鄒秀清 董二寶 張世武 許 旻 楊 杰

中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥，230027

0 引言

柔性結(jié)構(gòu)［1］是一種依靠材料的彈性變形來(lái)傳輸運(yùn)動(dòng)或力的裝置，相比傳統(tǒng)的剛性鉸鏈機(jī)構(gòu)，柔性機(jī)構(gòu)在簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、減少磨損和提高精度上都有顯著的優(yōu)勢(shì)。柔性機(jī)構(gòu)通常被應(yīng)用在精密工程場(chǎng)合以及仿生機(jī)械及機(jī)器人等領(lǐng)域［1-2］。

在高速、精密以及高性能MEMS應(yīng)用場(chǎng)合，柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題十分突出。因此，柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性分析方法的研究是柔性機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一個(gè)重要方向。

文獻(xiàn)［3］考慮柔性體變形的動(dòng)力剛化現(xiàn)象，提出了在有限元方法中引入單元耦合形函數(shù)，再根據(jù)Kane方程得到包含動(dòng)力剛度項(xiàng)的一致線性化動(dòng)力學(xué)方程，但是該方法是在結(jié)構(gòu)小變形的前提下推導(dǎo)得出的，對(duì)大變形問(wèn)題并不適用。

文獻(xiàn)［4］針對(duì)全柔性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析總結(jié)了幾種方法:一種是偽剛體法，這種方法雖然可以使柔性體的動(dòng)力學(xué)建模得到很大簡(jiǎn)化，但是簡(jiǎn)化造成的誤差較大，且復(fù)雜柔性機(jī)構(gòu)的偽剛體模型的建立也非常困難;一種是利用有限元軟件建立柔性系統(tǒng)的有限元模型，這種方法只限于小變形尺度，可以忽略位形變化對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響;還有一種就是應(yīng)用傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法進(jìn)行分析，這種方法效率低、耗時(shí)長(zhǎng)、成本高。

柔性體動(dòng)力學(xué)的有限段方法是基于多剛體動(dòng)力學(xué)理論發(fā)展起來(lái)的柔性體動(dòng)力學(xué)分析方法，自然計(jì)及幾何非線性的影響［5］。對(duì)于梁式柔性機(jī)構(gòu)，可以方便地應(yīng)用有限段方法進(jìn)行離散建模，再利用原有的多剛體動(dòng)力學(xué)理論進(jìn)行計(jì)算分析。

本文采用有限段模型［6］對(duì)形狀記憶合金(SMA)扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的柔性結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行離散建模，結(jié)合ADAMS動(dòng)力學(xué)分析軟件在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析上的優(yōu)勢(shì)，對(duì)SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

1 有限段原理介紹

有限段方法的基本思想是:將梁式柔性構(gòu)件離散為有限的剛性梁段，段間用3個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧、3個(gè)線性彈簧及與之相應(yīng)的6個(gè)阻尼器相連接，如圖1所示。在小應(yīng)變有限變形的條件下，可用離散的梁段來(lái)描述柔性體的慣性特征，用段間的彈簧和阻尼器代表柔性體的彈性和阻尼特性［7］。

圖1 梁式柔性機(jī)構(gòu)的有限段模型

在小應(yīng)變有限變形的情況下，雖然整體的變形比較大，但由于是小應(yīng)變，每一小段的變形仍然符合小變形條件，所以有限段模型在小變形情況和小應(yīng)變大變形情況都是適用的。

為了推導(dǎo)梁段之間彈簧的剛度特性，我們首先考察懸臂梁自由端的位移與作用其上的力(矩)的關(guān)系。

根據(jù)線性梁的理論［8］，在懸臂梁的自由端施加力和力矩，在變形較小的情況下，懸臂梁自由端的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量與施加的力和力矩之間的關(guān)系如下。

首先，左端固定情況如圖2所示，懸臂梁自由端上施加的力F和力矩M與位移u和轉(zhuǎn)動(dòng)分量θ之間的關(guān)系可以表示為

式中，l為梁長(zhǎng)度;A為梁截面積;J為梁截面積對(duì)X軸的形心二次矩;Iy為梁截面積對(duì)Y軸的形心二次矩;Iz為梁截面積對(duì)Z軸的形心二次矩;E為材料彈性模量;G為材料剪切模量。

圖2 右端點(diǎn)2作用一般載荷的懸臂梁

同理可以得出右端固定情況下的力和力矩與位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量之間的關(guān)系，限于篇幅，這里不再一一列出。

然后，考察柔性梁的彈簧連接有限段模型。為了建立精確的梁模型，彈簧必須精確表示相鄰段間的彈性。為推導(dǎo)這個(gè)表達(dá)式，考察圖3所示的兩個(gè)相鄰段Bj和Bk。其中，連接彈簧分別由兩個(gè)代表相應(yīng)段彈性的部分組成，同時(shí)，連接彈簧代表相應(yīng)段的伸張、彎曲和扭轉(zhuǎn)特性。

