楊 劉

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥230061）

常微分方程是數(shù)學(xué)的一個重要分支，是數(shù)學(xué)和實際聯(lián)系的重要橋梁，也是變分學(xué)、偏微分方程、控制論等數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，在醫(yī)學(xué)、通信工程、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如傳染病模型的預(yù)測與控制、藥物在機(jī)體中的擴(kuò)散、導(dǎo)彈彈道計算研究等都?xì)w于微分方程的建立和求解、分析，天文學(xué)中海王星的發(fā)現(xiàn)也得益于微分方程的計算。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家C.龐特里亞金說過：“常微分方程在振動理論和自動控制理論等很多領(lǐng)域中起到了相當(dāng)重要、引人入勝的作用”。和許多其它數(shù)學(xué)專業(yè)課程相比較，廣泛的應(yīng)用性是常微分方程課程突出的特點。

然而，許多學(xué)校在《常微分方程》課程教學(xué)中，將時間和精力過多集中于強(qiáng)調(diào)微分方程的解法及理論的嚴(yán)密性，淡化了理論知識在實際中的應(yīng)用，對學(xué)生利用理論知識解決實際問題的能力培養(yǎng)不足，許多學(xué)生學(xué)習(xí)了這門課程之后不知有什么作用，一定程度上也降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

目前，在《常微分方程》課程教學(xué)中突出應(yīng)用性已經(jīng)成為該課程教學(xué)改革的熱點，這在地方應(yīng)用型本科院校尤其突出。數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)理論知識和實際應(yīng)用緊密聯(lián)系起來，是數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用之間的橋梁，因此將數(shù)學(xué)建模的思想融入《常微分方程》課程教學(xué)過程中是十分必要的。

1 在教學(xué)內(nèi)容中的融入

目前許多學(xué)?！冻Ｎ⒎址匠獭方虒W(xué)普遍缺乏應(yīng)用實例，尤其是缺乏具有趣味性、能提高學(xué)生探索欲和學(xué)習(xí)積極性的內(nèi)容，這一點與國外大量實例配合數(shù)學(xué)軟件求解的教學(xué)思路有一定差距。因此，教師在教學(xué)過程中，在保證常微分方程理論嚴(yán)密性、方法多樣性的基礎(chǔ)之上，可有意識的選取合適的實例，通過“實際問題——數(shù)學(xué)模型——模型求解——結(jié)果分析——問題解釋”的思路開展實踐性教學(xué)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。可以選擇的內(nèi)容包括：酒駕行為的認(rèn)定、最優(yōu)降線問題、傳染病模型、人口增長模型、核廢料的處理、礦井中鼓風(fēng)機(jī)的效用、種群生物模型、戰(zhàn)爭模型等。

常微分方程教學(xué)內(nèi)容和模型案例選擇對照

第一章 緒論 問題冷卻的數(shù)學(xué)模型、酒駕認(rèn)定問題、單擺模型等

第二章 一階方程的初等解法 核廢料的處理、礦井中鼓風(fēng)機(jī)的效用等

第三章 一階方程解的存在性 人口的發(fā)展預(yù)測模型

第四章 高階微分方程 追蹤問題

第五章 線性微分方程組 傳染病模型、戰(zhàn)爭模型

第六章 穩(wěn)定性理論 種群競爭模型、食餌——捕食者模型

2 在教學(xué)方法中的融入：

2.1 采用“多途徑達(dá)標(biāo)”的教學(xué)方法開展教學(xué)

“多途徑達(dá)標(biāo)”是近年來新提出的教學(xué)模式，它基于課程的教學(xué)特點和目的，把教學(xué)內(nèi)容分為若干個主題，即“目標(biāo)”，然后圍繞所列主題尋求解決達(dá)到“目標(biāo)”的方法和途徑，以構(gòu)成達(dá)標(biāo)方案集，并且不斷充實和豐富這些方案集。將數(shù)學(xué)建模的思想融入到常微分方程教學(xué)，就是要將建模的思想融入到不同的主題中，以學(xué)生應(yīng)用能力提高為目標(biāo)，圍繞知識、理論達(dá)標(biāo)的目的設(shè)置問題、解決問題。

2.2 加強(qiáng)案例式教學(xué)方法的應(yīng)用

案例式教學(xué)可以促進(jìn)隱性知識與顯性知識的不斷轉(zhuǎn)化，通過具體的情境，將隱性的知識外顯，或?qū)@性的知識內(nèi)化。在《常微分方程》課程中利用案例教學(xué)配合理論知識學(xué)習(xí)，既可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力，又可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

