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        電荷量子化介觀LC電路的準經(jīng)典解

        2013-12-03 02:25:10林琨智
        吉林大學學報(理學版) 2013年4期

        林琨智,劉 艷,何 畏

        (1.吉林工業(yè)職業(yè)技術學院,吉林 吉林 132108;2.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132021;3.華北電力大學 國際教育學院電氣工程及其自動化系,北京 102206)

        近年來,關于介觀電路量子效應的研究已引起人們廣泛關注[1-4],基于電荷量子化建立的介觀電路理論[5],采用絕熱近似,將電源作為常數(shù)處理,給出介觀電路的定態(tài)解.由于含電感和電容介觀電路中的電流強度和電壓是時間的函數(shù),因此,若電路的量子態(tài)處于不同本正態(tài)的疊加,則其實驗可測量值為力學量的平均值.本文在文獻[5-6]的基礎上,以LC串聯(lián)電路為例,采用介觀電路準經(jīng)典描述[7]力學量平均值隨時間的演化規(guī)律,給出描述電荷量子化介觀電路的準經(jīng)典方法.

        1 電流強度的平均值

        經(jīng)典有源LC串聯(lián)電路的運動方程為

        (1)

        其中:q為電荷;L為電感;C為電容;ε(t)為外加電源.其對應的Hamilton量為

        (2)

        ?.

        (3)

        (4)

        (5)

        在p表象中動量算符定義為

        (6)

        自由Hamilton算符定義為

        (7)

        Hamilton算符為

        (8)

        對于介觀LC電路

        (9)

        (10)

        這里{·,·}表示反對易.使式(10)等號成立的條件為

        (11)

        根據(jù)相干態(tài)是最小不確定態(tài)的性質(zhì),式(10)應取等號,即

        (12)

        (13)

        利用式(5),(6)及Q的定義可得:

        (14)

        (15)

        LC介觀電路滿足Schr?dinger方程

        (16)

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        (21)

        (22)

        (23)

        (24)

        將式(18)和式(24)代入式(19),式(23)代入式(20)得:

        (25)

        (26)

        將式(25)除以式(26)可得

        (27)

        (28)

        由式(18),(25),(28)可得LC介觀電路電荷平均值滿足的非線性方程為

        (29)

        (30)

        其中:

        (31)

        將式(31)對t微分得電流強度的平均值為

        (32)

        取cn(ωt)的實周期K,當時間t滿足

        (33)

        時,式(32)不為零.其中

        (34)

        若電源給LC電路電容充電的電荷數(shù)為基本電荷的整數(shù)倍,則在任意時刻電路中都不應出現(xiàn)基本電荷的分數(shù)情況.即

        (35)

        將式(35)代入式(31)可得

        (36)

        2 相干態(tài)波函數(shù)

        由式(11),(12)可得[9]

        (37)

        將式(37)代入式(11)可得

        (38)

        (39)

        將式(14),(18)代入式(39)可得

        (40)

        (41)

        移項得

        (42)

        由相干態(tài)為滿足最小不確定態(tài)的表述

        (43)

        中求出(Δq)2并代入式(42)可得

        (44)

        由于(Δpe)2為小量,因此式(44)中第二項的量比第一項更小,故舍去.令其等于零可得

        (45)

        將式(45)代入式(43)可得

        (46)

        將式(45)代入式(40)可得相干態(tài)波函數(shù)為

        (47)

        ψ(p,t)=eiθ(p,t)φ(p,t),

        (48)

        其中θ(p,t)為實數(shù).

        由于ψ(p,t)為歸一化波函數(shù),因此代入式(47)可得

        (49)

        (50)

        式(50)乘以dt并積分得

        (51)

        3 準經(jīng)典波函數(shù)

        由于電荷和電流強度平均值與相干態(tài)波函數(shù)存在的前提是存在滿足Schr?dinger方程式(16)的準經(jīng)典波函數(shù)式(48),因此若θ(p,t)存在,則式(48)成立.將式(47)代入式(48)后再代入式(16),并令等式兩端的實部和虛部對應相等,可得:

        (52)

        (53)

        其中:

        (54)

        (55)

        (56)

        式(56)為Riccati方程,該方程存在y(p,t)的解,從而可得

        (57)

        將式(57)代入式(52),(53)可得h1(t),證明ψ(p,t)=φ(p,t)eiθ(p,t)存在.

        當qe→0時,由式(29),(51),(47)分別得:

        (58)

        (59)

        (60)

        將式(59)代入式(60)可得歸一化概率密度為

        →0.

        (61)

        式(58)和式(61)與文獻[7]的結果相符.

        綜上所述,本文以LC介觀電路為例,利用電荷量子化介觀電路中電荷和廣義電流滿足的對易關系、 波函數(shù)遵循的Schr?dinger方程和力學量平均值隨時間演化公式,給出了相干態(tài)波函數(shù)滿足的微分方程,形成了描述電荷量子化介觀電路的準經(jīng)典方法.

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        [7] LIN Kun-zhi,LIU Yan.Quasi-classical Description of Mesoscopic Circuit [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2011,49(3): 523-527.(林琨智,劉艷.介觀電路的準經(jīng)典描述 [J].吉林大學學報: 理學版,2011,49(3): 523-527.)

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