程洪正，張立軍，阮 丞，刁 坤

（1.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海201804；2.同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心，上海201804）

動(dòng)力電池是電動(dòng)汽車的最核心部件之一.近年來，鋰離子電池因其優(yōu)異的綜合性能倍受關(guān)注［1］.工作溫度對(duì)電池的各種特性，例如充放電功率與能量、效率、安全性、可靠性和壽命等都具有重要影響，并進(jìn)而顯著影響電動(dòng)汽車的性能［1－3］.因此，有關(guān)鋰離子電池?zé)釀?dòng)力學(xué)的建模與仿真、測(cè)試與評(píng)價(jià)、管理與控制成為核心關(guān)鍵技術(shù)［1－3］.

方形鋰離子電池的單電池結(jié)構(gòu)主要由正負(fù)電極、隔膜和正負(fù)集流板組成，如圖1所示.正負(fù)集流板、正負(fù)電極、隔膜的長(zhǎng)度和寬度方向尺寸為分米級(jí)，而厚度方向尺寸為微米級(jí)，具有顯著的跨尺度特征［1－2］.

目前，采用有限單元方法進(jìn)行電池內(nèi)部溫度場(chǎng)的建模與分析已經(jīng)成為趨勢(shì)［3］.國內(nèi)外相關(guān)研究主要基于對(duì)實(shí)際電池的不同程度簡(jiǎn)化假設(shè)，考慮不同的運(yùn)行 工 況，建 立 起 一 維［4－6］、二 維［7］、三 維［8－9］溫 度場(chǎng)模型.國內(nèi)外學(xué)者建立的三維模型大多都將單體電池簡(jiǎn)化為由各向異性的單一材料組成的單層結(jié)構(gòu)，假設(shè)電池為均勻的發(fā)熱體或施加一致性熱源［4－9］.實(shí)際上，每個(gè)單體鋰離子電池是包含上百個(gè)圖1所示單電池的分層結(jié)構(gòu)，且單電池的各層材料熱學(xué)屬性存在很大的差異，因而，在一定的工況下，內(nèi)部溫度場(chǎng)并非均勻分布.但是，若直接按照單電池多層結(jié)構(gòu)的實(shí)際尺寸進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，進(jìn)行電池內(nèi)部溫度場(chǎng)有限單元建模與計(jì)算，將會(huì)由于跨尺度原因產(chǎn)生模型單元數(shù)量多、計(jì)算量大、難以實(shí)現(xiàn)的嚴(yán)重困難.

圖1 鋰離子單電池結(jié)構(gòu)示意圖與三維尺寸（單位：mm）Fig.1 Schematic of lithium－ion battery cell（unit：mm）

因此，如何解決跨尺度建模問題成為利用有限元方法進(jìn)行電池內(nèi)部瞬態(tài)溫度場(chǎng)的預(yù)測(cè)的關(guān)鍵.本文就是針對(duì)這一問題提出了一種基于相似理論的解決方法.

相似理論方法是人們?cè)谔剿髯匀灰?guī)律的過程中形成的一種常用的模化方法，對(duì)流體力學(xué)、傳熱學(xué)等學(xué)科的發(fā)展曾發(fā)揮了不可估量的作用［10］，并在各種傳熱工程技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用［11－12］.然而，目前還未發(fā)現(xiàn)將相似理論應(yīng)用于電池物理場(chǎng)的建模預(yù)測(cè)，以及解決鋰離子電池跨尺度建模問題的案例.

為了解決電池內(nèi)部溫度場(chǎng)有限單元建模的跨尺度難題，本文提出了基于相似理論的動(dòng)力電池內(nèi)部瞬態(tài)溫度場(chǎng)建模方法，從非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程出發(fā)推導(dǎo)建立了溫度場(chǎng)相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系，并利用ANSYS有限元軟件進(jìn)行了相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系正確性的驗(yàn)證，從而為面向?qū)ο蟮匿囯x子動(dòng)力電池?zé)釀?dòng)力學(xué)建模、分析與管理奠定了良好的基礎(chǔ).

1 溫度場(chǎng)相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)

1.1 溫度場(chǎng)相似準(zhǔn)則

電池的生熱散熱過程是一個(gè)典型的三維、內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，為預(yù)測(cè)其溫度場(chǎng)，建立了三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下的導(dǎo)熱微分方程［13］.

