王 東，趙 軍，李安海，崔曉斌

（山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南250061）

隨著計算機技術和數(shù)值仿真的發(fā)展，使用計算機仿真模型預報材料性能的技術也取得了飛速的發(fā)展[1－6］。硬度是硬質(zhì)合金材料具備的基本性能之一，它在很大程度上取決于顯微結(jié)構(gòu)，這不僅包括各相的硬度，而且包括各相的體積分數(shù)、晶粒形狀及取向、粒徑的分布規(guī)律，這些造成了其微觀結(jié)構(gòu)的不均勻性和復雜性，使得材料微觀結(jié)構(gòu)的建模具有很大難度，因而構(gòu)建硬度預報模型成為材料科學工作者亟待解決的關鍵問題。

Lee H.C.等[7］認為 WC相、Co相和 WC－Co硬質(zhì)合金有相同的約束參數(shù)，從而給出了計算硬度的經(jīng)驗公式。但是，Xu Zhihui等[8］提出了不同的觀點，認為WC相、Co相和WC－Co硬質(zhì)合金的約束參數(shù)是不同的，提出了改進后的模型。然而，這些模型都有一定的適用范圍。Roebuck B.[9］作了一些工作，把模型的使用范圍擴展到了納米水平。這些模型[7－11］大都是通過實驗得出的經(jīng)驗公式，有一定的局限性。首先適用性不強，只在一定的條件下符合；其次不能直觀地反映微觀結(jié)構(gòu)的變化與宏觀性能間的關系。Doerner M.F.等[12］使用壓痕實驗得到的加載曲線計算硬度，同時使用卸載曲線的斜率計算彈性模量。此后，Oliver W.C.等[13］對使用壓痕實驗的載荷－壓痕深度曲線計算硬度和彈性模量的方法提出了改進，他通過6組材料的實驗給出了卸載曲線的非線性表達式，并且給出了計算壓痕面積的方法。這些研究為后來使用有限元仿真壓痕實驗計算硬度和彈性模量奠定了基礎。Pramanik A.等[14］使用顯微壓痕實驗的3D有限元模擬研究金屬基復合材料的性能。Culha O.等[15］采用有限元研究FeB的壓痕實驗從而獲得其力學性能。但是，這些有限元模型[12－20］都很少考慮材料的微觀結(jié)構(gòu)對材料宏觀性能的影響。

針對上述問題，本文作者將材料微觀結(jié)構(gòu)和有限元仿真相結(jié)合，提出了基于 WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)的硬度預報有限元模型。通過實驗驗證，證明該方法能準確預報材料的硬度。它不僅減輕了實驗的強度，節(jié)省了時間，更重要的是可以直觀地研究材料細觀結(jié)構(gòu)的變化對宏觀性能的影響，進一步加深了解細觀結(jié)構(gòu)和宏觀性能間的關系。

1 硬度預報有限元模型

1.1 微觀結(jié)構(gòu)模型的建立

由多相組成的WC－Co硬質(zhì)合金的微觀結(jié)構(gòu)在外觀上呈現(xiàn)出很大的隨機性，主要表現(xiàn)在以下方面：（1）晶粒形心位置的分布是隨機的；（2）晶粒平均粒徑是隨機分布的；（3）晶粒的形狀是不完全相同的；（4）晶粒取向角的分布是隨機的。但是通過研究微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果發(fā)現(xiàn)，晶粒形心位置和取向角趨于均勻分布U（a，b），而晶粒平均粒徑趨于正態(tài)分布 N（μ，σ2）?；谝陨显?，提出了 “隨機法”構(gòu)建微觀結(jié)構(gòu)模型的思路，使用VC＋＋和MATLAB開發(fā)平臺，通過隨機函數(shù)控制晶粒形心位置、晶粒平均粒徑、晶粒取向角的分布以及晶粒形狀，并且通過程序控制材料中Co黏結(jié)相的體積分數(shù)，從而構(gòu)建了符合真實微觀結(jié)構(gòu)特征的模型，并開發(fā)了可視化的二維微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模系統(tǒng)。在模擬過程中，給出具體的晶粒尺寸分布的設計參數(shù)μ，σ后，將晶粒尺寸的上下限確定為（μ－2σ，μ＋2σ），這是因為觀察其統(tǒng)計規(guī)律發(fā)現(xiàn)有超過95%的晶粒尺寸分布在這個區(qū)間內(nèi)。圖1所示為WC平均粒徑1μm，Co體積分數(shù)15%的 WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)的掃描電鏡（SEM）照片，明顯可以看出它的特征具有隨機性。圖2是結(jié)合真實微觀結(jié)構(gòu)的特點使用“隨機法”構(gòu)建的微觀結(jié)構(gòu)模型。對比圖1和圖2可以看出，基于“隨機法”構(gòu)建的WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)模型符合材料真實微觀結(jié)構(gòu)所具有的隨機性特征。

