童根樹，葉 赟，2，張 磊

（1.浙江大學(xué) 土木工程學(xué)系，浙江 杭州310058；2.浙江大學(xué) 建筑設(shè)計(jì)研究院，浙江 杭州310027）

節(jié)點(diǎn)和構(gòu)件具有的塑性變形能力反映了結(jié)構(gòu)在地震時(shí)經(jīng)受不可恢復(fù)的變形和消耗地震能量的能力，表征這種能力的指標(biāo)是延性系數(shù).目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)對(duì)如何定義延性系數(shù)有不同做法，變形能力和屈服位移的取值存在多種約定.

Park［1］總結(jié)對(duì)比了4 種定義屈服位移Δy和最大位移Δu的方法，認(rèn)為混凝土結(jié)構(gòu)的屈服位移Δy的取法應(yīng)該取原點(diǎn)和曲線段上0.75Pmax點(diǎn)（Pmax為峰值承載力）的連線和直線y＝Pmax的交點(diǎn)，如圖1所示，最大位移取Pmax時(shí)對(duì)應(yīng)的位移是相對(duì)保守的，承載力下降一定數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的位移是更接近于實(shí)際的最大位移.Park并沒(méi)有給出具體的下降值.

Kazemi［2］定義位移延性系數(shù)時(shí)屈服位移Δy的取法和Park相同，極限位移Δu則取承載力下降到峰值承載力的80%時(shí)對(duì)應(yīng)的位移（圖1）.Usami等［3］采用了兩種延性定義，δm／δy和δ95／δy，屈服位移δy的取法是取曲線直線段的末端，δm為峰值承載力時(shí)對(duì)應(yīng)的位移，δ95取承載力下降到峰值承載力的95%時(shí)對(duì)應(yīng)的位移，見圖2.文獻(xiàn)［4］將結(jié)構(gòu)荷載位移曲線采用兩折線理想化，第1段取彈性剛度，第2段終點(diǎn)取荷載位移曲線上結(jié)構(gòu)允許達(dá)到的最大位移點(diǎn)，兩折線的折點(diǎn)的確定則要求兩折線下的面積等于曲線下的面積來(lái)確定.FEMA356沒(méi)有規(guī)定有效的延性系數(shù)如何確定.

等位移準(zhǔn)則和等能量準(zhǔn)則，都僅與延性系數(shù)有關(guān)，近二十年的研究［5－6］也表明，延性系數(shù)是決定地震力的決定性因素，因此最大位移和屈服位移的取值非常重要.但是人為給定一個(gè)方法（例如人為給定下降15%的點(diǎn)作為計(jì)算最大位移的點(diǎn)），不僅難有依據(jù)，也不易被廣泛接受.

本文研究承載力有退化模型的地震力折減系數(shù).考察位移延性系數(shù)μ＝Δmax／Δy相同時(shí)，不同承載力退化程度（例如變形達(dá)到Δmax＝μΔy時(shí)承載力退化10%，20%，30%等等）的模型，分析對(duì)比其地震力折減系數(shù)的差別.通過(guò)這種分析，了解不同延性系數(shù)定義下對(duì)應(yīng)的地震力的差別，進(jìn)而得到與退化模型等效的理想彈塑性模型，為地震力計(jì)算的合理化提供依據(jù).

1 分析方法

如規(guī)范CECS160—2004［7］中，通過(guò)對(duì)中震彈性地震力折減來(lái)獲得彈塑性地震力，采用

式中：Fe為彈性地震力，R＝1／C為相應(yīng)的地震力調(diào)整系數(shù)，它與μ有關(guān).

給體系輸入地震波，進(jìn)行彈塑性動(dòng)力時(shí)程響應(yīng)分析，研究其延性開展，與設(shè)定的延性能力進(jìn)行比較，有差別時(shí)調(diào)整屈服承載力，直至延性開展與設(shè)定的延性能力相等，這樣確定的屈服承載力就是設(shè)計(jì)應(yīng)該采用地震力，與彈性最大基底剪力的比值即為結(jié)構(gòu)影響系數(shù).對(duì)結(jié)構(gòu)體系輸入大量不同地震波進(jìn)行分析，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到各種彈塑性反應(yīng)譜.

理想彈塑性（elastic－perfectly plstic，EPP）體系在給定延性下的地震力是

式中：R0為理想彈塑性體系的地震力調(diào)整系數(shù)；Vy為地震承載力的峰值.記K為初始彈性剛度，K′為后期剛度，α為后期剛度系數(shù)（可為負(fù)），則有

ΔVy是變形達(dá)到最大值時(shí)地震承載力的退化量：

式（5）—（6）中：F′EK為有退化模型的地震力；ΔFEK為有退化模型的地震力相對(duì)于EPP 模型的地震力的變化；R′為有退化體系的地震力調(diào)整系數(shù).