控制方程：

第三類邊界條件：

初始條件：

式（1）—（3）中：λx、λy和λz分別為x、y和z三個(gè)方向的熱傳導(dǎo)系數(shù)；T為溫度；q為內(nèi)熱源功率密度分布函數(shù)；ρ為密度；Cp為定壓比熱容；t為時(shí)間；hx，hy，hz分別為x、y、z三個(gè)方向的對(duì)流換熱系數(shù)；T0為初始溫度；Tf為環(huán)境中流體的溫度；a，b，c分別為x、y、z三個(gè)方向上的幾何參數(shù).

為將方程（1）—（3）作量綱一化處理，引入長(zhǎng)度、時(shí)間、溫度三個(gè)標(biāo)尺.

x，y，z方向上長(zhǎng)度標(biāo)尺分別取為δx、δy和δz，分別為

溫度度標(biāo)尺取為

式中：θ0為過余溫度標(biāo)度.

時(shí)間標(biāo)尺取為

量綱一化導(dǎo)熱微分方程為

第三類邊界條件：

初值條件：

式（5）—（7）中：Θ＝θ／θ0為量綱一溫度，θ為過余溫度為傅里葉數(shù)，表征量綱一時(shí)間；，為無量綱一生熱速率和分別為x，y，z方向量綱一對(duì)流邊界位置；為量綱一位置坐標(biāo)為畢渥數(shù)，表征量綱一對(duì)流散熱系數(shù).

顯然，由方程（5）—（7）可以看出，量綱一過余溫度Θ為Bix、Biy、Biz、Fo、Q、X、Y、Z、A、B和C的函數(shù).

以上即為三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的相似準(zhǔn)則數(shù).

1.2 溫度場(chǎng)原型與相似模型的參數(shù)設(shè)置

基于相似理論提出將厚度方向尺寸放大N倍的溫度場(chǎng)相似模型.根據(jù)前面的分析，要實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)相似，相似準(zhǔn)則數(shù)必須相等.由此確定相似模型與原型之間的參數(shù)設(shè)置必須滿足如表1 所示的比例關(guān)系.表中，N為縮放的比例.

表1 模型參數(shù)設(shè)置比例關(guān)系（原型：模型）Tab.1 Parameters ratios of prototype to scale model

當(dāng)滿足表1條件時(shí)，模型與原型的溫度場(chǎng)相似，即Θ1（X，Y，Z，F(xiàn)o）＝Θ2（X，Y，Z，F(xiàn)o），也就是T1（x，y，z，t）＝T2（x，y，Nz，t）.

2 基于有限元的相似準(zhǔn)則驗(yàn)證

2.1 單層結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算與驗(yàn)證

文獻(xiàn)［14］給出了將單電池五層結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單層結(jié)構(gòu)的等效方法，等效熱傳導(dǎo)系數(shù)、體積比熱容等效計(jì)算公式如下：

式中：λi為單電池各層熱傳導(dǎo)系數(shù)；ci為各層厚度；ρCp為及體積比熱容.

利用ANSYS軟件分別建立原型和厚度方向放大2倍的相似模型，進(jìn)行相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系的驗(yàn)證.由于單層結(jié)構(gòu)厚度方向總尺寸為0.19mm，與長(zhǎng)度寬度方向尺寸相差達(dá)到2個(gè)數(shù)量級(jí).為此，分別將單層結(jié)構(gòu)厚度方向放大100倍和放大200倍得到的單層結(jié)構(gòu)模型作為原型和相似模型，根據(jù)相似準(zhǔn)則設(shè)置參數(shù)，通過對(duì)比驗(yàn)證相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系的正確性.

建模時(shí)假設(shè)：

（1）單體電池四周對(duì)流換熱，數(shù)值為10 W·m－2·K－1，頂面和底面的對(duì)流換熱等分到每個(gè)單電池的頂面和底面上，數(shù)值為10／154≈0.065W·m－2·K－1，并忽略熱輻射的影響.

（2）電池工作在1C 放電工況下，利用Bernardi等［15］提出的電池生熱速率公式（11），計(jì)算得到單電池的均勻體生熱速率為28 340 W·m－3.其中，生熱速率計(jì)算公式如下：

式中：I為電流；V為電池體積；Eoc為電池平衡電壓；U為電池工作電壓；T為溫度.