圖1 WC－Co硬質(zhì)合金材料微觀結(jié)構(gòu)SEM照片（WC平均粒徑1μm，15%Co）Fig.1 SEM micrograph of the WC－Co cemented carbides material（WC average grain size 1μm，15%Co）

圖2 基于“隨機法”生成的典型微觀結(jié)構(gòu)模型（WC平均粒徑1μm，15%Co）Fig.2 Typical micro structure model based on“random method”（WC average grain size 1μm，15%Co）

1.2 有限元仿真模型的建立

結(jié)合WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)和顯微壓痕實驗，構(gòu)建WC－Co硬質(zhì)合金硬度預報有限元模型。首先根據(jù)目標微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)在自主開發(fā)的軟件中構(gòu)建出符合要求的微觀結(jié)構(gòu)，再導出Python語言編寫的腳本文檔，然后導入有限元軟件ABAQUS，生成仿真模型，設置材料屬性和模擬過程，最后進行仿真計算。

顯微壓痕模擬過程中使用維氏壓頭，其中心線與錐面間的夾角為70.3°，由于壓頭在實際過程中變形很小，因此把壓頭等效為剛體。從文獻[4］中獲得 WC相和Co相的材料屬性參數(shù)，如表1所示。假設 WC是彈性體，而Co為彈塑性體。在材料的制備過程中僅有1%～2%的偏析現(xiàn)象發(fā)生，因此在微觀結(jié)構(gòu)材料模型中可不考慮偏析引起的影響。同時由于模擬中的微觀結(jié)構(gòu)模型尺寸較大，在應力場中包含有數(shù)百晶粒，因此假設材料是各向同性的。

表1 WC和Co材料屬性參數(shù)Table 1 Material property parameters of WC and Co

有限元模擬過程中壓頭和材料間的接觸屬性定義為無摩擦。模擬過程中限制微觀結(jié)構(gòu)材料下表面和右側(cè)面的所有自由度，與壓頭接觸的上表面定義為自由表面，而壓頭所在的左側(cè)面定義為軸對稱邊界，限制其在X方向上的自由度，使其只能在Y方向上移動；并且限制壓頭的其他自由度，使它只能沿著Y方向運動平移。加－卸載過程中設定壓頭按照位移載荷沿Y方向作直線運動，即壓入材料和退出材料。載荷加載位置為對稱模型的對稱軸處。位移載荷是時間的線性函數(shù)，加載載荷步是在壓頭上施加向下的位移載荷至0.75μm深度，卸載載荷步是給壓頭施加向上的位移載荷使其位移逐漸減少為0?；趯嶋H顯微壓痕實驗過程構(gòu)建的硬度仿真有限元模型，見圖3。

圖3 硬度仿真有限元模型Fig.3 Finite element model for the simulation of hardness

顯微壓痕實驗可以看為一個準靜態(tài)過程，壓頭緩慢壓入被測材料。模擬過程中，壓頭也是逐漸被壓入材料中，整個過程分為若干步來完成，卸載過程也是同樣的。采用有限元仿真的方法，不僅可以看到加－卸載過程中材料微觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應力變化和分布，而且可獲得載荷－壓痕深度曲線。

2 硬度計算方法

首先，根據(jù)實際測量的材料微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)為目標構(gòu)建正確的微觀結(jié)構(gòu)模型，再導入有限元軟件ABAQUS，設置顯微壓痕實驗的模擬過程，然后進行仿真計算，得出載荷－壓痕深度曲線，最后根據(jù)此曲線使用OLIVER－PHARR法[7］和經(jīng)典彈塑性力學中關于硬度的定義計算出材料的硬度。具體計算步驟如下：

式中：p為載荷；B，m為載荷擬合函數(shù)的系數(shù)；S為彈性接觸剛度；hc為接觸深度；A為接觸表面的投影面積；H為硬度；h為壓痕深度；hf為完全卸載后壓痕深度；ε是與壓頭形狀有關的參數(shù)，對于維氏壓頭取0.75。

以WC－6Co試樣的硬度計算過程為例進行說明。測得試樣的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)：Co體積分數(shù)為10.1%，平均粒徑為1.1μm，以此參數(shù)為目標在自主開發(fā)的軟件中生成微觀結(jié)構(gòu)模型，再導入有限元軟件進行顯微壓痕實驗的模擬，模擬后得到材料的載荷－壓痕深度曲線見圖4，然后對材料的載荷－壓痕深度曲線在 MATLAB中進行擬合見圖5，可以得出式（1）的參數(shù)B，m 分別為0.1109和1.461，最后代入式（2）～（5）計算得到硬度H為14.19GPa。

