李麗芳,孟慶元， 張 友

(1. 吉林警察學(xué)院 信息技術(shù)系,長(zhǎng)春 130117；2. 吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;3. 東北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,長(zhǎng)春 130117)

非線性特性是工業(yè)系統(tǒng)中常見(jiàn)的物理特征,研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計(jì)問(wèn)題具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值. Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型[1]成功解決了非線性系統(tǒng)的建模問(wèn)題,王立新等[2]證明了T-S模糊模型能以任意精度逼近定義在緊集上的連續(xù)非線性函數(shù),從理論分析上賦予了T-S模糊模型進(jìn)行非線性系統(tǒng)建模的合法性. 在早期基于T-S模糊模型的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析研究中,均采用單Lyapunov函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件設(shè)計(jì),但由于這種單Lyapunov函數(shù)對(duì)于所有的模糊子系統(tǒng)使用一個(gè)單一的Lyapunov矩陣,因此得到的系統(tǒng)穩(wěn)定性條件保守性較大,從而限制了T-S模糊模型在非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用[3-8]. 為減少所得穩(wěn)定性條件的保守性,文獻(xiàn)[4]提出了一種附件變量引入技術(shù)以減少穩(wěn)定性判據(jù)的保守性. 文獻(xiàn)[5-8]對(duì)上述附加變量引入技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn),但由于單Lyapunov函數(shù)本身固有的缺點(diǎn),因此很難在本質(zhì)上對(duì)穩(wěn)定性結(jié)果的保守性進(jìn)行改善,因而要進(jìn)一步減少保守性就必須使用新的Lyapunov函數(shù). 文獻(xiàn)[9]提出了一種模糊Lyapunov函數(shù),它能考慮更多關(guān)于模糊隸屬函數(shù)的有用信息,顯著減少了結(jié)果的保守性. 在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[10-14]也給出了基于模糊Lyapunov函數(shù)的模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析結(jié)果.

本文針對(duì)帶有時(shí)變不確定性連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問(wèn)題,提出一種新的基于線性矩陣不等式(LMI)形式的穩(wěn)定性判據(jù). 為實(shí)現(xiàn)減少已有穩(wěn)定性判據(jù)保守性的目標(biāo),設(shè)計(jì)了兩種附加變量引入方法,使得在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析過(guò)程中能更有效地考慮模糊隸屬函數(shù)的有用信息. 在此基礎(chǔ)上,結(jié)合文獻(xiàn)[15-16]的結(jié)果得到了比已有方法保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù). 特別地,相關(guān)的已有結(jié)果可視為本文結(jié)果的一種特例.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下由r條模糊規(guī)則描述的帶有時(shí)變不確定性的連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)[1]：如果ξ1(t)=M1i,…,ξp(t)=Mpi,則

(1)

其中:x(t)∈Rn為n維系統(tǒng)狀態(tài)向量；ξ1(t),ξ2(t),…,ξp(t)為模糊模型前件變量；Mij(i=1,2,…,p;j=1,2,…,r)為模糊集；Ai∈Rn×n為模糊模型已知參數(shù)矩陣；ΔAi為模糊模型未知時(shí)變不確定參數(shù)矩陣,且滿足如下范數(shù)有界條件:

ΔAi(t)=DF(t)Ei,FT(t)F(t)≤I, ?t≥0;

(2)

其中:D和Ei為已知適當(dāng)維數(shù)矩陣;F(t)為未知矩陣值函數(shù).

根據(jù)T-S模糊推理方法,系統(tǒng)(1)的總體模糊模型可表示為

(3)

在已有采用模糊Lyapunov函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中,試圖通過(guò)考慮模糊隸屬函數(shù)隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)信息減少所得穩(wěn)定性判據(jù)的保守性,且常使用如下關(guān)于模糊隸屬函數(shù)導(dǎo)數(shù)的假設(shè)條件.

假設(shè)1對(duì)于帶有時(shí)變不確定性的連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)(3),假設(shè)其模糊隸屬函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變換界滿足如下條件[14]:

?ξ(t), 1≤i≤r,

(4)

這里λi為模糊建模時(shí)確定的實(shí)數(shù).

文獻(xiàn)[10-14]給出了假設(shè)條件(4)在實(shí)際應(yīng)用中的可獲取性,并給出了具體問(wèn)題φi的幾種計(jì)算方法.

引理1[15]對(duì)于給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q=QT,H,E;滿足FT(t)F(t)≤I(?t≥0)條件的不等式Q+HF(t)E+(HF(t)E)T<0成立的充分必要條件是存在大于零的實(shí)數(shù)λ,使得

Q+λHHT+λ-1ETE<0

成立.

2 主要結(jié)果

為進(jìn)一步減少已有基于模糊Lyapunov函數(shù)的不確定性T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性,本文提出兩種新的附加變量引入技術(shù),將各模糊子系統(tǒng)間的相互耦合關(guān)系映射到一個(gè)增廣大矩陣中,進(jìn)而更有效地考慮模糊隸屬函數(shù)的有用信息,以獲得保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù).