圖3 兩個(gè)典型相鄰有限段

每段有12個(gè)與其相關(guān)的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量(與每個(gè)端點(diǎn)相關(guān)的有6個(gè))。為了定義這些分量，考察如圖4所示的任一段Bj。令Gj為Bj的質(zhì)心。令Oj和Ok為Bj的彈簧與相鄰段Bi的彈簧的連接點(diǎn)以及Bk的彈簧與相鄰段Bj的彈簧的連接點(diǎn)。令OI、OJ和 OK分別為以 Oj、Gj和 Ok為原點(diǎn)的參考系。令RJ的軸與Bj的主軸連續(xù)共線。RI和RK的軸當(dāng)彈簧未變形時(shí)與RJ的軸平行。則OI相對(duì)于OJ的位移和RI相對(duì)于RJ的轉(zhuǎn)動(dòng)共有6個(gè)自由度。同理，OK相對(duì)于OJ的位移和RK相對(duì)于RJ的轉(zhuǎn)動(dòng)共有6個(gè)自由度，即與Bj段相關(guān)的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量有12個(gè)。這些位移和轉(zhuǎn)動(dòng)變量的定義如表1所示。其中，Rk、Rj分別為以O(shè)K和OI為原點(diǎn)的參考系。

圖4 典型有限段模型

表1 位移和轉(zhuǎn)動(dòng)變量

Rk相對(duì)于Rj的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)變量可表示為

根據(jù)式(1)、式(2)，可將 ukx、uky和 ukz表示為

因?yàn)樵贠k節(jié)點(diǎn)處沒(méi)有質(zhì)量，也不受外力，所以有:

所以，ukx、uky和 ukz可以表示為

同樣，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以表示成

由上可解出 Fj2x、Fj2y、Fj2z、Mj2x、Mj2y和 Mj2z:

其中，系數(shù) a、b、c與相應(yīng)段的結(jié)構(gòu)、材料參數(shù)有關(guān)，這里不一一列出，可參考文獻(xiàn)［7］。

到此，我們得出了各個(gè)段之間的彈簧剛度特性。

2 基于ADAMS宏命令的有限段模型建立與數(shù)值計(jì)算

為了探討有限段模型的準(zhǔn)確性，我們需要建立梁的有限段模型，為了分析梁的變形情況，需要建立有限段模型的多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)方程，如文獻(xiàn)［9-10］所描述的，需要計(jì)算出每個(gè)有限段的廣義速率，整理出整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組再求解微分方程組而得到系統(tǒng)的特性，模型的建立及求解過(guò)程非常復(fù)雜而且對(duì)于復(fù)雜模型更是無(wú)能為力。

本文應(yīng)用ADAMS軟件建立有限段多剛體模型進(jìn)行分析，把動(dòng)力學(xué)方程的建立和求解過(guò)程交給軟件處理，我們需要做的就是在ADAMS中準(zhǔn)確地建立系統(tǒng)的有限段模型。

要在ADAMS中建立有限段模型，關(guān)鍵是創(chuàng)建各個(gè)有限段以及在各有限段之間施加的力和力矩。根據(jù)有限段模型的特點(diǎn)，有限剛體段和力與力矩的建立是一個(gè)重復(fù)性的過(guò)程，我們利用ADAMS宏命令的循環(huán)語(yǔ)句建立模型。先用循環(huán)命令建立所有的有限段，然后再用一個(gè)循環(huán)命令建立各段之間的力和力矩。具體的建立方法如下:如要在第i個(gè)有限段part i和第i+1個(gè)有限段part i+1之間建立有限段的彈簧力和彈簧力矩，先分別在part i的右端面和part i+1的左端面創(chuàng)建標(biāo)記點(diǎn) marker i和 marker i+1，再在標(biāo)記點(diǎn)marker i和marker i+1之間創(chuàng)建 VFORCE(X、Y、Z三向的直線力)和VTORQUE(X、Y、Z三向的扭轉(zhuǎn)力)。其中，段 part i和段 part i+1之間的力VFORCE的表達(dá)式根據(jù)式(11)、式(13)、式(15)建立，ukx、uky、ukz分別是 marker i+1 相對(duì)于marker i的X、Y、Z軸的移動(dòng)位移。同樣，段part i和段part i+1之間的力VTORQUE的表達(dá)式根據(jù)式(12)、式(14)、式(16)建立，θkx、θky、θkz分別是marker i+1相對(duì)于marker i的X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。

下面，我們探討有限段模型的準(zhǔn)確性。首先，比較直梁的有限段模型和有限元模型在恒力作用下的變形。對(duì)厚度h=4mm、寬度b=2mm、長(zhǎng)度L=80mm的懸臂直梁，在ADAMS中建立直梁的有限段離散模型，如圖5所示，各剛體段間施加的力和力矩按以上有限段模型計(jì)算的剛度乘以變形時(shí)段間的相對(duì)位置變化得到。分析結(jié)果如圖6所示，從圖中可以看出，隨著有限段模型不斷細(xì)化，有限段模型的分析結(jié)果不斷靠近有限元模型的分析結(jié)果。

