楊清艷 韓 江 張魁榜 夏 鏈

合肥工業(yè)大學，合肥，230009

0 引言

磨齒加工是高性能齒輪制造最主要的手段和工藝方法，其主要特點是可以全面糾正齒輪磨削前的各種誤差，最終獲得高的加工精度。在目前科學技術支撐條件下，成形磨齒機可能是目前制造水平下獲得最高精度的高生產率齒輪加工機床，必將成為未來高端磨齒機產品的主流［1］，而其精度指標是影響工件加工精度的重要因素。提高機床精度和減小加工誤差的主要途徑一方面是提高機床的機械性能，另一方面是實時地對機床空間誤差進行補償［2-3］。本文主要針對QCYK7332A數控成形砂輪磨齒機，利用多體系統理論以及 4×4Denavit－Hartenberg齊次變換矩陣［4-7］，分析了機床幾何誤差的來源，建立了誤差模型，提出通過函數法來對誤差進行預測進而實時地在線補償誤差。

1 基于多體系統理論的成形磨齒機空間誤差模型及誤差分析

1.1 成形磨齒機結構及拓撲結構描述

QCYK7332A數控成形磨齒機是直徑320mm以下的高精度、大批量生產以及特種齒輪磨削的磨齒設備。磨齒過程中若不考慮砂輪的修整，則由機床的2根移動軸 X、Z和3根旋轉軸A、B、C完成加工。圖1為數控成形磨齒機床及其結構示意圖。

圖1 數控成形磨齒機床及其結構示意圖

床身基座1作為B1體，將磨床系統分為兩個分支:①分支一為床身基座1、砂輪架進刀X軸2、砂輪架走刀軸Z軸3、刀架旋轉軸A軸4、B旋轉軸5;②分支二為床身基座1、工件軸(C旋轉軸)6。

對于分支一，以床身基座B1體為起點，沿遠離B1的方向，以自然數增長順序依次標定每個部件的序號:床身基座B1，砂輪架進刀X軸B2，砂輪架走刀軸Z軸B3，刀架旋轉軸A軸B4，B旋轉軸B5，工件軸(C 旋轉軸)B6。

根據以上數控成形磨齒機的拓撲結構描述，得到表1和圖2所示的成形磨齒機的低序列體陣列及其拓撲結構示意圖。

表1 成形磨齒機低序列體陣列

圖2 拓撲結構示意圖

1.2 數控成形磨齒機系統相鄰體間變換矩陣的建立

對于數控成形磨齒機QCYK7332A，其加工過程由2根移動軸X、Z，3根旋轉軸A、B、C完成。根據機床多體系統理論，它在加工中總共包括32項空間誤差:線性位移誤差Dx(X)、Dz(Z);垂直直線度誤差 Dy(X)、Dx(Z);水平直線度誤差Dz(X)、Dy(Z);滾轉誤差 Ax(X)、Az(Z);俯仰角度誤差Ay(X)、Ax(Z);偏擺角度誤差Az(X)、Ay(Z);垂直度誤差 SYX、SZY;安裝誤差 Dz(C)、Dx(A)、Dy(B);垂直直線度誤差 Dx(C)、Dy(A)、Dz(B);水平直線度誤差Dy(C)、Dz(A)、Dx(B);俯仰角誤差 Ax(C)、Ay(A)、Az(B);偏擺角誤差 Ay(C)、Az(A)、Ax(B);轉角誤差 Ac(C)、Aa(A)、Ab(B)。

其中，D表示直線位移誤差、A表示旋轉誤差，S表示垂直誤差，下標表示位移方向、括號內字母表示誤差軸。

1.2.1理想狀態(tài)下各運動副的坐標齊次變換矩陣

(1)移動副坐標齊次變換矩陣。當機床的砂輪架進刀X軸B2、砂輪架走刀軸Z軸B3移動無誤差時，其相鄰體之間的齊次變換矩陣為

(2)轉動副坐標齊次變換矩陣。同理，當A、B、C軸無旋轉誤差時，其相鄰體之間的變換矩陣為

式中，φ為A軸繞其x軸的轉角;α為C軸繞其z軸的轉角;β為B軸繞其y軸的轉角。

1.2.2考慮誤差的成形磨床各運動副坐標齊次變換矩陣

在機床的加工過程中，如果各種誤差為零，則砂輪邊緣上點的空間坐標系t與工件的空間坐標系p是重合的;但實際中，由于各種誤差存在，砂輪邊緣上點的空間坐標與工件的空間坐標將發(fā)生分離，此時砂輪邊緣上點與工件之間的坐標變換矩陣就是所求的誤差模型矩陣。

1.2.2.1 移動副坐標齊次變換矩陣

當砂輪架進刀X軸體B2存在沿x軸軸向的線性位移誤差Dx(X)，在XY平面，存在沿y、z軸的直線度誤差Dy(X)、Dz(X)，繞 y、z軸的偏擺角誤差Ay(X)、Az(X)，繞x軸滾轉誤差Ax(X)時，可得相鄰體之間的坐標變換矩陣為

