彭國(guó)俊,陳潮填

(廣東技術(shù)師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,廣州 510665)

0 引 言

考慮如下向量場(chǎng)：

(1)

其中：x∈n,n≥2;α∈2;f:n×2→n充分光滑.向量場(chǎng)(1)在變換x→-x下保持不變,當(dāng)α=α*時(shí)有平衡點(diǎn)x=0,f的Jacobi矩陣J在(x,α)=(0,α*)處非零并且有二重零特征值.文獻(xiàn)[1-4]給出了向量場(chǎng)(1)的規(guī)范型和普適開折如下：

其中：當(dāng)n=2時(shí),ω=x；當(dāng)n>2時(shí),ω為限制在分岔中心流形上的狀態(tài)變量.關(guān)于式(3)的分岔結(jié)構(gòu),可參考文獻(xiàn)[5-6].一般的參數(shù)向量場(chǎng)(1)可約化為規(guī)范型(2),必須要求分岔是非退化的,而進(jìn)一步可約化為普適開折(3)并且遍歷其所有分岔結(jié)構(gòu),還要求分岔是橫截的.目前,對(duì)于非對(duì)稱情形的規(guī)范型已有一些顯式計(jì)算結(jié)果[7-10],而對(duì)于對(duì)稱情形的規(guī)范型尤其是普適開折的顯式計(jì)算還未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道.

為計(jì)算方便及顯式地檢驗(yàn)非退化條件,本文采用如下規(guī)范型和普適開折：

容易驗(yàn)證,采用如下線性坐標(biāo)和時(shí)間變換：

1 規(guī)范型的計(jì)算公式

當(dāng)考慮規(guī)范型時(shí),分岔參數(shù)取臨界參數(shù)值,即α=α*.由向量場(chǎng)(1)的對(duì)稱性,可將其展開為如下形式：

(6)

定理1設(shè)向量場(chǎng)(1)相應(yīng)于double-zero分岔的規(guī)范型為式(4),則其系數(shù)計(jì)算公式如下：

其中：qi和pi(i=1,2)分別是矩陣A和AT的廣義特征向量,且滿足：

Aq1=0,Aq2=q1,ATp2=0,ATp1=p2,

(9)

(10)

證明：假設(shè)此臨界情形時(shí)的中心流形如下：

x=H(ω),H:2→n.

(11)

將式(11)代入式(6),根據(jù)臨界中心流形的不變性可得如下同調(diào)方程：

(12)

由向量場(chǎng)(1)的對(duì)稱性,H可以表示為如下形式：

(13)

于是可得式(8).證畢.

若進(jìn)一步有c30c21≠0,則對(duì)應(yīng)的double-zero分岔是非退化的,即余維2的.

2 普適開折的計(jì)算公式

此時(shí),參數(shù)α在臨界值α*附近擾動(dòng).引入Δ=α-α*,由向量場(chǎng)(1)的對(duì)稱性,將其展開為如下形式：

(16)

定理2設(shè)向量場(chǎng)(1)相應(yīng)的double-zero分岔是非退化的,且具有普適開折(5).將原始參數(shù)與開折參數(shù)間的關(guān)系表示為η=V-1(Δ),并進(jìn)一步采用如下平方逼近：

(17)

則線性項(xiàng)系數(shù)a和b由如下線性代數(shù)方程的解唯一給出：

二次項(xiàng)系數(shù)c,d和e由如下線性代數(shù)方程的解唯一給出：

其中hijkl(i+j=1,k+l=1)是如下奇異線性代數(shù)方程的任意解：

證明：假設(shè)參數(shù)依賴的中心流形如下：

x=H(ω,η),H:2×2→n.

(30)

將式(30)代入式(16),根據(jù)此時(shí)參數(shù)依賴中心流形的不變性,可得如下同調(diào)方程：

由向量場(chǎng)(1)的對(duì)稱性,H可以表示為如下形式：

(32)

根據(jù)Fredholm擇一性定理,上述奇異線性方程都是可解的.

(43)

(44)

將方程(48)～(50)分別代入式(45)～(47),并消除h10kl(k+l=2),即得方程(25)～(27).于是確定了參數(shù)變換Δ=V(η),從而可求得普適開折參數(shù)η=V-1(Δ).分岔的橫截性條件為

如果向量場(chǎng)(1)的double-zero分岔是非退化和橫截的,則當(dāng)分岔參數(shù)α在α*附近擾動(dòng)時(shí),普適開折(5)對(duì)不同的c30(Δ)和c21(Δ),其分岔圖和相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都與c30=c30(0)和c21=c21(0)時(shí)相同.

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮如下改變的van der Pol振子[7]：

(51)

其中：s和t為任意非零實(shí)數(shù).多線性函數(shù)C,A1,C1和A2按下式計(jì)算：

C1=A2=0.

由式(7),(8),立即可得規(guī)范型系數(shù)

因此,當(dāng)m≠-n,m+n≠r(m-n)時(shí),分岔是非退化的.擾動(dòng)參數(shù)如下：

橫截性滿足,因?yàn)?/p>

因此,當(dāng)m≠-n,m+n≠r(m-n)時(shí),δ和β可以作為分岔參數(shù),使系統(tǒng)(51)產(chǎn)生完整的double-zero分岔.取(m,n,r)=(-2,-1,1),根據(jù)文獻(xiàn)[6],對(duì)應(yīng)的分岔為異宿情形,計(jì)算可得如圖1所示的分岔曲線：

圖1 系統(tǒng)(51)在(δ,β,m,n,r)=(-1,1,-2,-1,1)附近以(δ,β)為分岔參數(shù)的分岔曲線Fig.1 Bifurcation curves of system (51) at (δ,β,m,n,r)=(-1,1,-2,-1,1) with bifurcation parameter (δ,β)

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