圖5 直梁的有限段模型

圖6 直梁靜力分析比較

然后，比較曲梁的有限段模型和有限元模型在恒力作用下的變形。在曲梁的有限段模型中，相鄰兩有限段之間的中性軸并不是平行的，而是有一定曲率夾角存在的，在推導(dǎo)各段之間的彈簧剛性時(shí)存在更復(fù)雜的耦合情況。但是，隨著有限段的不斷細(xì)化，相鄰兩段之間的夾角不斷減小，對(duì)彈簧剛度的影響也不斷減小甚至可以忽略。因此，在曲梁應(yīng)用上，為了簡(jiǎn)化有限段模型的段間彈簧剛度的推導(dǎo)，在計(jì)算段間剛度時(shí)，忽略相鄰兩段之間曲率的影響，將相鄰兩段近似為直梁段，段間剛度仍然按照直梁的方法推導(dǎo)。任意兩小段之間近視為直線段，軸向方向近視為兩段相鄰點(diǎn)處的切線方向。隨著有限段離散的細(xì)化，兩小段之間的傾角不斷減小，這種由近似造成的誤差也將不斷減小。對(duì)厚度 h=4mm、寬度 b=2mm、半徑R=50mm的1/4圓弧，在ADAMS中的模型如圖7所示，建模方法與直梁一致。分析結(jié)果如圖8所示，從圖中可以看出，隨著有限段模型不斷細(xì)化，有限段模型的分析結(jié)果也不斷靠近有限元模型的分析結(jié)果，且誤差與直梁的有限段模型相差不大。

基于以上比較結(jié)果可知，盡管有限段模型在曲梁分析上的應(yīng)用存在忽略梁段之間曲率的簡(jiǎn)化，但是對(duì)有限段離散足夠細(xì)的模型，其分析結(jié)果仍是可靠的。所以，我們認(rèn)為有限段模型在一定范圍內(nèi)的分析應(yīng)用是可靠的。

圖7 曲梁的有限段模型

圖8 曲梁靜力分析比較

3 SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性分析

SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的工作原理如圖9所示，SMA合金絲按一定規(guī)則纏繞在柔性結(jié)構(gòu)及外圓環(huán)上，加熱SMA合金絲使其收縮帶動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，從而使中間傳動(dòng)軸孔轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度。由于本文的主要工作集中在有限段模型建立和SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性分析上，SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器中柔性結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及SMA絲的布置問(wèn)題在其他文章中有詳細(xì)介紹，這里不再贅述。

圖9 SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)圖與實(shí)物

本文結(jié)合有限段模型和ADAMS動(dòng)力學(xué)分析軟件來(lái)分析SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性。SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的柔性結(jié)構(gòu)在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中是采用B樣條曲線來(lái)描述曲線形狀的，在MATLAB中離散成若干個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。在建立有限段模型時(shí)，為了方便，直接以這些離散坐標(biāo)點(diǎn)為離散位置進(jìn)行劃分。由式(11)～式(16)計(jì)算各段之間的彈性特性，在ADAMS中通過(guò)應(yīng)用宏命令建立有限段多剛體模型的方法建立SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的離散有限段模型。

首先分析靜力情況。在ADAMS中建立SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的有限段模型，如圖10所示。在緩慢施加的對(duì)稱恒力10N的載荷作用下，柔性梁厚度為0.4mm的扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的輸出轉(zhuǎn)角如圖11所示。圖12顯示不同厚度柔性梁的驅(qū)動(dòng)器輸出轉(zhuǎn)角。

圖10 SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的有限段模型

圖11 SMA扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器輸出轉(zhuǎn)角曲線

圖12 不同厚度下的輸出轉(zhuǎn)角

然后，在動(dòng)載荷情況下觀察扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的扭轉(zhuǎn)情況。分別施加脈沖載荷和階躍載荷，觀察驅(qū)動(dòng)器的響應(yīng)情況。

圖13顯示柔性梁厚度為0.5mm時(shí)，在脈沖載荷作用下的時(shí)域和頻域響應(yīng)結(jié)果。圖14顯示不同厚度的柔性梁在脈沖載荷下的響應(yīng)頻率，從圖14中可以看出厚度越大，響應(yīng)頻率越高。

在階躍載荷作用下，柔性梁厚度為0.5mm時(shí)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)如圖15所示。

4 結(jié)論

(1)有限段方法是對(duì)梁式柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的有效方法。

(2)利用ADAMS宏命令在ADAMS中創(chuàng)建有限段模型系統(tǒng)，可以大大簡(jiǎn)化多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的建立過(guò)程。

圖13 脈沖載荷下扭轉(zhuǎn)響應(yīng)

圖14 不同厚度下的響應(yīng)頻率

圖15 階躍載荷下扭轉(zhuǎn)響應(yīng)

(3)將有限段方法應(yīng)用于SMA柔性扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)分析，獲得了扭轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)器的相關(guān)動(dòng)態(tài)特性。

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