圖2所示為原型和相似模型的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)有限單元模型，模型的單元類型為solid90.其中，原型的單元總數(shù)為1 792個(gè)，相似模型的單元總數(shù)為3 360個(gè).

圖2 原型和相似模型熱傳導(dǎo)有限單元模型Fig.2 Finite element models of heat transfer

根據(jù)電池實(shí)際工況和相似準(zhǔn)則，原型和相似模型的有限單元模型的屬性參數(shù)設(shè)置見表2.

表2 有限元模型參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameters of finite element models

圖3所示為3 600s時(shí)刻兩種模型的溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果.圖3a、圖3b分別為原型和模型3 600s時(shí)刻溫度空間分布圖，圖3c為原型和模型中對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的溫度時(shí)間歷程曲線.其中，原型角點(diǎn)（0，0，0），原型中心點(diǎn)（47，84，9.5），模型角點(diǎn)（0，0，0），模型中心點(diǎn)（47，84，19）.

由圖3計(jì)算結(jié)果可知，相似模型與原型的溫度場(chǎng)的完全相似，即最高溫度和最低溫度，以及溫度場(chǎng)的空間分布和時(shí)間歷程的完全一致.這說明，理論推導(dǎo)確定的相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系是完全成立的.

圖3 單層結(jié)構(gòu)原型與相似模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of calculation results between prototype and scale model with single－layer structure

2.2 多層結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算與驗(yàn)證

在多層結(jié)構(gòu)假設(shè)條件下，利用ANSYS軟件分別建立原型和厚度方向放大2倍的相似模型，進(jìn)行相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系的驗(yàn)證.分別將原始結(jié)構(gòu)厚度方向放大1 000倍和2 000倍得到的5層結(jié)構(gòu)作為原型和相似模型，根據(jù)相似準(zhǔn)則設(shè)置模型參數(shù)，通過對(duì)比有限元計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系的成立.

圖4所示為原型和相似模型的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)有限單元模型，單元為solid90.其中，原型的單元總數(shù)為15 408個(gè)，相似模型的單元總數(shù)為30 816個(gè).建模假設(shè)與單層結(jié)構(gòu)相同.

圖4 原型和相似模型熱傳導(dǎo)有限單元模型Fig.4 Finite element models of heat transfer

根據(jù)電池工況和相似準(zhǔn)則，原型和相似模型的有限單元模型的屬性參數(shù)及載荷、邊界條件、初始溫度設(shè)置見表3—5.

圖5所示為3 600s時(shí)刻兩種模型的溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果，其中圖5a、圖5b 分別為原型和相似模型3 600s時(shí)刻的溫度分布，圖5c為原型和模型對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的溫度—時(shí)間歷程曲線.對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)見表6.

表3 有限元模型參數(shù)設(shè)置一Tab.3 Parameters of finite element models：part 1

表4 有限元模型參數(shù)設(shè)置二Tab.4 Parameters of finite element models：part 2

由圖5可知，相似模型與原型整體最高溫度相差0.004 ℃，最低溫度相差0.046 ℃，推測(cè)是由于有限元計(jì)算誤差所致.因此，若忽略有限元計(jì)算誤差，在厚度方向放大2倍后，相似模型與原型的溫度場(chǎng)相似，即最高溫度和最低溫度，以及溫度場(chǎng)的空間分布和時(shí)間歷程一致.這說明，理論推導(dǎo)確定的相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系成立，而且可以滿足復(fù)雜的多層結(jié)構(gòu)的建模與分析.

圖5 五層結(jié)構(gòu)原型與相似模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of caculation results between prototype and scale model with multi－layers structure

3 結(jié)論

本文針對(duì)鋰離子電池多層跨尺度的相似模型建模研究主要得到以下結(jié)論：（1）根據(jù)三維常物性、非穩(wěn)態(tài)、第三類邊界條件下導(dǎo)熱微分方程，通過量綱—分析得到的相似準(zhǔn)則和相似關(guān)系完全能夠?qū)崿F(xiàn)溫度場(chǎng)時(shí)間歷程和空間分布的一致模擬；（2）在某一方向幾何尺寸縮放N倍，為實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)完全相似，相應(yīng)方向的熱傳導(dǎo)系數(shù)相應(yīng)縮小N2倍，而對(duì)流換熱系數(shù)則縮小N倍，其他保持不變.

