曹留偉，鐘桂輝，劉曙光，武秀根

（同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092）

將式（1），（2），（4），（6）代入式（9）整理得

將式（2），（4），（6），（12）代入式（13）整理得

洪水災(zāi)害是人類面臨的最嚴重的自然災(zāi)害之一，引起的人員死亡占自然災(zāi)害人員死亡的55%［1］.隨著全球氣候、氣象條件的改變，洪水的突發(fā)性幾率增加，人在突發(fā)性洪水中傷亡現(xiàn)象會越來越多.因此，有必要研究和探討人在洪水中穩(wěn)定性問題，即研究人在不同洪水要素（水深、流速）條件下靜止和行走的安全穩(wěn)定性問題.

影響人在洪水中穩(wěn)定性的因素有很多，主要包括洪水要素（水深、流速、水溫、水流的突變性、洪水中夾帶的漂流物），人體要素（身高、體重、人體著裝、年齡及健康程度），地面要素（坡度、粗糙度），物理條件（光照可見度、風速條件）［2］.針對人在洪水中穩(wěn)定性問題，研究者大多采用洪水的水深h和流速U的乘積，即h×U數(shù)值大小來確定人在洪水中失穩(wěn)的臨界條件，通過物理試驗或現(xiàn)場試驗測試健康良好的人體在洪水中靜止、行走、轉(zhuǎn)彎失穩(wěn)時洪水對應(yīng)的水深、流速組合值，通過公式擬合得出h×U和人體質(zhì)量m、身高H的函數(shù)，即h×U＝f（m，H）［2－7］.試驗結(jié)果表明［2－7］：當?shù)孛嫫露刃∮?.5%時，坡度大小對人體失穩(wěn)時h×U臨界值影響較小，可以忽略；人體著裝對人體所受到的浮力和拖曳力大小影響較大，因此對人體失穩(wěn)時h×U臨界值影響較大；不同性別的人體對洪水抵抗能力不同，性別因素對人體失穩(wěn)時h×U臨界值影響最大，一般健康男性失穩(wěn)時h×U臨界值是女性的1.3倍左右［3－4］.理論研 究方面，文獻［2，4，8］忽略了洪水對人體浮力作用和人體本身機能，僅考慮水流拖曳力，將人體等效為具有一定寬度的長方體，分析人靜止失穩(wěn)時水深和流速滿足的關(guān)系式.

本文推導(dǎo)了人靜止于洪水中傾覆失穩(wěn)和滑移失穩(wěn)滿足的方程，利用Lagrange方法推導(dǎo)了人在洪水中正常行走滿足的微分方程并給出數(shù)值解，對今后的相關(guān)研究方向提出了一些建議.

1 人在洪水中靜止時受力及失穩(wěn)分析

1.1 受力分析

人在洪水中靜止時，人體在水平方向上主要受到拖曳力fD和摩擦力FS，在豎直方向上主要受到自身重力G、地面支持力N和浮力FB.受力分析見圖1.

圖1 人體在洪水中受力和失穩(wěn)模型Fig.1 Force and instability models of human body in flood flow

（1）有效重力GE

人體在洪水中靜止時所受到的有效重力為自身重力和浮力的合力，作用力表達式為

式中：g為重力加速度，γw為洪水重度，Vw為人在洪水中的淹沒體積.

（2）拖曳力fD

水流拖曳力主要是人體表面與水流的摩擦阻力及迎流面、背流面的壓力差產(chǎn)生，洪水水面以下任意一點單位水深和寬度的拖曳力［9］

式中：CD為拖曳力系數(shù)（和兩腳之間的寬度、水深、水流方向與人體縱軸的夾角有關(guān)，當水流方向和縱軸方向平行時取1.1［8］），ρw 為洪水密度，u為水面以下任意一點洪水流速.

（3）摩擦力FS

摩擦力是人體在洪水作用下由相對于地面運動的趨勢所產(chǎn)生，摩擦力的大小與地面和鞋底的粗糙程度以及地面對人體的支持力有關(guān)，其表達式為

式中：μ為鞋底和地面的摩擦系數(shù).