可得承載力退化值和后期剛度系數(shù)關(guān)系，見表1.

表1 承載力退化值和后期剛度系數(shù)α 關(guān)系Tab.1 Relationship of strength degrading and poststiffness factors

從美國(guó)Berkeley大學(xué)地震工程研究中心網(wǎng)站上下載地震加速度紀(jì)錄共370條，各地震記錄的加速度反應(yīng)峰值對(duì)應(yīng)的周期是Tga，地震力調(diào)整系數(shù)Rμ譜峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期是TgR［8－9］.四類場(chǎng) 地統(tǒng)計(jì)平均意義上的Tga分別為：0.307，0.364，0.404，0.494s；TgR分別為：2.244，2.096，2.347，3.166s.在統(tǒng)計(jì)平均的意義上，TgR是Tga的5.5～6.7倍.反應(yīng)譜曲線上將周期分為0～Tga，Tga～TgR和TgR～6TgR三段：在0～Tga段，用Tga對(duì)周期量綱一化；在TgR～6TgR段，周期用TgR量綱一化；在Tga～TgR段，將區(qū)間分成100段，獲得99個(gè)內(nèi)插值點(diǎn)，對(duì)所有地震波下的99個(gè)點(diǎn)的譜值直接相加并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

圖3是真實(shí)地震波下人字撐框架和人字撐架抗側(cè)力與層側(cè)移角的關(guān)系，層側(cè)移角定義為層間位移與層高的比值，見文獻(xiàn)［10］第十章.據(jù)此抽象出承載力退化條件下的EPP滯回曲線模型如圖4所示，稱為 修 正 理 想 彈 塑 性（modified elastic－perfectly plastic，MEPP）模型.圖中，V′y為考慮不同參數(shù)組合下的地震承載力的峰值.

圖3 支撐架的滯回曲線Fig.3 Hysteretic response of braced frames

圖4所示，當(dāng)位移越過(guò)屈服位移Δy（1點(diǎn)），結(jié)構(gòu)進(jìn)入屈服后階段，承載力退化至2點(diǎn)；此后以初始剛度卸載，由于V′y＝Vy，到3點(diǎn)后，承載力不退化；繼續(xù)到達(dá)原始屈服壓位移，即4點(diǎn)；如繼續(xù)卸載，承載力退化至5；此時(shí)結(jié)構(gòu)有最大輸入加速度，速度反向，以初始剛度加載，到達(dá)Vy（6點(diǎn)）后，承載力不退化，至7點(diǎn)（上一步最大位移，2點(diǎn)），如此結(jié)構(gòu)做反復(fù)振動(dòng).

圖4 MEPP模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of MEPP models

利用MEPP及剪切滑移（SSP）、雙線性（BIL）模型，通過(guò)自編C＋＋程序得到了考慮不同自振周期、延性、承載力退化系數(shù)等參數(shù)組合下的雙周期標(biāo)準(zhǔn)化的地震力調(diào)整系數(shù)Rμ.其中SSP模型是剪切滑移模型（shear－slip model），具有一次性耗能能力（oneoff），描述中心支撐長(zhǎng)細(xì)比很大的框架的恢復(fù)力特征；BIL 模型是無(wú)耗能能力的二段式彈性模型（bilinear－model），可描述橡膠支座.

定義θ為P－Δ二階效應(yīng)系數(shù)［8－10］.MEPP模型和EPP模型受到P－Δ效應(yīng)的最大區(qū)別在于，圖4a中的V′y＝Vy，且y＜Δy時(shí)，K′＝K，文獻(xiàn)［9］中V′y＝（1－θ）KΔy＜Vy，且y＜Δy時(shí)剛度是（1－θ）K＜K，故剛度退化系數(shù)與二階效應(yīng)系數(shù)相等時(shí)，二階效應(yīng)對(duì)模型的影響更大.

單條地震力分步計(jì)算中，在α＝－0.1，θ＝0.05，μ＝6，T＝TgR的條件下輸入A 類1060－N－AT2＿01地震波.在地震波加速度輸入過(guò)程中，輸出位移Δ和恢復(fù)力F的關(guān)系，最后得出的修正EPP模型滯回曲線模型.由圖5可見，程序是準(zhǔn)確的.

