李紀(jì)峰，鄭清春，郭津津，余志永

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津市 300384)

0 前言

雙螺桿泵的核心部件是一對螺桿轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子的螺旋頭數(shù)通常有單頭和雙頭兩種。目前，單頭螺旋的轉(zhuǎn)子型線理論相對比較成熟。但是，單頭螺旋的螺桿動平衡不如雙頭螺桿好，當(dāng)用于大排量時螺桿的外徑和質(zhì)量都很大，尤需考慮螺桿的動平衡。雙螺桿泵的轉(zhuǎn)子可以看作是一對相互嚙合的齒輪，轉(zhuǎn)子型線是直接影響雙螺桿泵工作性能和制造成本的最關(guān)鍵因素。嚙合的轉(zhuǎn)子型線要滿足嚙合定律，即不論在任何位置，經(jīng)過型線接觸點的公法線必須通過節(jié)點。但是雙螺桿泵的轉(zhuǎn)子型線又不必像普通齒輪那樣無條件的對稱于齒頂中心線。對雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線的要求，主要是在齒間容積之間有優(yōu)越的密封性能，因為這些齒間容積是實現(xiàn)介質(zhì)排出的工作腔。轉(zhuǎn)子型線要素主要包括:接觸線、泄漏三角形、封閉容積和齒間面積等，這些要素對泵的流量等性能有重要的影響。本文對雙頭雙螺桿泵的轉(zhuǎn)子型線進(jìn)行研究，得出雙頭螺桿轉(zhuǎn)子的型線 (即轉(zhuǎn)子端面曲線)方程。并利用Pro/E對其進(jìn)行三維建模，建模后計算理論流量，為雙螺桿泵的仿真、設(shè)計、優(yōu)化及制造提供參考。

1 雙頭雙螺桿泵的型線方程

1.1 雙頭雙螺桿泵的端面型線結(jié)構(gòu)

圖1所示為雙頭雙螺桿的端面型線結(jié)構(gòu)，型線包括 ab、bc、de、ef、gh、hi、jk、kl等關(guān)鍵曲線段，每段曲線是由相應(yīng)的擺徑和起點生成的擺線。擺線是一種能在嚙合過程中可以生成圓弧形連續(xù)嚙合線的曲線，其齒形嚙合的優(yōu)點是受力和密封狀況好，耐磨損性能好，加工制造技術(shù)比較成熟。本文從擺線分析入手，從幾何方面分析得出雙螺桿泵的型線。

圖1 雙頭雙螺桿泵的端面型線Fig.1 Profile line of double helix

1.2 雙頭螺桿型線的形成及其方程

如圖1所示，由于雙頭螺旋的型線abc段與lkj段、def段與ihg段相對于與y正坐標(biāo)軸成θ度角的直線對稱;abc段與def段、lkj段與ihg段相對于與x正坐標(biāo)軸成θ度角的直線對稱，所以推導(dǎo)出ab、bc兩段擺線的方程，其余可根據(jù)對稱和坐標(biāo)變換得出。其中，以節(jié)圓為導(dǎo)圓，以半徑為R的圓為滾圓，ab段是從b點開始沿順時針方向滾動形成的普通外擺線;bc段是以齒頂圓半徑為擺徑從b點開始沿逆時針方向滾動形成的長幅外擺線。

ab段曲線方程為

bc段曲線方程為

式中，R、R1、R2分別為節(jié)圓半徑、齒頂圓半徑、齒根圓半徑;a為中心距，a=2R;k為導(dǎo)圓、滾圓半徑之和與滾圓半徑之比;m為擺線參數(shù)，決定擺線長度。

由ab、bc段的型線方程，應(yīng)用坐標(biāo)變換可以得出lk、kj兩段曲線方程。先將原坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ，得

因為曲線關(guān)于y軸對稱，即x坐標(biāo)互為相反數(shù)，y坐標(biāo)不變。

最后，將坐標(biāo)變換回原坐標(biāo)系中，即可得到對稱曲線的方程

所以，將ab、bc兩端曲線經(jīng)過以上方法變換就可以得到lk、kj兩段的曲線方程，分別為lk段

kj段

同理，可以得出de、ef、gh、hi四段曲線的方程。即雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線，該型線滿足嚙合定律，由于篇幅有限，本文沒有列出驗證過程。