1.2 失穩(wěn)分析

人靜止在洪水中主要有兩種失穩(wěn)形式：傾覆失穩(wěn)和滑移失穩(wěn).人體失穩(wěn)分析時作如下假定：①人體各體段質(zhì)心在同一鉛垂軸上；②人體體積沿身高呈線性分布；③洪水流速滿足指數(shù)分布.人體淹沒體積Vw、洪水流速u［10］滿足下式：

式中：VP為人體體積，umax為洪水表面流速，y為計算點到洪水底面的垂直距離，β為常數(shù)，取為1／6.將式（5）兩邊沿垂線積分并將結(jié)果帶入式（5）得

式中：U為沿水深垂線方向的平均流速.

下面分兩種情況（人體直立和傾斜）來分析人體臨界失穩(wěn)時滿足的臨界條件.

（1）人體直立

當洪水對人體的水平拖曳力大小等于人體與地面的摩擦力時，人體發(fā)生臨界滑移失穩(wěn)，即

式中：B為人體寬度，在計算中取人體肩寬、臀寬和腳寬的均值.將式（1）～（4）及式（6）帶入式（7）整理得

當有效重力、水平拖曳力對腳后跟產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩大小相等時，人體發(fā)生臨界傾覆失穩(wěn)，即

將式（1），（2），（4），（6）代入式（9）整理得

式中：A1＝［2（2β＋1）］／［CD（β＋1）2］，A2＝［4（β＋1）］／［CD（β＋1）2］，hf為人體質(zhì)心與腳后跟之間的水平距離.當人體質(zhì)量為50～100kg時，VP可用下式計算［11］：

（2）人體傾斜

當人體整體向水流方向傾斜時，此時有效重力G′E為

將式（9）中的GE替換成G′E可得人體傾斜時臨界滑移失穩(wěn)滿足的條件.臨界傾覆失穩(wěn)時滿足

將式（2），（4），（6），（12）代入式（13）整理得

式中：rc為人體直立時整體質(zhì)心與地面的距離，φ 為人體傾斜時鉛垂軸與水平面的夾角，其最小值由下式確定：

式中：ht為腳踝與第一跖骨之間的水平距離，當φ 取最小值時，人體重心在水平面的投影和第一跖骨重合.

2 人在洪水中行走的穩(wěn)定性分析

2.1 模型及方程的建立

人體行走是一個非常復(fù)雜的物理過程.目前研究人體行走大多采用將人體各體段等效成剛體模型，各體段的質(zhì)量集中在質(zhì)心處，利用Lagrange方程推導(dǎo)出人體行走時各作用力、關(guān)節(jié)力矩滿足的動力學(xué)方程，方程未知量較多且方程形式復(fù)雜［12－13］.人體在一個步行周期內(nèi)左右腿各擺動一次、各支撐地面一次且行走兩步，因此僅需研究一步內(nèi)人體各體段的運動方式.本文將人體分成上半身、擺動腿和支撐腿三個體段部分，將其簡化成剛體模型且各部分質(zhì)量集中在質(zhì)心處.在方程建立過程中作如下假定：①支撐腿在髖關(guān)節(jié)提供的關(guān)節(jié)力矩Mst作用下繞O1點做倒單擺運動，角速度為θ·；②擺動腿在髖關(guān)節(jié)提供的關(guān)節(jié)力矩Msw作用下相對于支撐腿末端O2點做角速度為－θ·的單擺運動；③上半身做平面運動，平面運動的速度和方向等同于支撐腿末端O2的速度；④擺動腿、支撐腿與鉛垂線的夾角始終相等.人在洪水中行走的計算模型如圖2所示.

由如上假定，選取支撐腿和水平面的角度θ 為廣義坐標，對應(yīng)的Lagrange方程為

式中：L為Lagrange函數(shù)，T為質(zhì)點系的動能，E為質(zhì)點系的勢能，F(xiàn)θ為廣義力.