Pi+X>0,i=1,2,…,r;

(5)

(6)

(7)

(8)

其中:

則系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明: 為方便,下面證明中用x,hi代替x(t),hi(ξ(t)). 對(duì)系統(tǒng)(3)考慮如下模糊Lyapunov函數(shù)：

(9)

將V(x)沿系統(tǒng)(3)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得

(10)

(11)

由式(11)可推出,若如下不等式成立,則系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定的：

(12)

由式(2)可得

(13)

對(duì)式(13)使用引理1可得

(DF(t)E(t))TP(t)+P(t)DF(t)E(t)≤λ-1P(t)D(P(t)D)T+λE(t)(E(t))T.

(14)

于是,由式(12)～(14)可得系統(tǒng)(3)全局漸近穩(wěn)定的充分條件是

(15)

進(jìn)一步,由引理2可得矩陣不等式(15)等價(jià)于如下矩陣不等式:

(16)

將不等式(16)的左側(cè)項(xiàng)進(jìn)行重新編排,可得

(17)

此時(shí),由不等式(6),(7)可得

若不等式(8)成立,則式(16)也成立,即帶有時(shí)變不確定性的連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮如下帶有時(shí)變不確定性的連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)：

(19)

系統(tǒng)(19)的矩陣參數(shù)為

ΔAi(t)=DF(t)Ei,i=1,2,3,4;

其中可變系統(tǒng)參數(shù)α用于比較定理1與已有文獻(xiàn)結(jié)果間的保守性強(qiáng)弱關(guān)系.

下面使用Matlab的LMI工具計(jì)算在相同條件下,分別利用定理1和文獻(xiàn)[14]的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行求解可變系統(tǒng)參數(shù)α的穩(wěn)定區(qū)域范圍. 這里,將假設(shè)1中的參數(shù)設(shè)定為φi=-2.6(i=1,2,3,4). 此時(shí),用文獻(xiàn)[14]相應(yīng)結(jié)果計(jì)算的帶有時(shí)變不確定性連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)棣?160,而由本文方法計(jì)算的相應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)棣?190. 可見(jiàn),本文方法的系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域大于文獻(xiàn)[14]的系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域,即本文所提出的穩(wěn)定性判據(jù)具有更小的保守性.

選擇α=160,該點(diǎn)在文獻(xiàn)[14]的系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)中是不穩(wěn)定點(diǎn),但在本文的定理1中是穩(wěn)定點(diǎn),即只有使用定理1才能保證系統(tǒng)在α=160時(shí)是全局漸近穩(wěn)定的.

給定系統(tǒng)初始值為x(0)=(1.6,-1.4)T,圖1給出了系統(tǒng)(19)當(dāng)α=160時(shí)狀態(tài)軌跡隨時(shí)間的變化曲線. 圖2給出了系統(tǒng)(19)當(dāng)α=160時(shí)兩個(gè)狀態(tài)x1(t)和x2(t)由初始狀態(tài)點(diǎn)(1.6,-1.4)漸近趨向零點(diǎn)的變化軌跡. 由圖1和圖2可見(jiàn),當(dāng)初始條件為x(0)=(1.6,-1.4)T時(shí),系統(tǒng)(19)在α=160處是漸近穩(wěn)定的.

圖1 當(dāng)x(0)=(1.6,-1.4)T時(shí)系統(tǒng) 狀態(tài)隨時(shí)間的變化軌跡Fig.1 Trajectories of system state variation with time when x(0)=(1.6,-1.4)T

圖2 當(dāng)x(0)=(1.6,-1.4)T時(shí)系統(tǒng) 狀態(tài)漸近趨向零點(diǎn)的軌跡Fig.2 Convergent trajectory of system state variation when x(0)=(1.6,-1.4)T

給定系統(tǒng)初始值為x(0)=(-0.8,0.6)T,圖3給出了系統(tǒng)(19)當(dāng)α=160時(shí)狀態(tài)軌跡隨時(shí)間的變化曲線. 圖4給出了系統(tǒng)(19)當(dāng)α=160時(shí)兩個(gè)狀態(tài)x1(t)和x2(t)由初始狀態(tài)點(diǎn)(-0.8,0.6)漸近趨向零點(diǎn)的變化軌跡. 由圖3和圖4可見(jiàn),當(dāng)初始條件為x(0)=(-0.8,0.6)T時(shí),系統(tǒng)(19)在α=160處也是漸近穩(wěn)定的.

圖3 當(dāng)x(0)=(-0.8,0.6)T時(shí)系統(tǒng) 狀態(tài)隨時(shí)間的變化軌跡Fig.3 Trajectories of system state variation with time when x(0)=(-0.8,0.6)T

圖4 當(dāng)x(0)=(-0.8,0.6)T時(shí)系統(tǒng) 狀態(tài)漸近趨向零點(diǎn)的軌跡Fig.4 Convergent trajectory of system state variation when x(0)=(-0.8,0.6)T

綜上所述,本文給出了一種帶有時(shí)變不確定性連續(xù)時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性新判據(jù). 通過(guò)提出兩種新的附加變量引入技術(shù),在充分考慮模糊隸屬函數(shù)的代數(shù)特性基礎(chǔ)上,將各模糊子系統(tǒng)間的相互耦合關(guān)系映射到一個(gè)增廣大矩陣,能顯著減少所得系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性. 由仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn),本文所提方法與已有結(jié)果相比具有更小的保守性.

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