李 健,杜泊船,趙 昕,呂顯瑞

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院,長(zhǎng)春 130118;2.吉林大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

0 引言與主要結(jié)果

考慮如下p-Kirchhoff型方程:

(1)

Kirchhoff模型[1]為

該模型可用于描述生物的種群密度等平均量,其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)Kirchhoff型方程為

(2)

關(guān)于方程(2)的研究目前已有許多結(jié)果[2-4].文獻(xiàn)[5-8]應(yīng)用變分法研究了問題(1)的非平凡解.顯然,方程(1)是方程(2)的推廣.事實(shí)上,當(dāng)M(t)=a+bt,p=2時(shí),方程(1)即為方程(2)的情形.此外,當(dāng)M(t)=1時(shí),方程(1)可轉(zhuǎn)化為

(3)

0<μF(x,s)≤f(x,s)s, ?s>0, ?x∈Ω

滿足時(shí),得到了方程(1)正解的存在性.本文在該條件不滿足時(shí)研究方程(1)解的多重性,得到如下結(jié)果.

(H0) 存在常數(shù)0

(H1) 存在正常數(shù)C1,C2和q∈(p,p*),使得

(H4) 存在C*>0,使得P(x,t)≤P(x,s)+C0,?0

注1文獻(xiàn)[6]在超線性冪次次臨界增長(zhǎng)且對(duì)稱情形下得到了方程(1)的無(wú)窮多解； 文獻(xiàn)[8]在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)情形下得到了方程(1)的兩個(gè)非平凡解;文獻(xiàn)[7]研究了方程(1)在臨界增長(zhǎng)情形下解的存在性.注意文獻(xiàn)[5]中(AR)條件結(jié)合次臨界增長(zhǎng)條件導(dǎo)致非線性項(xiàng)滿足超線性次臨界增長(zhǎng),而在定理1的條件下,該條件不滿足但非線性項(xiàng)仍滿足超線性次臨界增長(zhǎng)條件.

1 定理1的證明

這里

范數(shù)定義為

定義1如果

顯然若u為J的臨界點(diǎn),則u是方程(1)的弱解.本文將利用山路引理得到問題(1)非平凡解的存在性.

定義

相應(yīng)的泛函定義為

類似地,定義

相應(yīng)的泛函定義為

下面只考慮得到正解的存在性,類似地,可以得到負(fù)解的存在性.由推廣形式的山路定理[11],只需證明泛函J+具有山路幾何并且滿足(C)c條件.

先證明泛函J+具有山路幾何,即:

引理1在定理1的假設(shè)下,有:

證明: 1) 由(H1),(H2),對(duì)任意的>0,存在C>0,使得

?x∈Ω, ?s>0.

因此,結(jié)合(H0),應(yīng)用Sobolev嵌入與Poincare不等式,可得到常數(shù)σ1,C1>0,使得

由q>p易知,存在r,δ>0,使得結(jié)論1)成立.

2) 由(H3),對(duì)任意的M>0,存在CM>0,使得

F+(x,s)≥Msp-CM, ?x∈Ω, ?s>0.

(4)

在定理1的假設(shè)下,(PS)條件不滿足.下面證明泛函J滿足(C)c條件.

引理2在定理1的假設(shè)下,泛函J+滿足(C)c條件.

證明: 假設(shè){un}n∈?為(C)c序列,即

J+(un)→c∈, (1+‖un‖)‖(J+)′(un)‖→0,n→+∞.

(5)

并且有|wn(x)|≤h(x),a.e.x∈Ω,其中h∈Lp(Ω).

下證在Ω中w0(x)=0 a.e.事實(shí)上,記Ω0∶={x∈Ω:w0(x)≠0}.若Ω0≠?,則有|un(x)|→+∞,?x∈Ω0.由假設(shè)(H3)和式(5)知,

(6)

關(guān)于x∈Ω一致成立.由(H6)、 式(5)及Fatou引理,有

這與式(6)矛盾,從而|Ω0|=0.因此w0(x)=0 a.e.x∈Ω.

(8)

由

并結(jié)合式(8)可得

由(H4)可得

另一方面,由假設(shè)(H1),(H2),對(duì)任意的R0>0,有

當(dāng)n充分大時(shí),矛盾.

由(H1),(H2)與Sobolev嵌入定理可得

(10)

記

由|((J+)′(un),un-u0)|→0,結(jié)合式(10)可得Qn→0.

另一方面,注意到

結(jié)合弱收斂un?u0及不等式

應(yīng)用(H6)可知存在常數(shù)C2>0,使得

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