例1 酒駕行為的認(rèn)定

現(xiàn)有一起交通事故，在事故發(fā)生3個小時后，測得司機(jī)血液中酒精含量是56mg／100ml，又過兩個小時后，測得其酒精含量降為40mg／100ml，試判斷：事故發(fā)生時，司機(jī)是否違反了酒精含量的規(guī)定？

設(shè)x（t）為時刻t的血液中酒精的濃度，則可建立如下數(shù)學(xué)模型

解得

利用初值條件，有

代入得x0e－3×0.17＝56?x0＝56·e3×0.17≈93.25

結(jié)論：事故發(fā)生時，司機(jī)屬于醉酒駕駛。

例2 最速降線問題

在地面上不同高度的兩個點A和B，并且，不要讓其中一個點直接位于另一點的上方.連接這兩個點，當(dāng)然可以作出無限多的不同曲線，從直線、圓的弧線到無數(shù)種其他曲線和波浪線.現(xiàn)在設(shè)想有一個球沿著一條曲線從A點滾向較低的B點.當(dāng)然，球滾完全程所需要的時間取決于曲線的形狀.找出一條曲線AMB，使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短

——John.Bernoulli 1696年6月于《教師學(xué)報》

例3 擴(kuò)散問題

有一個30×30×12（m3）的車間（或礦井），車間空氣中CO2的容積濃度為0.12%.為降低CO2的含量，用一臺風(fēng)量為1500（m3／min）的進(jìn)風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)通入濃度為0.04%的新鮮空氣，假定通入的新鮮空氣與車間內(nèi)原有空氣能很快混合均勻，用另一臺風(fēng)量為1500（m3／min）的排風(fēng)鼓風(fēng)機(jī)排出，問兩臺鼓風(fēng)機(jī)同時開動10min后，車間中CO2的容積濃度為多少？

例4 追蹤問題

海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛，緝私艇立即以最大速度b追趕，在雷達(dá)引導(dǎo)下，其方向始終指向走私船.考慮緝私艇追趕上走私船的條件及時間與軌跡？

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用微分方程的方法解決實際問題，具體為

（1）根據(jù)實際問題的特點和內(nèi)部規(guī)律，建立描述實際問題的數(shù)學(xué)框架，即微分方程

模型，并提出相應(yīng)的定解條件；

（2）利用所學(xué)理論知識求解該微分方程定解問題

（3）結(jié)合數(shù)學(xué)軟件等工具，分析和解釋實際問題，或?qū)栴}的發(fā)展變化趨勢進(jìn)行預(yù)測。

3 在教學(xué)考核中的融入

評價機(jī)制是學(xué)習(xí)的向?qū)?，客觀的評價機(jī)制對于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，挖掘?qū)W習(xí)潛能具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用。為檢驗學(xué)生應(yīng)用微分方程知識解決實際問題能力，可在課程考核中設(shè)置相關(guān)環(huán)節(jié)。課程考核采取閉卷測試結(jié)合實踐考核兩個環(huán)節(jié)，期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的70%，重點考核對常微分方程基本概念、基本理論和方程求解的掌握程度，實踐考核環(huán)節(jié)可通過課程小論文、建模結(jié)合上機(jī)實驗分析等方式進(jìn)行，重點考核學(xué)生應(yīng)用能力的掌握程度，占總成績的30%

總之，應(yīng)用能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，不是一朝一夕可以完成，需要我們不斷努力。從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核模式等方面入手，把數(shù)學(xué)建模思想有機(jī)融入到常微分方程教學(xué)全過程，注重對學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，全面提高學(xué)生的素質(zhì)和能力，更需要我們不斷地探索。

［1］C.龐特里亞金.常微分方程［M］.高等教育出版社，北京，2006.

［2］王高雄等.常微分方程［M］.高等教育出版社，北京，2007.

［3］張偉年等.常微分方程，高等教育出版社［M］.北京，2006.

［4］徐全智.數(shù)學(xué)建模［M］.高等教育出版社，北京，2008.

［5］姜啟源等.數(shù)學(xué)模型［M］.高等教育出版社，北京，2007.

［6］吉蘊(yùn)，朱向東.微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用［J］.濰坊高等職業(yè)教育，2（2006）19－21.

［7］李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程［J］.中國大學(xué)數(shù)學(xué)，（2006）：9－11.