式中，P為平移變換矩陣;M為旋轉變換矩陣。

其中，x為描述機床導軌沿 X軸的設定運動量，x=［x10 0］T;δx為機床導軌沿參考方向移 動 時 在 x、y、z 方 向 的 位 移 誤 差，δx=［Dx(X)Dy(X)Dz(X)］T;θx為移動軸與參考軸 平 面 YX、ZX 的 垂 直 度 誤 差，θx=［0 SYXSZX］T。因此可將式(6)擴展為

同理可得砂輪架走刀軸Z軸體B3沿z軸運動時，相對于體B2的坐標變換矩陣:

1.2.2.2 轉動副坐標齊次變換矩陣

當砂輪B軸體B5存在繞y軸的角位移誤差Ay(B)，沿 x軸、y軸、z軸的直線度誤差 Dx(B)、Dy(B)、Dz(B)，沿 x軸、z軸的偏擺角誤差 Ax(B)、Ay(B)、Az(B)時，可得砂輪B軸體B5相對于相鄰體B4包含誤差的變換矩陣為

式中，R為旋轉變換矩陣;Q為平移變換矩陣。

可得砂輪B軸體B5相對于相鄰體B4包含誤差的變換矩陣為

同理，也可得工件C軸體B6相對于相鄰體B1，以及刀架旋轉軸A軸體B4相對于相鄰體B3包含誤差的變換矩陣分別為

1.3 磨床誤差模型的建立

(1)在理想(無誤差)情況下，砂輪邊緣上點坐標系t和工件坐標系p在空間重合，因此砂輪邊緣上點坐標系t相對于機床底座體B1基坐標系的齊次坐標變換等于坐標系p相對于機床底座體B1基坐標系的齊次坐標變換，即

根據多體系統理論并結合圖1所示磨床的結構，可以分別得到

可以得出工件主軸坐標系c相對于工件坐標系p的齊次變換矩陣:

(2)在有誤差的情況下，t與p在空間上產生了分離，t相對p的齊次變換矩陣即為誤差矩陣，也就是所求的誤差模型:

將式(15)代入式(16)，運用軟件進行計算，可得到所要求的誤差模型?；谛≌`差假設的綜合誤差矩陣為

將式(16)展開并舍去二次及二次以上的分量，再結合式(18)得到該磨床的2個位置及3個轉角的綜合誤差模型如下:

其中

1.4 砂輪邊緣上點與齒輪幾何誤差規(guī)律分析

根據以上模型，式(19)～式(24)表示了各運動軸運動過程中的誤差與砂輪邊緣上點的誤差之間的函數關系。由于各軸之間存在運動關系，最終將各幾何誤差轉化到了砂輪上，引起砂輪在運動中偏移理想的位置，從而導致加工出來的齒輪產生齒形誤差。以刀具軸B軸旋轉副的誤差為例，說明各運動軸加工過程中的誤差，進而將誤差轉移到了砂輪邊緣上，引起砂輪偏離原來的位置。圖3為只考慮B軸所引起的誤差并設其他運動軸所引起的誤差為零時，得到的砂輪尖上誤差與B軸偏角誤差關系圖。圖3a所示為只考慮B軸繞其坐標系y軸旋轉的誤差以及B軸繞x軸的角度誤差時，砂輪尖繞zT(下標T表示砂輪)軸的角度誤差;圖3b所示為只考慮B軸繞x軸的角度誤差以及B軸繞z軸的角度誤差時，砂輪繞xT軸的角度誤差;圖3c所示為只考慮B軸旋轉副的誤差時，砂輪尖繞yT軸的角度誤差。對比表明，B軸轉動誤差對砂輪尖繞zT軸轉動誤差的影響較大，而對繞xT軸轉動誤差的影響較小。也說明了B軸繞其x、y、z軸的角度誤差以及旋轉時所引起的角度誤差轉化到了砂輪尖，引起了砂輪尖繞其xT、yT、zT軸的角度誤差。由加工原理可知，若在這種情況下加工齒輪，則會造成工件的齒形誤差、齒向誤差、壓力角誤差等。

圖3 砂輪尖誤差與X軸誤差關系圖

2 幾何誤差補償

圖3及式(19)～式(24)更加清晰地說明了各軸誤差會導致砂輪尖誤差，進而在加工過程中轉移到工件上，出現齒形誤差、齒向誤差、接觸線誤差、壓力角誤差等，而磨齒加工是齒輪加工的精加工，為了達到預期加工工件的精度，減小工件的誤差，應采取恰當的誤差補償方法進行補償。目前誤差補償有兩種方法——硬件補償法和軟件補償法，考慮到數控硬件誤差補償需要在機床上外加控制器及硬件電路，成本較高且設計開發(fā)周期較長、通用性較差［8］，因此本文選用軟件補償。