2.1.1 Lagrange函數(shù)的求解

質(zhì)點系中各質(zhì)點的動能計算如下：

式中：Tst，Tub，I1，m1，m2，r1，l分別為支撐腿的動能、上半身的動能、腿繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量、腿的質(zhì)量、上半身質(zhì)量、腿的質(zhì)心到O1點的距離和腿的長度.距擺動腿O2點為r′的任意一點J的速度vJ和動能dTJ分別為

將式（20）～（22）代入式（23）并沿腿長方向積分得擺動腿的動能

選取地面為零勢能面，質(zhì)點系中各質(zhì)點勢能為

式中：Est，Esw，Eub，r2分別為支撐腿、擺動腿、上半身的勢能、上半身質(zhì)心距O2點距離.

將式（18），（19），（25）～（27）代入式（17）求出L，然后代入方程（16）的左邊整理得

其中k1，k2，k3的值見表1.

2.1.2 廣義力Fθ的求解

距離支撐腿O1、擺動腿O3、髖關(guān)節(jié)O2距離為r的任意一點坐標變分為

（1）拖曳力虛功

當0≤h≤lsinθ時，拖曳力虛功

將式（2），（6），（29）代入式（30）整理得

當h＞lsinθ時，拖曳力虛功

將式（2），（6），（29）代入式（32）整理得到與式（31）相同的結(jié)果.

（2）浮力虛功

當0≤h≤lsinθ時，浮力虛功

將式（29）代入式（33）整理得

當h＞lsinθ時，浮力虛功

將式（29）代入式（35）整理得

（3）髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩虛功

將式（31），（34），（36），（38）帶入式（16）右端可得廣義力Fθ的表達式，則式（16）簡化為

方程（39）為人在洪水中行走的動力學(xué)方程，式（39）系數(shù)表達式見表1.

表1 方程（39）系數(shù)表達式Tab.1 Coefficient expression of formula No.39

2.2 方程的求解

2.2.1 初始條件的確定

人體正常行走步距SL與身高H及行走的頻率sF有關(guān)，步距計算如下［13］：

2.2.2 方程的數(shù)值解

方程（39）為二階非線性常微分方程，無解析解.令x＝θ·，則式（39）和（41）可變?yōu)?/p>

方程（42）可采用四階或五階Runge－Kutta法求數(shù)值解.表2為人體基本生物力學(xué)參數(shù)，參照表2的內(nèi)容將動力學(xué)方程及初始條件有關(guān)的系數(shù)表示成H和m的形式.

圖3和4分別為當m＝75kg，H＝1.8m，ρw＝1 000kg·m－3，sF＝60step·min－1，h＝0.3 m，M＝0.9m時，在不同洪水流速下人體行走時角度、角速度隨時間的變化.由圖可知，在給定初始角速度下，洪水流速越大，人體越不容易在洪水中正常行走.當人能在洪水中行走時，角速度數(shù)值有先減小后增大的趨勢對應(yīng)點的角加速度數(shù)值小于關(guān)于對稱的對應(yīng)點的角加速度值（約為1.57rad）.其原因為：當時髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩由克服重力和洪水阻力做功變成髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩和重力克服洪水阻力做功.U＝1.54m·s－1為對應(yīng)水深人體正常行走的流速臨界值.

表2 人 體 生 物 力 學(xué) 參 數(shù)［13－14］Tab.2 Anthropometric values of body segments

圖3 不同洪水流速情況下角度隨時間變化Fig.3 The relationship between angle and time at different flood flow velocities

圖4 不同洪水流速情況下角速度隨時間的變化Fig.4 The relationship between angle rate and time at different flood flow velocities

3 結(jié)果試驗驗證及分析

3.1 結(jié)果試驗驗證

表3為科研工作者對人在洪水中穩(wěn)定性試驗研究所采用的試驗對象、設(shè)備參數(shù)的基本狀況.