2 修正EPP模型

2.1 地震力調(diào)整系數(shù)Rμ 譜

圖5 MEPP模型示意圖Fig.5 Output diagram of MEPP model

μ＝2，θ＝0，阻尼比ξ＝0.05時(shí)，四類場(chǎng)地剛度退化系數(shù)α分別為0、－0.1、－0.2、－0.3、－0.4、－0.5時(shí)的地震力調(diào)整系數(shù)Rμ譜如圖6所示.圖中，Rμ，50%為地震力調(diào)整系數(shù)的平均譜.考慮承載力退化系數(shù)后：

（1）承載力退化模型的地震力調(diào)整系數(shù)較α＝0均下降.承載力退化會(huì)導(dǎo)致由來(lái)回振動(dòng)轉(zhuǎn)變到單向偏移的現(xiàn)象，導(dǎo)致更大的側(cè)向位移.位移增大，意味著在相同調(diào)整系數(shù)情況下，延性需求增大，進(jìn)而削弱了結(jié)”構(gòu)的防倒塌能力.為了獲得與不考慮承載力退化系數(shù)時(shí)相同的延性需求，必須減小調(diào)整系數(shù)，以減小位移.

（2）對(duì)于相同位移延性系數(shù)，特定的自振周期T，地震力調(diào)整系數(shù)Rμ隨承載力退化絕對(duì)值的增大而減小，在0＜T＜Tga段基本相同，在Tga＜T＜6TgR變化幅度相對(duì)較大，T＝Tga和T＝TgR時(shí)存在峰值.

（3）長(zhǎng)周期下，隨周期延長(zhǎng)，整體變化趨于接近.

（4）四類場(chǎng)地的標(biāo)準(zhǔn)化Rμ譜非常接近，場(chǎng)地類別依然是影響Rμ的主要因素之一，其影響隱含在橫軸周期中.總體而言，D 類場(chǎng)地下的地震力調(diào)整系數(shù)最大.

A～D 四類場(chǎng)地Rμ的變異系數(shù)Cov譜如圖7所示，各類場(chǎng)地Cov均在0.2左右波動(dòng).不同承載力退化下的譜也非常接近.

2.2 基底剪力的承載力退化影響系數(shù)αEK

為了反映承載力退化對(duì)地震基底剪力的影響，引入?yún)?shù)αEK＝F′EK／FEK＝Rμ，0／Rμ，α（Rμ，0指α＝0時(shí)的Rμ，Rμ，α指不同α值但不為0 時(shí)的Rμ），如α＝－0.5，μ＝2時(shí)，A 類場(chǎng)地下，共106條地震波，每條地震波200個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，總共21 200 個(gè)F′EK／FEK數(shù)據(jù)，其平均譜即為

圖8為μ＝2時(shí)MEPP模型的影響系數(shù)平均譜.圖8表明：T接近于0時(shí)，αEK都趨近于1；T＜Tga時(shí)，αEK受周期變化的影響顯著，基本隨線性增加；Tga＜T＜TgR時(shí)，除去兩個(gè)周期處的峰值及其鄰近區(qū)域，中間段存在一個(gè)水平波動(dòng)段.TgR＜T＜2TgR時(shí)，αEK逐漸下降；T＞2TgR時(shí)，αEK相對(duì)穩(wěn)定，α＝－0.5趨近于1.3，這個(gè)差別在抗震設(shè)計(jì)中是不容忽視的.

由圖8知，D 類場(chǎng)地影響系數(shù)譜αEK在相同承載力退化值時(shí)最大.為得到承載力退化值相同但延性不同對(duì)MEPP 模型影響系數(shù)譜αEK的影響，圖9 給出了D類場(chǎng)地，θ＝0，ξ＝0.05，μ＝4，6時(shí)MEPP模型Rμ譜，曲線形狀與μ＝2時(shí)類似，譜值不同.

影響系數(shù)αEK譜見圖10.μ＝4和μ＝6時(shí)剛度退化取值和μ＝2時(shí)不同，但承載力下降的幅度和μ＝2時(shí)相同或者接近，αEK的曲線形狀粗略地相似.μ＝4，6時(shí)，αEK在T＝Tga處的波峰幾乎消失，然后增加，直到TgR處達(dá)到最大值，然后以較慢的速率下降，μ越大，下降越慢.對(duì)比圖10和圖8可知，承載力退化的幅度是比退化剛度更為重要的參數(shù)，地震力延性系數(shù)譜直接與承載力的下降幅度成正比.

