孟繁慧,高文杰

(1.長春金融高等專科學(xué)校,長春 130028;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下具非局部邊界條件和內(nèi)部吸收項(xiàng)的擬線性拋物型方程:

(1)

其中:Ω是N(N≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域;a為正常數(shù);u0(x),f(s)和k(x,y)分別滿足如下假設(shè)條件:

(H1)f∈C([0,∞))∩C1((0,∞)),滿足f(0)≥0,f′(s)>0,s∈(0,∞);

許多物理、 化學(xué)或生物種群動力學(xué)現(xiàn)象都可以用具非局部源的拋物型方程描述.例如,文獻(xiàn)[1]指出非局部反應(yīng)項(xiàng)能更精確地描述可壓縮活性氣體的燃燒過程.當(dāng)f(s)=sp(0

(2)

在某種特殊情形下解的整體存在和衰減性質(zhì);文獻(xiàn)[6]給出了問題(2)在k(x,y)≥0,g(x,u)=cu(其中c是一個沒有任何限制的常數(shù))情形下解的一個整體上界和特殊情形時邊界值的衰減性質(zhì)； 文獻(xiàn)[7]建立了問題(2)的比較原理,并對一般形式的g(x,u)證明了問題(2)古典解的局部存在性,對g(x,u)=c(x)u的特殊情形,證明了解的整體存在性和指數(shù)增長性質(zhì).當(dāng)g(x,u)關(guān)于u的增長超線性時,問題(2)的解可能在有限時刻爆破.特別地,文獻(xiàn)[8]在g(x,u)=g(u)情形下討論了問題(2),用上下解的方法給出了此時問題正解在有限時刻爆破的充分條件,此外,還給出了當(dāng)g(u)=up及g(u)=eu時解的爆破速率估計(jì).

考慮如下具非局部邊界條件和局部反應(yīng)項(xiàng)的多孔介質(zhì)方程:

(3)

其中:m,p>1為常數(shù);初值u0(x)和權(quán)函數(shù)k(x,y)滿足與問題(1)相同的假設(shè).文獻(xiàn)[9]給出了問題(3)存在整體解的充分必要條件,并得到了解的爆破速率估計(jì).文獻(xiàn)[10-16]研究了具非局部邊界條件的拋物方程或方程組,得到了一些有意義的結(jié)果.

上述研究表明,問題(2),(3)解的增長或衰減性質(zhì)依賴于g(x,u)的增長,這與具齊次邊界條件的半線性方程解的性質(zhì)相似.另一方面,由于非局部邊值的存在性,解的漸近性質(zhì)也依賴于權(quán)函數(shù)k(x,y).基于此,本文研究問題(1)正古典解的漸近性質(zhì),考慮非線性擴(kuò)散、 非局部項(xiàng)、 吸收項(xiàng)和非局部邊界條件對解漸近性質(zhì)的綜合影響.

1 比較原理

則稱v(x,t)是問題(1)的一個下解.改變定義1中不等號的方向可以得到上解的定義.如果函數(shù)v(x,t)既是問題(1)的一個上解又是一個下解,則稱其為問題(1)的一個(古典)解.

問題(1)古典解的局部存在性可以用標(biāo)準(zhǔn)壓縮映像不動點(diǎn)定理得到[7,17].正古典解的唯一性可由下述引理推出.

(4)

2 解的整體存在和爆破

證明: 考慮如下常微分方程初值問題:

(5)

證明: 先構(gòu)造問題(1)的一個整體存在且下方有界的上解.記λ1和φ1(x)>0(x∈Ω)分別是如下特征值問題的第一特征值和相應(yīng)的特征函數(shù):

-Δφ=λφ,x∈Ω;φ(x)=0,x∈?Ω.

(6)

(7)

Δv=div(v)

可得

(9)

另一方面,由式(7)可知,對任意的x∈?Ω都有

(10)

(11)

證明: 通過構(gòu)造一個下方有界且爆破的下解完成證明.考慮如下Cauchy問題:

(12)

(14)

(15)

式(13)～(15)表明,v(x,t)是問題(1)的一個下方有界的爆破下解.再次應(yīng)用命題1可知u(x,t)也在有限時刻爆破.證畢.

還可證明當(dāng)非局部項(xiàng)的系數(shù)a適當(dāng)大時,對任意滿足假設(shè)(H3)的k(x,y),問題(1)的解都在有限時刻爆破.為此,記ψ(x)為下述橢圓問題的唯一正解:

-Δψ(x)=1,x∈Ω;ψ(x)=0,x∈?Ω.

(16)

證明: 考慮如下齊次Dirichlet邊值問題:

(17)

(H4) 存在常數(shù)δ>0,使得對任意的x∈Ω,有

這里δ是滿足δ+1≥a|Ω|的正常數(shù).

引理2假設(shè)(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破,則對任意的(x,t)∈Ω×[0,T),有Δu≤0.