雖然本文已經(jīng)基于相似理論建立了鋰離子電池內(nèi)部溫度場(chǎng)的建模與預(yù)測(cè)方法，但是后續(xù)仍需通過大量的試驗(yàn)修正模型參數(shù)，在進(jìn)一步驗(yàn)證有效性的基礎(chǔ)上，提高模型的預(yù)測(cè)精度.

［1］ Keyser M，Mihalic M，Pesaran A.Thermal characterization of plastic lithium ion cells［M］／／The 18th International Seminar and Exhibit on Primary and Secondary Batteris. Fort Lauderda：Advanced Battery Technology，2001.

［2］ Chen S C，Wan C C，Wang Y Y.Thermal analysis of lithiumion batteries［J］.Journal of Power Sources，2005，140（1）：111.

［3］ 李騰，林成濤，陳全世.鋰離子電池?zé)崮Ｐ脱芯窟M(jìn)展［J］.電源技術(shù)，2009，33（10）：927.LI Teng， LIN Chengtao， CHEN Quanshi. Research development on lithium－ion battery thermal model［J］.Chinese Journal of Power Sources，2009，33（10）：927.

［4］ Pals C R，Newman J.Thermal modeling of the lithium／polymer battery：I.discharge behavior of a single cell［J］.Journal of the Electrochemical Society，1995，142（10）：3274.

［5］ Pals C R，Newman J.Thermal modeling of the lithium／polymer battery：II.temperature profiles in a cell stack［J］.Journal of the Electrochemical Society，1995，142（10）：3282.

［6］ Smith K，Wang C Y.Power and thermal characterization of a lithium－ion battery pack for hybrid－electric vehicles ［J］.Journal of Power Sources，2006，160（1）：662.

［7］ Chen Y，Evans J W.Heat transfer phenomena in lithium／polymer－electrolyte batteries for electric vehicle application［J］.Journal of the Electrochemical Society，1993，140（7）：3274.

［8］ Chen Y，Evans J W.Three－dimensional thermal modeling of lithium－polymer batteries under galvanostatic discharge and dynamic power profile［J］.Journal of the Electrochemical Society，1994，141（11）：2947.

［9］ Taheri P，Bahrami M.Temperature rise in prismatic polymer lithium－Ion batteries：an analytic approach［C］／／Proceedings of SAE2012 World Congress ＆Exhibition.Detroit：SAE 2012 World Congress ＆Exhibition.2012：164－176.

［10］ 王豐.相似理論及其在傳熱學(xué)中的應(yīng)用［M］，北京：高等教育出版社，1990.WANG Feng.Similarity theory and its application in heat transfer theory［M］.Beijing：Higher Education Press，1990.

［11］ 蔡志鵬，鹿安理，史清宇，等.相似理論在焊接溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)及應(yīng)變場(chǎng)中的應(yīng)用［J］，焊接學(xué)報(bào)，2000，21（3）：79.CAI Zhipeng，LU Anli，SHI Qingyu，et al.Application of similitude principles to study in welding temperature，strain and stress fields［J］.Transactions of the China Welding Institution，2000，21（3）：79.

［12］ 朱作京，于達(dá)，宮敬.儲(chǔ)油罐溫度場(chǎng)模擬過程中傳熱相似理論［J］.油氣儲(chǔ)運(yùn)，2007，26（12）：37.ZHU Zuojing，YU Da，GONG Jing.Study on thermal－like theory in simulation process of temperature field of oil storage tank［J］.Oil ＆Gas Storage and Transportation，2007，26（12）：37.

［13］ 楊世銘，陶文銓.傳熱學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2008.42－45.YANG Shiming，TAO Wenquan.Heat transfer theory［M］.Beijing：Higher Education Press，2008.42－45.

［14］ Bandhauer T M，Garimella S，F(xiàn)uller T F.A critical review of thermal issues in lithium－ion batteries ［J］.Journal of the Electrochemical Society，2011，158（3）：1.

［15］ Bernardi D，Pawlikowski E，Newman J.A general energy balance for battery systems［J］.Journal of the Electrochemical Society，1985，132（1）：5.