圖4 載荷－壓痕深度曲線Fig.4 Variation of load with indentation depth

圖5 卸載載荷－壓痕深度的擬合曲線Fig.5 Fitting curve of unloading force vs indentation depth

3 實驗

選擇 WC－6Co，WC－8Co，WC－10Co和 WC－15Co四種材料作為研究對象，其平均晶粒尺寸為1～2μm，體積分數(shù)分別為10.1%，13.2%，16.3%和23.6%。選擇抗彎強度條B型試樣，其尺寸為20mm×6.5mm×5.25mm，對試樣表面進行拋光處理，處理后的表面粗糙度Ra≤50nm。實驗使用顯微維氏硬度計（401MVA），每種材料選取5個試樣，采用單點法對每個試樣進行硬度測試，測試載荷范圍小于1N。測試條件為室溫（20±1）℃，加載保持時間為5s，測量分辨率為25μm，測試結(jié)果見表2。

表2 硬度測試結(jié)果Table 2 Experimental results of hardness

4 模擬結(jié)果與分析

4.1 微觀結(jié)構(gòu)對硬度的影響

對比各種微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)模型的仿真結(jié)果可以得出，微觀結(jié)構(gòu)對硬度的仿真結(jié)果影響很大，其中以Co含量和晶粒平均粒徑的影響最為顯著。WC含量越多，晶粒平均粒徑越小，應力就越大，則硬度越高；Co含量越高，晶粒平均粒徑越大，應力越小，則硬度越低。圖6所示為加載分析步完成后，材料的變形和內(nèi)部Mises應力云圖的分布。

4.2 硬度仿真結(jié)果分析及驗證

分別以 WC－6Co，WC－8Co，WC－10Co和WC－15Co四種材料的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)為目標設計微觀結(jié)構(gòu)模型，具體設計參數(shù)見表3。每組參數(shù)分別隨機生成5個模型，導入有限元軟件ABAQUS，進行顯微壓痕實驗模擬，根據(jù)仿真結(jié)果計算得到硬度見表4，實驗結(jié)果和仿真結(jié)果的對比見圖7。

對表3的結(jié)果進行分析，發(fā)現(xiàn)相同參數(shù)隨機生成的微觀結(jié)構(gòu)模型的仿真結(jié)果有一定的隨機性，這是由于在模擬過程中，與壓頭接觸區(qū)域的微觀結(jié)構(gòu)對仿真結(jié)果的影響起主要作用，而此區(qū)域很小，所以就造成了仿真結(jié)果的離散性。通過多次生成微觀結(jié)構(gòu)模型的有限元模擬，對計算結(jié)果求平均值，這在一定程度上消除了其離散性。

圖6 加載后模型的變形和Mises應力分布Fig.6 Deformation and Mises stress distribution of the model after loading

表3 微觀結(jié)構(gòu)模型的設計參數(shù)Table 3 Design parameters of micro structure model

表4 硬度仿真結(jié)果Table 4 Simulation results of hardness

分析圖7所示的材料硬度的實驗和仿真結(jié)果可知，仿真和實驗結(jié)果吻合較好，證明了該模型能準確地預報硬度。造成一定誤差的主要原因如下：一是由于對WC晶粒作了彈性假設，對壓頭和材料間的接觸作了無摩擦假設，對壓頭形狀作了簡化，這些就造成了仿真結(jié)果的偏低；二是由于制備工藝的差異，燒結(jié)出的材料不盡相同，使得材料硬度的測量值存在不確定性；三是材料的微觀結(jié)構(gòu)具有非均勻性，這就造成硬度的分布也具有一定的隨機性。

圖7 材料硬度的實驗和仿真結(jié)果對比Fig.7 Comparison of experimental and simulation results of hardness

5 結(jié)論

（1）使用“隨機法”建立了控制晶粒平均粒徑分布、晶粒形心分布、晶粒取向角分布和Co相體積分數(shù)等參數(shù)的微觀結(jié)構(gòu)模型，基本實現(xiàn)了 WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模和可視化。

（2）構(gòu)建了基于 WC－Co硬質(zhì)合金微觀結(jié)構(gòu)的硬度預報有限元模型，實現(xiàn)了材料硬度的預報，為使用計算機進行材料設計奠定了基礎；同時直觀地反映了材料微觀結(jié)構(gòu)變化對其宏觀性能的影響，進一步加深了對材料微觀結(jié)構(gòu)與宏觀性能間關系的認識。

（3）對比實驗結(jié)果和仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)它們吻合較好，從而證明了提出的模型能夠準確地預報 WC－Co硬質(zhì)合金的硬度。

[1]任淮輝，李旭東.二維材料微結(jié)構(gòu)設計與數(shù)值模擬軟件系統(tǒng)[J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2009，21（6）：861－868.REN Huai－h(huán)ui，LI Xu－dong.A design and numerical simulation system of 2Dmaterial micro structures[J］.Journal of Computer Aided Design ＆Computer Graphics，2009，21（6）：861－868.