2.1 基于函數法的軟件誤差補償

軟件誤差補償［9］主要研究數控機床誤差的影響因素以及計算機軟件誤差補償技術，從而提高數控機床的加工精度和效率。軟件誤差補償的特點是不需改變加工設備或采用硬件電路等輔助設備即可提高數控機床的加工精度。本文基于多體系統運動學理論建立機床幾何誤差模型，采用函數法來進行誤差補償，即用誤差補償程序完成補償任務。我們開發(fā)了具有誤差在線分析和補償功能的可內嵌于數控系統內部的補償模塊，該模塊利用“反饋截取”方式獲取信號，在模塊內部獨立完成信號的處理和綜合，實現在線的動態(tài)誤差預測和補償量計算，為齒輪機床數控系統提供修正后的控制量輸出。該函數法誤差預測與補償模塊已用于自主研發(fā)的ARM+DSP+FPGA國產齒輪數控系統上，其原理如圖4所示。其主要的軟件程序包括:①各誤差軸的誤差表達式的數控程序;②砂輪尖誤差表達式程序;③誤差補償程序。

圖4 誤差補償流程圖

在上層的ARM模塊中編寫以上所需要的各種誤差程序;在加工過程中，通過底層的DSP控制各軸的運動，并把各軸位置運動量反饋給ARM;由各誤差軸的誤差表達式的數控程序采集各軸的信息，并運算出各軸的偏差量以及預測出下一步的誤差量;將各軸的偏差量傳遞給砂輪尖誤差表達式程序，進而計算出砂輪尖偏離理想位置的量;最后由誤差補償程序輸出砂輪的最終補償后的位置坐標值。

2.2 實例

2.2.1 Renishaw激光干涉測量誤差

針對QCYK7332A數控成形磨齒機存在的誤差值，本文僅以測量X軸的角度誤差為例說明幾何誤差測量數據處理以及誤差預測與補償的過程。實驗中所采用的測量儀器是Renishaw ML10激光干涉儀。運用Renishaw軟件和控制儀器對每個方向進行3次測量，一旦安裝位置確定好后，每一次測量都使用同樣的測量過程。使用軟件記錄每次增量為10mm的總長度為100mm的11個定點測量值。儀器的參數設定之后，可以使用手動控制輪讓機器對照軟件相同的增量而運行，其測量時裝置的安裝如圖5所示。

圖5 測量時Renishaw激光干涉儀安裝位置

2.2.2角度誤差(俯仰角誤差、偏擺誤差)

角度誤差包括俯仰角誤差和偏擺角誤差，系統會測量出到目標軸的橫向和縱向位置之間的偏轉角作為誤差的大小。由于不能直接測量角度誤差，故通過間接測量目標軸的橫向和縱向位置，求其余弦值為俯仰角和偏擺角余弦。圖6a所示為所測量的俯仰角余弦誤差值，縱坐標表示當前位置相對于目標位置垂直差的余弦值，也就是要求的俯仰角及偏擺角余弦，可看出，三組數據有相同的變化趨勢;圖6b為偏擺余弦誤差圖，可看出，三次測量結果的誤差值走勢一致，也說明了測量的正確性。另外，當砂輪遠離原點時，誤差變大，成為累計誤差。通過坐標值擬合最終得出其誤差曲線的表達式如表2所示。

圖6 誤差曲線圖(3次測量結果)

表2 誤差多項式擬合

最終得出的角度誤差余弦曲線表達式為

類似地，按照以上方法測量出其他軸的直線度誤差、線性誤差等并進行數據擬合，得出類似于式(25)與式(26)的誤差曲線函數表達式，將其存入到系統中，以便于砂輪邊緣點誤差表達式程序調用;同時根據式(19)～式(24)編寫砂輪尖誤差關于各軸誤差的補償程序，計算出砂輪尖含移動副和轉動副誤差的小誤差矩陣并進行相應的誤差補償，即:當機床各軸運動時，數控系統根據各軸的誤差函數程序自動計算出各軸的誤差值;砂輪尖誤差表達式程序調用這一數值，計算出砂輪尖偏離理想點的誤差值;誤差補償程序根據這一誤差值反向進行補償;最終修改砂輪移動量，使其更加確切地接近理想點，從而減小齒面誤差。若誤差點坐標比理論點大則下一點進給時理論點減去誤差值，若誤差點比理論點小則與此相反。

3 結論

通過對數控成形砂輪磨齒機床加工過程的分析，建立了機床空間幾何誤差模型，用軟件仿真出B軸運動誤差所引起砂輪尖角度誤差的變化趨勢，提出了對機床幾何誤差進行預測和實時補償的函數補償方法。以Renishaw激光干涉儀測量機床的角度為例，說明了實驗數據的處理以及如何進行誤差預測與補償。當機床尺寸改變但機床結構不改變時，只需要改變各軸誤差擬合曲線的程序就可以進行幾何誤差預測與補償，因而該方法通用性強，從而為提高齒輪成形磨削加工精度提供了理論依據。

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