2 雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計

根據(jù)上文得出的轉(zhuǎn)子端面型線的數(shù)學(xué)方程式，利用Pro/E對雙頭螺桿泵轉(zhuǎn)子應(yīng)用可變剖面掃描方法進(jìn)行三維建模，其中，齒頂圓半徑、齒根圓半徑、節(jié)圓半徑分別為200 mm、105 mm、152.5 mm。圖2為建立的三維模型及其端面型線的剖視圖。

圖2 雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子剖面圖Fig.2 Cross-sectional view of rotor of double helix twin-screw pump

運用Pro/E中的機(jī)構(gòu)運動學(xué)分析模塊能較方便地測量出轉(zhuǎn)子端面型線標(biāo)注各點的坐標(biāo)，如表1所示。

表1 可變剖面掃描建模各點的坐標(biāo)Tab.1 Coordinates of each point on model made in variable cross-section scanning

表1是根據(jù)雙頭螺桿泵轉(zhuǎn)子端面型線方程建模后，測量圖 1 中 a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l點的坐標(biāo)，可以得出，其中a和g、b和h、c和i、d和j、e和k、f和l都具有對稱關(guān)系，說明設(shè)計的雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子的型線具有的對稱特點，具有較好的動平衡性。

3 雙螺桿泵的理論流量

3.1 理論流量計算方法

雙螺桿泵理論流量的計算公式為［3］

式中，A為過流斷面面積;L為螺桿轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程;n為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速。

在螺桿轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和轉(zhuǎn)速給定的條件下，螺桿泵的理論流量與螺桿轉(zhuǎn)子的過流斷面面積A有關(guān)，A如圖3陰影部分所示。A的計算公式為

式中，A∞為兩個齒頂圓面積之和減去重疊部分面積;Ag為一根螺桿轉(zhuǎn)子的橫截面積。

A∞和Ag的計算公式如下:

式中，R1為齒頂圓半徑;R2為齒根圓半徑;R為節(jié)圓半徑;a為中心距。

圖3 過流斷面面積示意圖Fig.3 Schematic diagram of overflow fracture surface area

3.2 雙頭螺桿泵的理論流量計算

雙頭螺桿轉(zhuǎn)子的齒頂圓半徑R1=200 mm，中心距a=305 mm，由式 (3)可得

應(yīng)用Pro/E中“分析—測量—區(qū)域”命令直接測量得到雙頭螺桿轉(zhuǎn)子的橫截面面積Ag

因此，過流斷面面積由式 (2)得

最后，將 A∞、Ag代入式 (1)得到理論流量

本文建立的雙頭螺桿泵模型的理論流量可達(dá)1 400 m3/h。

3.3 同等工作長度的雙頭、單頭轉(zhuǎn)子的理論流量比較

同等工作長度下，將雙頭螺旋換成單頭，計算其理論流量。單頭螺桿轉(zhuǎn)子的齒頂圓半徑、中心距均與雙頭螺桿轉(zhuǎn)子相同。即A∞相同，橫截面面積Ag不同。應(yīng)用Pro/E中“分析－測量－區(qū)域”計算建立的同等工作長度的單頭螺桿的橫截面面積為

過流斷面面積為

理論流量為

通過比較，雙頭轉(zhuǎn)子的理論流量和單頭轉(zhuǎn)子的理論流量比值為1400/500=2.8?？梢钥闯?，雙頭螺桿轉(zhuǎn)子的理論流量比單頭的理論流量并不是大一倍，這是由于在同等工作長度下，雙頭螺桿轉(zhuǎn)子不僅僅是導(dǎo)程變?yōu)樵瓉淼亩?，同時過流截面面積也變大。

4 結(jié)論

本文分析了雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子型線的形成原理，得出雙頭雙螺桿泵的轉(zhuǎn)子型線的數(shù)學(xué)方程式。并利用Pro/E對雙頭雙螺桿泵進(jìn)行三維建模，確定出轉(zhuǎn)子型線坐標(biāo)，驗證雙頭對稱螺桿的型線理論。文中計算雙頭雙螺桿泵的理論流量，為后續(xù)的仿真和型線優(yōu)化提供參考，將其作為后續(xù)型線改進(jìn)、優(yōu)化及其仿真的一個重點研究方面。同時比較同等工作長度的單頭和雙頭雙螺桿泵轉(zhuǎn)子理論流量，將改變導(dǎo)程得出一系列螺桿轉(zhuǎn)子的方法作為一種研究方向。

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