2.3 基底剪力的影響系數(shù)擬合譜

從前面分析得到：不同承載力退化值及不同延性系數(shù)時(shí)的影響系數(shù)是不一樣的，兩者都對(duì)影響系數(shù)產(chǎn)生顯著影響，擬合如下：

其中：

D 類場(chǎng)地，θ＝0，ξ＝0.05，μ＝2，4，6 時(shí)部分?jǐn)M合結(jié)果對(duì)比如圖11所示.圖中，以實(shí)心圖例表示的代表計(jì)算值，以空心圖例表示的曲線為擬合曲線.

圖11 MEPP模型，影響系數(shù)擬合譜Fig.11 MEPP，50%guarantee rate spectra of the influence fitting coefficients

2.4 與退化模型等效的理想彈塑性模型

αEK的物理意義是：退化體系與理想EPP體系的延性系數(shù)相同、初始剛度相同的結(jié)構(gòu)，承載力需求的比值.如圖12所示，Δmax和Δy分別為理想彈塑性體系最大位移和屈服位移；Δ′max和Δ′y為有退化模型最大位移和屈服位移；兩者初始剛度相同，延性系數(shù)相同，則：

因此等效模型的屈服位移和最大位移分別為

式（15）—（16）寫成

即：如果結(jié)構(gòu)承載力有退化，那么為了得到與理想彈塑性模型的延性等效（即具有相同的抗震性能），則對(duì)有退化的結(jié)構(gòu)的承載力的要求是理想彈塑性結(jié)構(gòu)的αEK倍，對(duì)變形能力（絕對(duì)值）的需求也是相同延性系數(shù)的理想彈塑性模型的αEK倍.

圖12 MEPP模型與EPP模型等效Fig.12 MEPP model with its equivalent EPP model

3 SSP模型

如圖13所示，θ＝0，ξ＝0.05，μ＝2，4，6時(shí)B 類場(chǎng)地不同承載力退化系數(shù)時(shí)SSP 模型的Rμ譜與MEPP模型相比，Rμ譜稍有降低，不同承載力退化曲線更加趨近.與無(wú)退化的SSP模型的比值如圖14所示.影響系數(shù)譜與MEPP 模型相比最大不同在于其峰值只有一個(gè)，在T＝Tga處，其值約為1.25.T接近于0時(shí)αEK趨近于1；T＜Tga時(shí)，αEK基本隨T線性增加；Tga＜T＜6TgR時(shí)，αEK雖有波動(dòng)，但總體下降，慢慢趨于平緩.承載力退化對(duì)其曲線影響較MEPP模型小.

4 BIL模型

圖15 BIL 模型，平均譜Fig.15 BIL model，50%guarantee rate spectra

θ＝0，ξ＝0.05，μ＝6，退化系數(shù)α分別為0、－0.02、－0.04、－0.06、－0.08、－0.10時(shí)，對(duì)BIL模型在D 類場(chǎng)地下的地震力調(diào)整系數(shù)R′μ進(jìn)行了分析，如圖15所示.各場(chǎng)地標(biāo)準(zhǔn)化的R′μ譜形狀相似，譜值稍有差別.其在Tga＜T＜TgR時(shí)的R′μ譜基本沒(méi)有變化；在TgR＜T＜2TgR時(shí)，承載力退化系數(shù)α絕對(duì)值越大，減小得稍多，當(dāng)α＝－0.1時(shí)減小13%左右，遠(yuǎn)小于修正EPP（MEPP）模型和SSP模型，可見承載力退化對(duì)BIL模型的影響很小.

5 結(jié) 論

本文考慮了延性和承載力退化影響，對(duì)三種有退化MEPP，SSP，BIL 模型相關(guān)的地震力調(diào)整系數(shù)譜進(jìn)行研究，譜曲線以周期Tga和TgR進(jìn)行雙周期標(biāo)準(zhǔn)化，保留了R譜在Tga和TgR處的峰值特征.結(jié)論如下：

（1）MEPP模型的承載力退化值對(duì)地震力調(diào)整系數(shù)影響很大，SSP模型次之.BIL 模型有很強(qiáng)的恢復(fù)到原點(diǎn)的能力，承載力的后期退化對(duì)其調(diào)整系數(shù)譜幾乎沒(méi)有影響.

（2）實(shí)踐中取承載力退化多少來(lái)定義延性系數(shù)，根據(jù)本文的研究發(fā)現(xiàn)對(duì)SSP，BIL 模型可以適當(dāng)放寬要求.對(duì)退化的MEPP模型，得到了與承載力退化模型等效的理想彈塑性模型.即有退化的結(jié)構(gòu)的承載力的要求是理想彈塑性模型的αEK倍，同時(shí)對(duì)變形能力的需求也是理想彈塑性模型的αEK倍.

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