表3 試驗參數(shù)對比Tab.3 Comparison of experimental test parameters

圖5和6為男性、女性靜止臨界失穩(wěn)時以及人體能在洪水中正常行走時對應(yīng)的h和U值與試驗值的比較.圖5中參數(shù)取值為m＝75kg，H＝1.80m，μ＝0.8，CD＝1.1，ρw＝1 000kg·m－3，g＝9.8m·s－2，φ＝80°，sF＝60step·min－1.圖6中m＝60kg，H＝1.60m，其余參數(shù)取值與圖5相同.圖中的試驗點表示人體在洪水中靜止和不能在洪水中行走時對應(yīng)的水深和流速值.由圖5可知：當洪水流速小于某個臨界值時（約為2.5m·s－1），人在洪水中靜止時容易發(fā)生傾覆失穩(wěn)；當流速大于2.5m·s－1時，人在洪水中靜止時容易發(fā)生滑移失穩(wěn).兩種失穩(wěn)臨界水深和流速可以由圖7的方法確定.當水深一定時，人在洪水中能夠正常行走對應(yīng)的流速值基本上小于人靜止失穩(wěn)時對應(yīng)的流速值.當水深大于某一數(shù)值時（圖5約為1.0m），人在洪水中順利行走時對應(yīng)的流速值略大于靜止失穩(wěn)時對應(yīng)的流速值.其原因可能為髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩的數(shù)值隨腿和鉛垂線夾角的增大呈線性減小關(guān)系［15］，而本文假定為定值.

圖5 人靜止臨界失穩(wěn)以及在洪水中正常行走時h 和U值和試驗值對比（男性）Fig.5 Comparison of the calculation value of flood depth，velocity with the experiment value when human just lost instability and walking in the flood flow（Male）

圖6 人靜止臨界失穩(wěn)以及在洪水中正常行走時h 和U值和試驗值對比（女性）Fig.6 Comparison of the calculation value of flood depth，velocity and the experiment value when human just lost instability and walking in the flood flow（Female）

3.2 結(jié)果分析

將式（14）除以式（8），并將結(jié)果代入式（8），利用sinφ≈1 和假定洪水密度約等于人體密度，整理得兩種失穩(wěn)對應(yīng)水深和流速的臨界值為

圖7為人靜止在洪水中時發(fā)生滑移失穩(wěn)和傾覆失穩(wěn)水深和流速的臨界值.由圖7及式（43）可知：臨界水深可以近似地認為僅與H，φ，μ值有關(guān)，當φ和μ為定值時，hcr和H成線性關(guān)系.由hr／H值及μ值可以很容易計算出對應(yīng)臨界水深的臨界流速值.

圖8和9為髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩對人在洪水中行走的影響.圖8中參數(shù)取值為m＝75kg，H＝1.8m，sF＝60step·min－1，ρw ＝1 000kg·m－3，h＝0.3 m，U＝2.0m·s－1.圖9中h＝1.0m，U＝0.8m·s－1，其余參數(shù)取 值 與 圖8 相 同.由 圖8 和9 及 方 程（42）可得：在相同的初始條件下，髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩的大小對人能否在洪水中正常行走起到重要作用.計算人在洪水中正常行走的水深和流速時，本文建議其值取為0.8m～0.9m.

圖9 髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩對人在洪水中行走角速度的影響（h＝1.0 m，U＝0.8 m·s－1）Fig.9 The influence of hip’s moment on angle rate when human walking in flood flow（h＝1.0 m，U＝0.8 m·s－1）

4 結(jié)論及建議

（1）將人靜止在洪水中失穩(wěn)形式分為傾覆失穩(wěn)和滑移失穩(wěn)，推導(dǎo)出人體靜止臨界失穩(wěn)時滿足的控制方程，得出傾覆失穩(wěn)和滑移失穩(wěn)分界點對應(yīng)的臨界流速和臨界水深的確定方法，將結(jié)果和已有試驗結(jié)果對比，驗證了控制方程的可行性.

（2）利用Lagrange方法推導(dǎo)出僅考慮一個廣義坐標時滿足人體行走的動力學(xué)方程，利用高階Runge－Kutta法求解出數(shù)值解.分析了髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩對人在洪水中正常行走的影響，并和靜止失穩(wěn)時水深和流速值做對比分析，驗證了結(jié)果的可行性.

（3）人體在行走過程中，人體擺動腿在擺動過程中大腿和小腿有相對運動，且人行走受到髖關(guān)節(jié)屈肌力力矩、膝關(guān)節(jié)力矩和踝關(guān)節(jié)力矩的綜合主動力作用.綜合考慮這些因素對人在洪水中正常行走的分析是今后研究的重點.

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