[2]劉玉佳，燕瑛，蘇玲.雙隨機分布細觀分析模型與復合材料性能預報[J］.復合材料學報，2011，28（2）：206－210.LIU Yu－jia，YAN Ying，SU Ling.Double－random distribution model and properties prediction of composites[J］.Acta Materiae Compositae Sinica，2011，28（2）：206－210.

[3]楊曉東，賀鵬飛，吳艾輝，等.石墨烯納米壓痕實驗的分子動力學模擬[J］.中國科學：物理學 力學 天文學，2010，40（3）：353－360.YANG Xiao－dong，HE Peng－fei，WU Ai－h(huán)ui，etal.Molecular dynamics simulation of nanoindentation for graphene[J］.Scientia Sinica Phys，Mech ＆ Astron，2010，40（3）：353－360.

[4]SADOWSKI T，NOWICKI T.Numerical investigation of local mechanical properties of WC／Co composite[J］.Computational Materials Science，2008，43（1）：235－241.

[5]卜肖冰，李落星，張立強，等.Al－Cu合金凝固微觀結(jié)構(gòu)組織的三維模擬及優(yōu)化[J］.中國有色金屬學報，2011，21（9）：2195－2201.BU Xiao－bing，LI Luo－xing，ZHANG Li－qiang，etal.Three－dimensional numerical simulation and optimization of solidification structure of Al－Cu alloy[J］.The Chinese Journal of Nonferrous Metals，2011，21（9）：2195－2201.

[6]BERTOLINO G，BILGER N，CREPIN J.Modeling micro structures and microstructural effects on macroscopic and intragranular mechanical behavior[J］.Computational Materials Science，2007，40（3）：408－416.

[7]LEE H C，GURLAND J.Hardness and deformation of cemented tungsten carbide[J］.Materials Science and Engineering，1978，33（1）：125－133.

[8]XU Z H，AGREN J.A modified hardness model for WC－Co cemented carbides[J］. Materials Science and Engineering：A，2004，386（1－2）：262－268.

[9]ROEBUCK B.Extrapolating hardness－structure property maps in WC／Co hardmetals[J］.International Journal of Refractory Metals ＆ Hard Materials，2006，24（1－2）：101－108.

[10]FERREIRA J A M，PINA AMARAL M A，ANTUNES F V，etal.A study on the mechanical behavior of WC／Co hardmetals[J］.International Journal of Refractory Metals ＆ Hard Materials，2009，27（1）：1－8.

[11]RONALD W A.The hardness and strength properties of WC－Co composites[J］.Materials，2011，4（7）：1287－1308.

[12]DOERNER M F，NIX W D.A method for interpreting the data from depth－sensing indentation instruments[J］.Journal of Materials Research，1986，1（4）：601－609.

[13]OLIVER W C，PHARR G M.An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments[J］.Journal of Materials Research，1992，7（6）：1564－1583.

[14]PRAMANIK A，ARSECULARATNE J A，ZHANG L C.Micro－indentation of metal matrix composites：a 3Dfinite element analysis[A］.5th Australasian Congress on Applied Mechanics（ACM2007）[C］.Brisbane：Engineers Australia，2007.246－251.

[15]CULHA O，TOPARLI M，AKSOY T，etal.Calculation of the mechanical properties of FeB layer’s by finite element method[J］.Mathematical and Computation Applications，2011，16（1）：113－124.

[16]RAMESH KUMAR M V，NARASIMHAN R.Analysis of spherical indentation of linear viscoelastic materials[J］.Current Science，2004，87（8）：1088－1095.

[17]SILVA DIAS A M，MODENESI P J，GODOY G C.Computer simulation of stress distribution during Vickers hardness testing of WC－6Co[J］.Materials Research，2006，9（1）：73－76.

[18]CHA S I，LEE K H，RYU H J，etal.Analytical modeling to calculate the hardness of ultra－fine WC－Co cemented carbides[J］.Materials Science and Engineering：A，2008，489（1－2）：234－244.

[19]SHARMA K，BHASIN V，GHOSH A K.Property estimation with automated ball indentation using artificial neural network and finite element simulation[J］.Jordan Journal of Mechanical and Industrial Engineering，2010，4（4）：503－506.

[20]TVERGAARD V，LEMAN A.Polymer indentation：numerical analysis and comparison with a spherical cavity model[J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2011，59（9）：1669－1684.