設(shè)w(x,t)=Δu(x,t),則由式(1)可知對任意的(x,t)∈Ω×(0,T),有

wt=upΔw+2pup-1u·w+pu-1utw+p(p-1)u-2ut-2pup-1-upw.

(18)

注意到ut≥0,0

wt-upΔw-2pup-1u·w≤pu-1utw-upw, (x,t)∈Ω×(0,T).

(19)

最后由假設(shè)條件(H4)可知

w(x,0)=Δu0(x)≤0,x∈Ω.

(21)

結(jié)合式(19)～(21)及引理1可得w(x,t)=Δu≤0,(x,t)∈Ω×(0,T).證畢.

引理3假設(shè)(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破.則存在正常數(shù)C1,使得U(t)≥C1(T-t)-1/p.

證明: 由方程(1)、U(t)的定義及引理2可得

U′(t)≤a|Ω|Up+1(t).

(22)

對式(22)在(t,T)上積分并注意到當(dāng)t→T時U(t)→∞,得U(t)≥C1(T-t)-1/p,這里C1=(ap|Ω|)-1/p.證畢.

引理4假設(shè)(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破.則有ut≥δup+1,(x,t)∈Ω×(0,T).

證明: 記J(x,t)=ut-δup+1.直接計(jì)算可得

由Young不等式和H?lder不等式可知,對任意的正常數(shù)θ,都有

對任意的(x,t)∈?Ω×(0,T),有

將式(27)代入式(26)得

(28)

此外,假設(shè)(H4)蘊(yùn)含

J(x,0)≥(δ-δ)u0(x)p+1=0,x∈Ω.

(29)

對ut≥δup+1在區(qū)間(t,T)上直接積分可得

u(x,t)≤C2(T-t)-1/p, (x,t)∈Ω×(0,T),

(30)

這里C2=(δp)-1/p.綜合U(t)≥C1(T-t)-1/p和式(30),得:

[1] Bebernes J,Bressan A,Lacey A.Total Blow-up versus Single Point Blow-up [J].J Differen Equat,1988,73(1): 30-44.

[3] Carlson D E.Linear Thermoelasticity,Encyclopedia of Physics [M].Berlin: Springer,1972.

[4] Day W A.A Decreasing Property of Solutions of Parabolic Equations with Applications to Thermoelasticity [J].Quart Appl Math,1983,40(4): 468-475.

[5] Friedman A.Monotonic Decay of Solutions of Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].Quart Appl Math,1986,44(3): 401-407.

[6] Seo S.Global Existence and Decreasing Property of Boundary Values of Solutions to Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].Pacific J Math,2000,193(1): 219-226.

[7] Deng K.Comparison Principle for Some Nonlocal Problems [J].Quart Appl Math,1992,50(3): 517-522.

[8] Seo S.Blow-up of Solutions to Heat Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].Kobe J Math,1996,13(2): 123-132.

[9] WANG Yu-lan,MU Chun-lai,XIANG Zhao-yin.Blowup of Solutions to a Porous Medium Equation with Nonlocal Boundary Condition [J].Appl Math Comput,2007,192(2): 579-585.

[10] Carl S,Lakshmikantham V.Generalized Quasilinearization Method for Reaction-Diffusion Equations under Nonlinear and Nonlocal Flux Conditions [J].J Math Anal Appl,2002,271(1): 182-205.

[11] HAN Yu-zhu,GAO Wen-jie.Complete Classification of Solutions to a Parabolic Equation with Nonlocal Boundary Condition [J].Dynamics Cont Discrete Impulsive Systems Series A,2012,19(5): 599-613.

[12] LIN Zhi-gui,LIU Yu-rong.Uniform Blowup Profile for Diffusion Equations with Nonlocal Source and Nonlocal Boundary [J].Acta Math Sci,2004,24B(3): 443-450.

[13] Pao C V.Dynamics of Reaction-Diffusion Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].Quart Appl Math,1995,53(1): 173-186.

[14] Pao C V.Asymptotic Behavior of Solutions of Reaction-Diffusion Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].J Comput Appl Math,1998,88(1): 225-238.

[15] Pao C V.Numerical Solutions of Reaction-Diffusion Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].J Comput Appl Math,2001,136(1/2): 227-243.

[16] YIN Hong-ming.On a Class of Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions [J].J Math Anal Appl,2004,294(2): 712-728.

[17] Friedman A.Partial Differential Equations of Parabolic Type [M].New York: Prentice-Hall,1964.

[18] CHEN You-peng,LIU Li-hua.Global Blow-up for a Localized Nonlinear Parabolic Equation with a Nonlocal Boundary Condition [J].J Math Anal Appl,2011,384(2): 421-430.

[19] HAN Yu-zhu,GAO Wen-jie.A Degenerate Parabolic Equation with a Nonlocal Source and an Absorption Term [J].Applicable Analysis,2010,89(12): 1917-1930.