ），…，vk＝v（k τ），則

下面求T，有

令Δt＝τ／N，當(dāng)取N＝2n很大時，Δt很小，采用泰勒級數(shù)展開：

從而

由于Ta的元素值相對于單位矩陣I非常小，為減小計(jì)算機(jī)的舍入誤差，編程時單位矩陣I不參與累加及乘法運(yùn)算，而是通過對Ta＝2Ta＋T2a進(jìn)行n次循環(huán)計(jì)算得到Ta，當(dāng)循環(huán)結(jié)束時，有

得到了齊次方程的解后，下面求解式（5），設(shè)非齊次項(xiàng)在時間步長（tk，tk＋1）內(nèi)為線性變化，則式（5）可寫為

其中，P0＝ P（tk），P1＝ （P（tk＋1）-P（tk））／τ。式（5）的解可表示為

將t＝tk＋1代入式（14），由于exp（H（tk＋1-tk））＝exp（Hτ）＝T，因此有

在文獻(xiàn)［16］的算例中，每個時間點(diǎn)的荷載向量P0和P1都是已知的，在程序的初始可以提前賦值，但對本文求解的含有時滯的振動控制方程，由于控制力gpx（t-τ1）和gdx·（t-τ2）與該時間點(diǎn)τ1之前的位移以及τ2之前的速度有關(guān)，而系統(tǒng)的位移和速度是待求解的，無法提前預(yù)知，故荷載向量無法在程序初始時賦值，因此，P0和P1的求解成為解決問題的關(guān)鍵。

選取合適的時間步長τ，令τ與時滯量τ1和τ2滿足下述關(guān)系：

式中，l、p均為正整數(shù)。

設(shè)l＜p，對第k個時間步長的荷載向量進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)k＜l-1時，有

對 k ＝ l-1， 設(shè) vk＝ ［q（tk）p（tk）］T＝［qkpk］T，則有

對l≤k＜p-1，有

對k＝p-1，有

對k≥p，有

其中，qk-l、pk-p、qk-p等在第k步計(jì)算時已經(jīng)為已知，此時可以逐步對P0和P1賦值，再根據(jù)式（15）求出每一步的響應(yīng)。對于l≥p的情況，過程類似，此處不再贅述。

3 算例結(jié)果及分析

選取Elcentro波，峰值加速度a為200cm／s2，波形如圖1所示。取系統(tǒng)參數(shù)為：m＝1kg，c＝3 N·s／m，K ＝500N／m，初始條件為x（0）＝0，（0）＝0，則動力方程表達(dá)為

圖1 Elcentro波

采用前述精細(xì)積分方法，取時間步長為0.01s，當(dāng)系統(tǒng)沒有控制時，時程響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 無控制時系統(tǒng)時程響應(yīng)

圖3 取gp＝－0.020 000N／m，gd＝－2.388 877N·s／m時系統(tǒng)時程響應(yīng)

圖4 取gp＝－0.199 960N／m，gd＝－11.470 657N·s／m時系統(tǒng)時程響應(yīng)

從圖3～圖5可以看出，隨著控制增益gp和gd取值的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)趨于減小，則控制效果越來越好。

圖5 取gp＝－1.996 016N／m，gd＝－41.866 380N·s／m時系統(tǒng)時程響應(yīng)

以上是不考慮時滯的情況，但是在工程實(shí)際中，時滯是不可避免的，下面采用精細(xì)積分算法分別計(jì)算不同時滯情況下的系統(tǒng)響應(yīng)，并將每種時滯組合下系統(tǒng)響應(yīng)的最大值即系統(tǒng)響應(yīng)峰值與相應(yīng)的時滯組合繪制分布圖。

（1）當(dāng) gp＝ -0.02N／m，gd＝ -2.388 877 N·s／m時，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

（2）當(dāng) gp＝ -0.199 960N／m，gd＝-11.470 657N·s／m 時，時間響應(yīng)分別為0～0.3s和0～0.06s時，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

（3）當(dāng) gp＝ -1.996 016N／m，gd＝-41.866 380N·s／m時，系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)響應(yīng)峰值位移量S分布圖

從圖6、圖7a和圖8a可以看出，系統(tǒng)的峰值分布主要隨τ2發(fā)生變化，這是由于在三組最優(yōu)控制中，gd都明顯大于gp，因此與gd相關(guān)的時滯量τ2就對系統(tǒng)的響應(yīng)起了決定性的作用。盡管系統(tǒng)響應(yīng)峰值隨τ2增大上升之后又有回落，但是此時已經(jīng)失去了控制效果，在圖6中回落的最低點(diǎn)峰值S＝0.006 763 3m（τ1＝0.19s，τ2＝0.25s），與系統(tǒng)無控的響應(yīng)峰值位移量S＝0.007 329m相比，控制效果并不明顯。為此文中對時滯影響的討論主要集中在響應(yīng)峰值隨時滯變化的上升階段。

因圖7a和圖8a中的峰值過大，為清楚描述峰值隨時滯變化的上升過程，將時滯的變化范圍縮小到0.06s和0.03s以內(nèi)，分別得到圖7b和圖8b。

比較圖6、圖7b和圖8b可以看出，對于固定的控制增益，在變化的初期隨著時滯的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)峰值也增大。當(dāng)時滯較小時，選擇較大的控制增益可以獲得較好的控制效果。

在圖6中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值位移量S＝0.005 83m，而圖7b中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.01s時，系統(tǒng)的響應(yīng)峰值S＝0.003 388m，同無時滯情況下的兩種增益取值下的峰值對比趨于一致。但是同時，隨著時滯的增大，較大的控制增益會使系統(tǒng)更快地失去穩(wěn)定，如圖8a，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值已經(jīng)達(dá)到了1 741 100m，發(fā)散速度很快，而在圖6中，當(dāng)τ1＝0.01s，τ2＝0.04s時，系統(tǒng)響應(yīng)的峰值位移量S僅為0.006 227m，仍具有一定的控制效果。

4 結(jié)論

（1）最優(yōu)控制方法對于無時滯系統(tǒng)可以獲得很好的控制效果，但對考慮時滯情況的受控系統(tǒng)則有一定的局限性，如果減小控制增益的加權(quán)矩陣R，得到的最優(yōu)控制增益將增大，理論的控制效果也更好。

（2）時滯對系統(tǒng)控制效果的影響程度與反饋增益有關(guān)，隨著增益的增大而增大，并且時滯的增大會導(dǎo)致控制增益較大情況下系統(tǒng)響應(yīng)很快發(fā)散；同時，較大的控制增益會使系統(tǒng)更快地失去穩(wěn)定；為此應(yīng)適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)時滯量和反饋控制增益，使它們相匹配，這樣可以使系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)。因此應(yīng)根據(jù)控制過程中的時滯量選擇合理的控制增益，以獲得更好的控制效果。

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